精品解析：山东省泰安市新泰中学2024-2025学年高二下学期7月期末模拟考试数学试题

新泰中学2023级高二下学期期末模拟考试 数学试题 2025.07 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解指数不等式化简集合B，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，，而集合 所以. 故选：B 2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法即可判断A，利用不等式的性质即可判断B，举出反例即可判断CD. 【详解】对于A，， 因为，所以， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：B. 3. 用数字、、、、组成没有重复数字的三位数，其中满足，且的三位数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先从个数字中选择个数字，将取出的个数字中最大的一个作十位上的数字，另外个数字分别作百位和个位上的数字，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】从数字、、、、中取出个数字，有种取法； 将取出的个数字中最大的一个作十位上的数字，另外个数字分别作百位和个位上的数字，有种方法. 由分步乘法计数原理，得符合题意的三位数有个， 故选：B. 4. 已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 8 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布性质可求得的值，再利用二项式定理的通项即可求出结果. 【详解】易知随机变量，其对称轴为， 又，所以，解得； 因此， 显然含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故选：A 5. 已知为正数，，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 6. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. (0，3) D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再求导数，最后令，解之即可得到结果. 【详解】函数的定义域为：， 因为， 令并且，得：， 所以函数的单调递减区间为(0，3). 故本题正确答案为C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属基础题. 7. 设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得图象与直线，共4个交点，分别利用导数研究函数与函数，可得大致图象，据此可得答案. 【详解】， 由题则图象与直线，共4个交点. 令，则，. 则在上单调递增，在上单调递减，. 又，据此可得大致图象如下. 令，则，又，据此可得大致图象如下. 由图易得图象与直线有1个交点，则图象与直线有3个交点. 则. 故选：B 8. 若，函数有两个极值点 ，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求，令得，由韦达定理得，即，令，即求在上的最大值即可，利用导数求的最大值即可求解. 【详解】由题意有的定义域为，所以， 令有，则在内有两个不同的根，， 所以，所以， 令，则求在上的最大值即可， 所以，令有， 由有，有，所以在单调递增，在单调递减， 所以， 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ） A. 变量与具有负相关关系 B. 剔除后不变 C. 剔除后的回归方程为 D. 剔除后相应于样本点的残差为0.05 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用回归直线方程的性质、残差的基本概念等进行解题. 【详解】对于A，由剔除前回归直线的斜率为，剔除后重新求得的回归直线的斜率为， 两者均大于0，则变量与具有正相关关系，A错误； 对于B，剔除前，而剔除的两个数据点，， 因此剔除后不变，B正确； 对于C，剔除后，，而回归直线的斜率为，则回归直线方程为，C正确； 对于D，剔除后的回归直线方程为，当时，，则残差为，D错误. 故选：BC 10. 已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 函数的周期为2 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，可得，，联立即可求得函数的周期，对称性，逐项判断求解即可. 【详解】函数是定义域为的偶函数，所以， 对于A，因为为奇函数，所以，故A错误； 对于B，由，所以， 可知的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C，由，所以，又， 所以，即， 故函数的周期为，故C错误； 对于D，由，令，则，所以， 所以，故D正确. 故选：BD 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得最小值 B. C. 有两个不同的零点 D. 对任，函数有三个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：求导求单调性即可判断；对于B：根据函数在单调递减，所以，即可判断；对于C：令即可判断；对于D：易知不论为何值，必为一个零点，只需判断当时，有两个零点即可，求导求单调性，再数形结合即可判断. 【详解】根据题意，，令，解得； 令，解得和；所以函数在单调递增， 在和单调递减；所以函数的极小值为，极大值为； 对于A：当时，，当时，恒成立， 所以函数的极小值即为函数的最小值，所以在处取得最小值，故A正确； 对于B：因为函数在单调递减，所以，即，即 所以，故B正确； 对于C：因为恒成立，所以令，即，解得， 故函数只有一个零点，故C不正确； 对于D：令，即在有三个零点， 易知不论为何值，必为其中一个零点，所以在时，只需有两个零点即可， 令，即函数与有两个不同交点即可，， 令，解得，令，解得或，所以在单调递增， 在和单调递减，所以函数的极大值也是最大值为：， 画出图像如下图所示：由图可知，当时，函数与有两个不同交点， 综上可知，对任，函数有三个零点，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素干扰，发送的信号0或1，有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收到信号为1的概率为__________. 【答案】0.525## 【解析】 【分析】利用全概率公式计算. 【详解】发送为事件，则发送为事件，接收信号为1为事件， 则 ， 则接收到信号为1的概率为 故答案为： 13. 已知， ①若，则 ②若，则 ③若，则中含项的系数为48 ④ 若为偶数，则能被4整除 则正确命题的序号是_______ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由，令得，由解出即判断①，由得，令，利用单调性即可判断②，先求，利用二项式定理即可判断③，由，利用二项定理得能被8整除，进而判断④. 【详解】由，令得：， 所以，故①正确； 由得，令， 可知在上单调递减，又，故②正确； 若，则， 所以，由的通项为，的通项为， 所以中的系数为：，故③错误； 由，若时，， 由能被8整除，所以能被4整除，故④正确. 故答案为：①②④. 14. 已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】通过指对互化把原不等式转化为，构造函数，利用导数研究其单调性，从而得，令，利用导数求解最值求得，即可得解. 【详解】因为，对恒成立，所以，， 所以，所以， 令，则， 因为，所以在上为增函数，所以， 所以，令，则， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，即，所以， 所以，所以a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，利用指对互化对不等式同构变形，然后利用导数研究单调性和最值，分离参数，再利用导数研究最值即可求解. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解法，先求得集合A，进而可得，当，可得集合B，根据交集运算的定义，计算即可得答案； （2）由题意可得且，根据集合的包含关系，列出不等式，可得的取值范围. 【小问1详解】 由得，解得， 所以集合； 又全集，所以或， 当时，集合， 所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以且， 因为， 所以， 所以且等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围为. 16. 某赛事结束后，主管部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到如下不完整列联表： 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 50 非常满意 40 70 合计 60 120 （1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？ （2）用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设表示这2人中对该部门服务质量非常满意的人数，求的分布列和数学期望. 附：，. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，能 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意补全列联表，再由条件计算卡方进行独立性检验可得； （2）先求出男、女性对服务非常满意的概率，列出可能的取值，计算相应概率，列出分布列，再由期望公式求解可得. 【小问1详解】 根据题意，完整的列联表如下 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 30 20 50 非常满意 30 40 70 合计 60 60 120 零假设为：不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异. 根据列联表中的数据，计算得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异. 【小问2详解】 由列联表，得女性对服务非常满意的概率为，男性对服务非常满意的概率为. 由题意可知，可能的取值为0，1，2. ，，， 故的分布列为 0 1 2 故的数学期望. 17. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调增区间； （3）若存在极大值点，求证：． 【答案】（1） （2） 当时，函数的单调增区间为和； 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为和 （3） 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为， ，，，； 当时，在单调递增，此时无极值，不合题意； 综上，若存在极大值点，则． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出切线的方程； （2）求导，分情况讨论函数的单调递增区间； （3）利用函数的单调性求出函数的极大值，根据的取值范围进而可证明. 【小问1详解】 若，则，，， 曲线在处切线的斜率， 曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 ，定义域为， ， 当时，令，得或， 函数的单调增区间为和； 当时，，函数的单调增区间为； 当时，令，得或， 函数的单调增区间为和． 综上，当时，函数的单调增区间为和； 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为和； 【小问3详解】 略 18. 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将将这些零件混合放在一起，则合格率为88%. （1）设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （3）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用频数、频率、样本容量的关系列式推理得证. （2）由（1）的结论，利用条件概率公式计算即得. （3）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 甲工厂试生产的件零件的合格率为80%，则合格零件为件； 乙工厂试生产的件零件的合格率为90%，则合格零件为件， 混合后，总零件为件，合格率为88%，则混合后合格零件为件， 依题意，，化简得，即. 【小问2详解】 设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，由（1）知， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自乙工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件是合格品”， 则，， 所以所求概率. 【小问3详解】 由（2）知，任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂的概率是， 依题意，的可能取值为0，1，2，3，且， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望. 19. 已知函数（e为自然对数的底数），其中． （1）试讨论函数的单调性； （2）若有两个极值点和，记过点，的直线的斜率为k，同：是否存在a，使得？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由 【答案】（1）当时，在R上为增函数， 当时，在上递减，在和上递增． （2）不存在；理由如下. 依题意，，求导得， 有两个极值点，即在上有两个不等根和，则，且， 因为， 则，若存在a，使得，则， 即，不妨令，亦即成立， 令，，，因此在上递增， ，于是得当时，不成立， 所以不存在a，使得. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，分和分别讨论值的符号作答. （2）根据给定条件，求出斜率k，在成立时可得，分析整理并构造函数，利用函数探讨单调性质即可推理作答. 【小问1详解】 函数定义域为R，求导得，而， 则当时，即在R上为增函数， 当时，由，得，即，解得或， 则有或，由，解得， 所以在上递减，在和上递增． 综上：当时，在R上为增函数， 当时，在上递减，在和上递增． 【小问2详解】 略 【点睛】思路点睛：涉及的双变量函数问题，不管待证的是两个变量的等式或不等式，还是导函数的值的等式或不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰中学2023级高二下学期期末模拟考试 数学试题 2025.07 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 用数字、、、、组成没有重复数字的三位数，其中满足，且的三位数的个数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 8 D. 24 5. 已知为正数，，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 6. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. (0，3) D. 7. 设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，函数有两个极值点 ，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ） A. 变量与具有负相关关系 B. 剔除后不变 C. 剔除后的回归方程为 D. 剔除后相应于样本点的残差为0.05 10. 已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 函数的周期为2 D. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得最小值 B. C. 有两个不同的零点 D. 对任，函数有三个零点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素干扰，发送的信号0或1，有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收到信号为1的概率为__________. 13. 已知， ①若，则 ②若，则 ③若，则中含项的系数为48 ④ 若为偶数，则能被4整除 则正确命题的序号是_______ 14. 已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 某赛事结束后，主管部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到如下不完整列联表： 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 50 非常满意 40 70 合计 60 120 （1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？ （2）用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设表示这2人中对该部门服务质量非常满意的人数，求的分布列和数学期望. 附：，. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调增区间； （3）若存在极大值点，求证：． 18. 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将将这些零件混合放在一起，则合格率为88%. （1）设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （3）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望. 19. 已知函数（e为自然对数的底数），其中． （1）试讨论函数的单调性； （2）若有两个极值点和，记过点，的直线的斜率为k，同：是否存在a，使得？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $