精品解析：河南省三门峡市2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

2024－2025学年度下学期期末质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．答题前，同学们务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、座号，以及准考证号写在试题卷和答题卡第一页的指定位置． 2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，能与7，25组成一组勾股数的是（ ） A. 9 B. 24 C. 35 D. 40 3. 月日是世界读书日，某校组织开展“书海拾贝，阅读致远”活动，为了解学生的阅读情况，随机调查了八年级名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示． 时间（小时） 0.5 1 1.5 2 2.5 人数（人） 12 19 15 7 7 在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是（ ）小时． A. 1.5 B. 1 C. 19 D. 2 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，延长矩形边至点，使，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（ ） ①图中有7个等腰直角三角形；②四边形是菱形； ③；④四边形是正方形． A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ①④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则取值范围是______． 12. 某校评选文明班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100，所占比例如表所示： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 某班这四项得分依次为92，86，78，82，则该班四项综合得分为_____分． 13. 将直线沿轴向下平移4个单位，可得直线的解析式为_____． 14. 座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架，与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调整到时，椅背上人的头部支撑点向上抬高了约_____．（结果精确至．参考数据：） 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；⋯⋯．按照这样的规律进行下去，点的横坐标是_____．（结果要求最简形式） 三、解答题（本大题8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在四边形中，，点在边上，_____． 请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 18. 水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，他们从学校内随机抽取了100名学生，收集了这100名学生所在家庭（假设每名学生代表一个不同的家庭）去年6月份的用水量（单位：吨），并对这100个数据进行整理，绘制了如下统计图表： 100个家庭去年6月份用水量扇形统计图 去年6月份用水量分组表 组别 用水量 组内平均数 A 2.8 B 4.0 C 5.4 D 68 E 8.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）这100个数据的中位数落在_____组（填组别），C组所占圆心角的度数为_____； （2）求这100户家庭去年6月份的总用水量； （3）据了解，在小麦的整个生长期中，一亩地大约需要的水来灌溉．已知该学校有2400户家庭，若每户家庭今年6月份的用水量都比去年6月份各自家庭的用水量节约，请估计这2400名学生所在家庭今年6月份节约的用水量大约可满足多少亩小麦地整个生长周期的用水？（结果取整数） 19. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）的值为________； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 20. 明明在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理． （1）实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段，，，； ③顺次连结所得四点得到四边形，于是可以直接判定四边形是平行四边形，则依据的判定定理是：_____． （2）猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．结合下图，请帮助明明完成命题“对角线相等的平行四边形是矩形”的证明． 21. 购买空调时，需要综合考虑空调的价格、匹数和耗电情况．根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年．表1是这两款匹数相同的空调的部分基本信息．如果电价是元，请回答下列问题． 表1：两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/KW·h 1.5 1级 3180 640 1.5 3级 2700 800 设使用年，1级能效空调的综合费用为，3级能效空调的综合费用为．（综合费用空调的售价电费） （1）分别写出，与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）空调使用多少年时，1级能效和3级能效这两款空调的综合费用相等？ （3）某人打算选购一台空调使用10年，请分析他购买哪款空调更划算． 22 综合与应用 【材料阅读】 小红和小青在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形面积问题”进行了探究．他们各自查找了相关问题的资料． 小红找到的资料如下： 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记载：如果一个三角形的三边长分别为，，，则（秦九韶公式）． 小青找到的资料如下： 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中记载：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，则（海伦公式）． 【推理论证】 （1）小红和小青运用整式乘法和因式分解的知识对秦九韶公式进行了化简，发现化简后的秦九韶公式与海伦公式相同．这说明海伦公式与秦九韶公式是同一个公式，所以我们也称海伦公式为“海伦－秦九韶公式”．下面是他们不完整的推理过程，请将这个推理过程补充完整． 证明：， （ ）（ ） （ ） （ ）（ ）（ ）（ ） 【学以致用】 （2）已知三角形的三边分别为，，．请运用“海伦－秦九韶公式”计算三角形的面积． ①，，； ②，，． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置． 根据以上操作，填空： ①图1中四边形的形状是_____； ②图2中与的数量关系是_____；四边形的形状是_____． （2）迁移探究 小董将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，重复上面操作，如图3．已知长为，当平移的距离为多少时，四边形是菱形？请写出证明过程． （3）拓展应用 在（2）的探究过程中：当为等腰三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度下学期期末质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．答题前，同学们务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、座号，以及准考证号写在试题卷和答题卡第一页的指定位置． 2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选C． 2. 下列各数中，能与7，25组成一组勾股数的是（ ） A. 9 B. 24 C. 35 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意， 故选：B． 3. 月日是世界读书日，某校组织开展“书海拾贝，阅读致远”活动，为了解学生的阅读情况，随机调查了八年级名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示． 时间（小时） 0.5 1 1.5 2 2.5 人数（人） 12 19 15 7 7 在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是（ ）小时． A. 1.5 B. 1 C. 19 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数，解题的关键是正确理解众数的定义． 根据表格中不同阅读时间的人数，选人数最多的，对应时间即为学生每天的平均阅读时间的众数． 【详解】由表格可知，人数最多的是19人，对应的阅读时间为1小时， ∴学生每天的平均阅读时间的众数是小时， 故选：． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的加法，正确计算是解题的关键．直接利用二次根式的运算法则化简，进而判断即可得到答案． 【详解】解：A、与不能合并，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、，故D选项符合题意； 故选：D． 5. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出、，再计算与的比值即可得解．正确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 6. 中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是折线统计图，对数据分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．根据图象即可得到最佳时间和温度． 【详解】解：由图象可知，在时提取率最高，时提取率最高， 所以最佳的提取时间和提取温度分别为，， 故选：C． 7. 如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去，由此解答即可． 【详解】解：由图可得：阴影部分周长为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去， 阴影图形的周长是：， 故选：A． 8. 点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．解求出，得出点的坐标为，然后判断即可． 【详解】解：联立方程组：， 解得： ∴点的坐标为． ∵且， ∴点位于第四象限． 故选D． 9. 如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角性质，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合矩形的性质得，根据等边对等角，直角三角形两个锐角互余，得，再运用三角形外角性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，交于点，如图所示： ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（ ） ①图中有7个等腰直角三角形；②四边形是菱形； ③；④四边形是正方形． A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了中位线的性质，也考查了正方形的面积公式和三角形的面积公式，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；②利用①的结论可以证明解决问题；③如图，过点M作，连接，设，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出和即可判定是否正确；④由正方形的判定可得出结论． 【详解】解：①如图，分别为的中点， 为的中位线， ， ， ， ∵四边形为正方形， 都是等腰直角三角形， 分别为的中点， ， 、也是等腰直角三角形． 故图中有7个等腰直角三角形，①正确； ②根据①得， , ∴四边形不可能是菱形．故②错误； ③如图，过点M作，连接， 分别为中点， ， ∵四边形是正方形，且设， ， ， ， ， ∴点P在上， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 为的中点， ， 为的中点， ， ， ∴四边形的面积 ∴四边形的面积占正方形面积的， 是的中点， ， ∴四边形的面积占正方形面积的， ， 故③正确； 由①可知和都是等腰直角三角形， ， ， ∴四边形是矩形， 又是的中点， ， ， ， ∴四边形是正方形． 故④正确． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由二次根式的定义可得： 5-x≥0， 即x≤5， 故答案为：x≤5． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 某校评选文明班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100，所占比例如表所示： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 某班这四项得分依次为92，86，78，82，则该班四项综合得分为_____分． 【答案】86.4 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：（分）； 故答案为：86.4 13. 将直线沿轴向下平移4个单位，可得直线的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据一次函数图象的平移规则：上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的直线的解析式为：； 故答案为：． 14. 座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架，与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调整到时，椅背上人的头部支撑点向上抬高了约_____．（结果精确至．参考数据：） 【答案】16.4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质以及勾股定理．通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点，点， 在中，， ， 在中，， ， ， 即椅背上人的头部支撑点向上抬高了约． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；⋯⋯．按照这样的规律进行下去，点的横坐标是_____．（结果要求最简形式） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点， ∵均在直线上， ， ， ， ， ， ， ∴由勾股定理得：， ， 同理，， ， 同理，， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 三、解答题（本大题8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）结合完全平方公式、平方差公式去括号，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在四边形中，，点在边上，_____． 请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）选择①，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键： （1）选择①，根据，得到，即可得证；选择②，得到，即可得证； （2）勾股定理求出的长，进而得到即可． 【小问1详解】 选择①， 证明：， ， ，， 四边形为平行四边形；． 选择②， 证明：，， ， ， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 ， ， 在中，，，， ． 四边形为平行四边形 ． 线段的长为． 18. 水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，他们从学校内随机抽取了100名学生，收集了这100名学生所在家庭（假设每名学生代表一个不同的家庭）去年6月份的用水量（单位：吨），并对这100个数据进行整理，绘制了如下统计图表： 100个家庭去年6月份用水量扇形统计图 去年6月份用水量分组表 组别 用水量 组内平均数 A 2.8 B 4.0 C 54 D 6.8 E 8.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）这100个数据的中位数落在_____组（填组别），C组所占圆心角的度数为_____； （2）求这100户家庭去年6月份的总用水量； （3）据了解，在小麦的整个生长期中，一亩地大约需要的水来灌溉．已知该学校有2400户家庭，若每户家庭今年6月份的用水量都比去年6月份各自家庭的用水量节约，请估计这2400名学生所在家庭今年6月份节约的用水量大约可满足多少亩小麦地整个生长周期的用水？（结果取整数） 【答案】（1）B， （2） （3）7亩 【解析】 【分析】本题考查统计图表，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）根据中位数的确定方法判断中位数的位置，用360度乘以C组所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）求出每组的总量求和即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：，， 故将数据排序后第50和第51个都在B组， 故中位数在B组； ； 故C组所占圆心角的度数为． 【小问2详解】 答：这100户家庭去年6月份的总用水量为 【小问3详解】 ； （亩） 答：这2400名学生所在家庭今年6月份节约的用水量大约可满足7亩小麦地整个生长周期的水． 19. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）的值为________； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】（1） （2） （3）没有超速 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时速度，据此即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：，解得：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴． 【小问3详解】 解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：， ∵， ∴辆汽车减速前没有超速． 20. 明明在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理． （1）实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段，，，； ③顺次连结所得的四点得到四边形，于是可以直接判定四边形是平行四边形，则依据的判定定理是：_____． （2）猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．结合下图，请帮助明明完成命题“对角线相等的平行四边形是矩形”的证明． 【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质和判定定理，全等三角形性质和判定，矩形判定定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据平行四边形判定定理分析即可； （2）分别写出已知和求证，结合平行四边形性质证明，进而得到，再结合矩形判定定理，即可解题． 【小问1详解】 解：， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：已知：四边形是平行四边形，； 求证：四边形是矩形． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，，， ， ， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形． 21. 购买空调时，需要综合考虑空调的价格、匹数和耗电情况．根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年．表1是这两款匹数相同的空调的部分基本信息．如果电价是元，请回答下列问题． 表1：两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/KW·h 1.5 1级 3180 640 1.5 3级 2700 800 设使用年，1级能效空调的综合费用为，3级能效空调的综合费用为．（综合费用空调的售价电费） （1）分别写出，与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）空调使用多少年时，1级能效和3级能效这两款空调的综合费用相等？ （3）某人打算选购一台空调使用10年，请分析他购买哪款空调更划算． 【答案】（1）； （2）使用5年时，两款空调的综合费用相等 （3）购买1级能效空调更划算 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的实际运用，解决本题的关键是根据题意给出函数解析式． （1）根据“综合费用空调的售价电费” 写出，与之间的函数关系式即可； （2）根据两款空调的综合费用相等，建立等式求解，即可解题； （3）分别求出当时，两款空调的综合费用，再进行比较，即可解题． 【小问1详解】 解：由题意得，； ； 【小问2详解】 解：根据题意得：当时， ， 解得：， 答：使用5年时，两款空调的综合费用相等． 【小问3详解】 解：当时， 1级能效空调的综合费用：（元）， 3级能效空调的综合费用：（元）， 因为，所以购买1级能效空调更划算． 22. 综合与应用 【材料阅读】 小红和小青在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形面积问题”进行了探究．他们各自查找了相关问题的资料． 小红找到的资料如下： 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记载：如果一个三角形的三边长分别为，，，则（秦九韶公式）． 小青找到的资料如下： 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中记载：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，则（海伦公式）． 【推理论证】 （1）小红和小青运用整式乘法和因式分解的知识对秦九韶公式进行了化简，发现化简后的秦九韶公式与海伦公式相同．这说明海伦公式与秦九韶公式是同一个公式，所以我们也称海伦公式为“海伦－秦九韶公式”．下面是他们不完整的推理过程，请将这个推理过程补充完整． 证明：， （ ）（ ） （ ） （ ）（ ）（ ）（ ） 【学以致用】 （2）已知三角形的三边分别为，，．请运用“海伦－秦九韶公式”计算三角形的面积． ①，，； ②，，． 【答案】（2），，，；（3）①6；② 【解析】 【分析】本题考查二次根式的实际应用，熟练掌握“海伦－秦九韶公式”是解题的关键： （1）根据计算过程，结合因式分解进行作答即可； （2）直接套用公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：， ； （2）①由题意得，， 根据海伦公式得，； ② ． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置． 根据以上操作，填空： ①图1中四边形的形状是_____； ②图2中与的数量关系是_____；四边形的形状是_____． （2）迁移探究 小董将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，重复上面操作，如图3．已知长为，当平移的距离为多少时，四边形是菱形？请写出证明过程． （3）拓展应用 在（2）的探究过程中：当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）①正方形；②，平行四边形 （2）当平移距离是时，四边形是菱形 （3）或 【解析】 【分析】（1）①由题意知，，，进而可得四边形是正方形；②由平移的性质可得，，，，则四边形是平行四边形，由，可得； （2）同理（1）由平移性质可知，四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，由，，可得，，即为的中点，； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 （1）①解：由题意知，，， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； ②解：由平移的性质可得，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 故答案为：，平行四边形； 【小问2详解】 当平移距离是时，四边形是菱形． 理由如下：如图所示，连接，，连接交于点 ，，， ，， 将三角板沿方向平移， ，， 四边形是平行四边形． 当平移的距离为时，即， ， ， ，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形． 当平移距离是时，四边形是菱形． 【小问3详解】 或． 是含角的直角三角板，即，边长为， ， ①当时，为等腰三角形，如图所示， ，， ， ，且， ， 点是的中点， ； ②当时，为等腰三角形，如图所示， ，，， 在中，由勾股定理得，， 为等腰三角形，， ； ③当时，为等腰三角形，如图所示， 与“将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）”矛盾， 不存在； 综上所示，当为等腰三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查了平移的性质，正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$