专题2.4 基本不等式的15个经典题型（人教A版2019必修第一册）-2025-2026学年高一数学

专题2.4 基本不等式的15个经典题型 【基础知识】 1 【考点1：公式法】 2 【考点2：配凑常数和配凑系数法】 3 【考点3：分离常数构造“对构型”】 4 【考点4：“1”的代换】 4 【考点5：“有和有积”型】 5 【考点6：单分母构造型】 5 【考点7：双分母构造型】 6 【考点8：分离常数再构造型】 6 【考点9：因式分解型】 7 【考点10：反解代入型】 7 【考点11：同除消去型】 8 【考点12：代换构造型】 8 【考点13：换元法】 9 【考点14：三元型】 10 【考点15：裂项型】 10 【基础知识】 1．基本不等式：； (1)基本不等式成立的条件：； (2)等号成立的条件：当且仅当. (3)基本不等式的变形： ①，常用于求和的最小值； ②，常用于求积的最大值； 2．常用不等式： (1)重要不等式：； (2)重要不等式链：； 3.已知，则： (1)如果是定值，那么当且仅当时，有最小值是(简记：积定和最小)． (2)如果是定值，那么当且仅当时，有最大值是(简记：和定积最大)． 注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 4.基本不等式求最值常用方法： (1) “1”字代换法； (2) 配凑法：即配凑积或和为定值的形式； (3)解不等式法； 5.使用基本不等式求最值： “一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 6.对勾型：，； 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 7.对勾添加常数型： 对于形如，则把转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化； 8.“1”的代换： 利用常数代换法，多称之为“1”的代换； 9.几个重要不等式： （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4）_或（）； （5） 【考点1：公式法】 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 6．（24-25高三上·上海·期中）若正数满足，则的最大值为 . 【考点2：配凑常数和配凑系数法】 1.“对勾”型凑配分母的倍数型。 2.给和求积和给积求和最值型，要注意字母对应系数是否需要凑配，凑配原则是均值定值时字母的系数。 1．（2025高二下·浙江·学业考试）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）函数的最小值是 . 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，则的取值范围是 . 4．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若，则函数的最小值为 . 5．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，且，则的最大值是 ． 【考点3：分离常数构造“对构型”】 对勾型：， 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如. 1．（24-25高二下·广西北海·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高一下·山西晋城·期末）函数的最大值为（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 4．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知，函数有最小值，则 ． 5．（24-25高一下·浙江衢州·阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值是 . 【考点4：“1”的代换】 主要是利用.利用常数代换法。多称之为“1”的代换 （1） 条件和结论有“分子分母”特征； （2） 可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 1．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（2025·安徽合肥·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 3．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 4．（24-25高二下·广西崇左·期末）若（，），则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．12 D．49 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）若正实数x、y满足，则的最小值是 . 6．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【考点5：“有和有积”型】 （1）有和有积无常数：形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 （2）有和有积有常数：形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：. 1．（河北省沧州市2024-2025学年高二下学期7月期末教学质量监测数学试题）已知正实数m，n满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 3．（24-25高二下·江西赣州·期末）若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 4．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）若正数满足，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．28 D．36 5．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，且，则的最小值为 . 【考点6：单分母构造型】 形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B．1 C．4 D．7 2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 3．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知，且，则的最小值为 【考点7：双分母构造型】 形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解，其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．（2025高一下·浙江杭州·竞赛）已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 2．（24-25高一下·河北保定·期中）已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ． 3．（2025·上海松江·一模）已知，且，则的最小值为 . 4．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 5．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 6．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 . 【考点8：分离常数再构造型】 1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 2．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 3．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 4．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值 5．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【考点9：因式分解型】 （1）特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理； （2）最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）。 1．（2022·湖北·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为(    ) A．2 B．1 C．4 D．5 2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，且，则的最小值为 . 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则的最小值是 6．（24-25高二下·浙江丽水·期末）若实数，满足，则的最大值为 . 【考点10：反解代入型】 条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。 1．（24-25高二下·重庆·期末）若正实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（24-25高二下·河北·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 3．（13-14高三·江苏苏州·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为___________. 4．（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 【考点11：同除消去型】 一般是齐次型分式，可以考虑同除，构造单变量型，或者构造对勾型。 1．（24-25高一上·上海浦东新·期中）函数的最大值是 ． 2．（24-25高三上·福建泉州·期中）当时，函数的最大值为 ． 3．（24-25高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南郑州·期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一上·江苏·阶段练习）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 【考点12：代换构造型】 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，且，则的最小值为 ． 2．（23-24高二下·天津河东·期末）已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2024高二下·安徽·学业考试）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 5．（多选）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若a， b均为正数，且满足，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值是4 D．的最小值为 【考点13：换元法】 换元型： （1）二次配方型，可以三角换元（学完三角函数才能使用）； （2）和前边分母构造换元型一样，可以代数换元； （3）齐次分式同除型，可以代数换元。 1．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（多选）（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知且，则下列选项正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 4．（多选）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 5．（2025·四川成都·模拟预测）已知正数a，b满足，则的最小值为 . 6．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知为正实数，则的最小值为 . 7．（24-25高一上·全国·课后作业）设，求的最大值． 8．（24-25高二下·浙江丽水·期末）若实数，满足，则的最大值为 . 【考点14：三元型】 1．（24-25高二上·陕西铜川·期中）设a，b，c均大于0，，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D． 2．（2025·河南郑州·三模）若实数，且，则的最小值为 A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·模拟预测）若，，均为正数，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 4．（24-25高二下·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 5．（24-25高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【考点15：裂项型】 1.（2023·安徽蚌埠·高三统考）若均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）已知，且，则的最小值是（    ） A．11 B．9 C．8 D．6 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 基本不等式的15个经典题型 【基础知识】 1 【考点1：公式法】 2 【考点2：配凑常数和配凑系数法】 5 【考点3：分离常数构造“对构型”】 7 【考点4：“1”的代换】 9 【考点5：“有和有积”型】 11 【考点6：单分母构造型】 14 【考点7：双分母构造型】 15 【考点8：分离常数再构造型】 18 【考点9：因式分解型】 21 【考点10：反解代入型】 23 【考点11：同除消去型】 25 【考点12：代换构造型】 28 【考点13：换元法】 30 【考点14：三元型】 35 【考点15：裂项型】 38 【基础知识】 1．基本不等式：； (1)基本不等式成立的条件：； (2)等号成立的条件：当且仅当. (3)基本不等式的变形： ①，常用于求和的最小值； ②，常用于求积的最大值； 2．常用不等式： (1)重要不等式：； (2)重要不等式链：； 3.已知，则： (1)如果是定值，那么当且仅当时，有最小值是(简记：积定和最小)． (2)如果是定值，那么当且仅当时，有最大值是(简记：和定积最大)． 注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 4.基本不等式求最值常用方法： (1) “1”字代换法； (2) 配凑法：即配凑积或和为定值的形式； (3)解不等式法； 5.使用基本不等式求最值： “一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 6.对勾型：，； 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 7.对勾添加常数型： 对于形如，则把转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化； 8.“1”的代换： 利用常数代换法，多称之为“1”的代换； 9.几个重要不等式： （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4）_或（）； （5） 【考点1：公式法】 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．（2025高二上·北京·学业考试）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：D 3．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据基本不等式计算可知充分性成立，取特殊值可得必要性不成立，可得结论. 【详解】因为，，则，解得，即充分性成立； 若，不妨取，则不等于2，即必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：B 4．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，利用基本不等式，得到充分性成立，结合反例，得到必要性不成立，即可求解. 【详解】由，且，则，当且仅当，等号成立，所以充分性成立； 反之：例如，此时满足，但，所以必要性不成立， 所以是成立的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由于，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故选：A. 6．（24-25高三上·上海·期中）若正数满足，则的最大值为 . 【答案】. 【分析】利用基本不等式即可求得. 【详解】为正数，，即  ， 则 ，当且仅当 ，即 时取等号. 故答案为：. 【考点2：配凑常数和配凑系数法】 1.“对勾”型凑配分母的倍数型。 2.给和求积和给积求和最值型，要注意字母对应系数是否需要凑配，凑配原则是均值定值时字母的系数。 1．（2025高二下·浙江·学业考试）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因，则， 则，等号成立时. 故的最小值是. 故选：C 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）函数的最小值是 . 【答案】3 【分析】将函数转化为，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值是3， 故答案为：3 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】化成积为定值的形式后,利用基本不等式可得. 【详解】因为,所以, 所以,当且仅当,即时取等号. 故答案为:. 【点睛】本题考查了基本不等式求最小值,属于基础题. 4．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若，则函数的最小值为 . 【答案】6 【解析】将函数构造为，结合均值不等式即可. 【详解】解：因为，所以 所以 当且仅当即时等号成立. 故答案为：6 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 5．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为 【答案】1 【分析】对目标函数进行配凑，利用基本不等式即可求得函数最大值. 【详解】因为x＜，所以5－4x＞0， 则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号． 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求函数最值，属基础题. 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，且，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式证明，再给出的例子，即可得到答案. 【详解】由可知，而，故，从而. 故由基本不等式有. 从而. 而当，时，有，，此时. 所以的最大值是. 故答案为：. 【考点3：分离常数构造“对构型”】 对勾型：， 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如. 1．（24-25高二下·广西北海·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由，再利用基本不等求最小值即可. 【详解】由（当且仅当时取等号）， 故选：C． 2．（24-25高一下·山西晋城·期末）函数的最大值为（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由基本不等式求解． 【详解】 ， 当且仅当时“=”成立， 故选：B. 3．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将目标式子变形，然后根据基本不等式求解即可. 【详解】由得，， 当且仅当即时，等号成立，故的最小值为． 故答案为： 4．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知，函数有最小值，则 ． 【答案】4 【分析】利用均值不等式求得最小值，进而计算可求得的值. 【详解】， 令，则或（舍）， 故答案为：. 5．（24-25高一下·浙江衢州·阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】由已知可得出且，化简代数式，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为正实数、满足，则，由可得， 所以， . 当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值是. 故答案为：. 【考点4：“1”的代换】 主要是利用.利用常数代换法。多称之为“1”的代换 （1） 条件和结论有“分子分母”特征； （2） 可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 1．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用代换1法，结合基本不等式即可求最小值. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 当且仅当时取等号， 故选：A. 2．（2025·安徽合肥·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可得解. 【详解】由题意得， 当且仅当时，即时，取得最小值9． 故选：D. 3．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】，根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】，且， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：. 4．（24-25高二下·广西崇左·期末）若（，），则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．12 D．49 【答案】B 【分析】根据已知有且，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题设且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）若正实数x、y满足，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】变形，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数x、y满足，故， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故答案为：1 6．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 【考点5：“有和有积”型】 （1）有和有积无常数：形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 （2）有和有积有常数：形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：. 1．（河北省沧州市2024-2025学年高二下学期7月期末教学质量监测数学试题）已知正实数m，n满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将等式转化为等式右边为常数的形式，然后根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】可以转化为， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，此时的最小值为. 故选：A． 2．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 3．（24-25高二下·江西赣州·期末）若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】由有，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：. 4．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）若正数满足，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．28 D．36 【答案】B 【分析】根据方程,两边同时除以转化为的形式.进而由基本不等式即可求得的最小值. 【详解】因为正数满足 方程两边同时除以 可得 则 由基本不等式可得 当且仅当时取等号. 则,解方程可得 所以的最小值为 故选:B 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用, 的代换及在求最值中的用法,属于基础题. 5．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先由条件变形为正数乘积形式，再将所求配凑成正数和的形式，最后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】由 ，得， 由得， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【考点6：单分母构造型】 形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 故选：A 2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】D 【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 3．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知，且，则的最小值为 【答案】 【分析】根据已知可得，然后根据“1”的代换求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，则， 则. 当且仅当，且，， 即，时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 【考点7：双分母构造型】 形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解，其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 1．（2025高一下·浙江杭州·竞赛）已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据条件可得，利用“1”的变形，由均值不等式求解. 【详解】， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 2．（24-25高一下·河北保定·期中）已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，而， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 3．（2025·上海松江·一模）已知，且，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】根据，且，将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】因为，且， 所以， ， , ， 当且仅当,即时，等号成立， 所以的最小值为8， 故答案为：8 4．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故，且， 故 ， 当且仅当，结合，故当时等号取到， 故答案为： 5．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 6．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用代换1法来，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，由对应系数相等得， 解得 所以，整理得， 即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 【考点8：分离常数再构造型】 1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 3．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 4．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 5．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 【考点9：因式分解型】 （1）特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理； （2）最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）。 1．（2022·湖北·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为(    ) A．2 B．1 C．4 D．5 【答案】A 【分析】将a-1和b-1看作整体，由构造出，根据即可求解． 【详解】由得，因式分解得， 则，当且仅当时取得最小值． 故选：A． 2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 所以 ， 当且仅当即时取等号； 所以. 故选：C 3．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】将已知式子适当变形替换，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意，所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先由条件变形为正数乘积形式，再将所求配凑成正数和的形式，最后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】由 ，得， 由得， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则的最小值是 【答案】7 【分析】将式子变形为，即可利用不等式求解，或者将式子变形为，结合不等式即可求解． 【详解】方法一：因为，故，解得， 故， 当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故， 当且仅当 ，即，时等号成立． 故答案为：． 6．（24-25高二下·浙江丽水·期末）若实数，满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中，则， 从而， 故 记，则， 不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 【考点10：反解代入型】 条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。 1．（24-25高二下·重庆·期末）若正实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】整理等式，根据基本不等式，可得答案. 【详解】由有，则，当且仅当时，等号成立. 故选：D． 2．（24-25高二下·河北·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可. 【详解】由可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 因为，所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号，此时. 故答案为：. 3．（13-14高三·江苏苏州·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】由条件可得且，利用基本不等式求解即可 【详解】由得， 又，为正实数，所以，得， 则， ， 当且仅当,即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 4．（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 【答案】27 【分析】先根据求得和的关系式，进而代入到利用均值不等式求解即可． 【详解】因为，所以， 所以 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 【考点11：同除消去型】 一般是齐次型分式，可以考虑同除，构造单变量型，或者构造对勾型。 1．（24-25高一上·上海浦东新·期中）函数的最大值是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求最值. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的最大值为. 故答案为：. 2．（24-25高三上·福建泉州·期中）当时，函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 3．（24-25高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 4．（24-25高二上·河南郑州·期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用可得，根据基本不等式最值成立的条件可得，代入可得关于的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】 由正实数，，满足， ． ， 当且仅当时取等号，此时． ，当且仅当时取等号， 即的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 5．（多选）（24-25高一上·江苏·阶段练习）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式分析各个选项的最小值即可得出正确答案. 【详解】对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误； 对于B，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD 【考点12：代换构造型】 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，代入变形可得，又,利用基本不等式，即可得到的最小值. 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 2．（23-24高二下·天津河东·期末）已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 【答案】/0.75 【分析】由已知条件可得，代入并利用基本不等式求解即得. 【详解】由正数x，实数y满足，得， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 4．（2024高二下·安徽·学业考试）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】由基本不等式求解即可． 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1， 而，且，故无最小值. 故选：A 5．（多选）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若a， b均为正数，且满足，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值是4 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式对A，B，C选项分析判断，利用二次函数的性质对D选项分析判断即可得答案． 【详解】对于 A：，b均为正数，且满足， ，解得，当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为2，故A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号， ，当时等式不成立，则等号取不到， 则的最小值不是4，故B不正确； 对于C：，b均为正数，且满足， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4，故C正确； 对于D：，b均为正数，且满足，则， 又，解得， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确． 故选：ACD. 【考点13：换元法】 换元型： （1）二次配方型，可以三角换元（学完三角函数才能使用）； （2）和前边分母构造换元型一样，可以代数换元； （3）齐次分式同除型，可以代数换元。 1．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果. 【详解】由可得，且 因此， 令，则； 又； 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解. 2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由已知结合基本不等式可得，令，则转化为，求出的范围可得答案. 【详解】因为，，且， 所以， 即，当且仅当时取等号， 令，则， 所以，得， 所以，得， 即，所以的最小值为4. 故选：C 3．（多选）（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知且，则下列选项正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式结合常值代换及换元法计算各个选项即可判断选项. 【详解】对于A项，因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A项正确； 对于B项，因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C项，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C项错误； 对于D项，令所以 所以， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D项正确． 故选：ABD． 4．（多选）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】运用可判断A项；由结合基本不等式可判断B项；令，代入原式，结合“1”的代换及基本不等式可判断C项；由，结合二次函数在区间上的最小值可判断D. 【详解】对选项A，，当且仅当时取“=”，故A正确； 对选项B， ，当且仅当时取“=”，故B正确； 对选项C，， 令，则， 所以， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为，故选项C错误. 对选项D，， 当且仅当时取“=”，故D错误； 故选：AB. 5．（2025·四川成都·模拟预测）已知正数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意得，通过换元结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，解得， 所以，令， 则， 等号成立当且仅当，此时，， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知为正实数，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】由题得， 设，则. 当且仅当时取等. 所以的最小值为4. 故答案为：4 7．（24-25高一上·全国·课后作业）设，求的最大值． 【答案】 【分析】利用换元法得，即可由不等式求解. 【详解】设，，且， 所以． 由，得， ∴，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为． 8．（24-25高二下·浙江丽水·期末）若实数，满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中，则， 从而， 故 记，则， 不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 【考点14：三元型】 1．（24-25高二上·陕西铜川·期中）设a，b，c均大于0，，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式可推出结论，即可得到最值 【详解】设，由基本不等式得，，，三式相加可得 所以．当a=b=c时等号成立 故选：C 2．（2025·河南郑州·三模）若实数，且，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由均值定理 ，当且仅当时，等号成立，故选择D. 3．（2025·辽宁·模拟预测）若，，均为正数，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】将式子变形得到：，再由均值不等式得到. 【详解】，，均为正数，且， 将式子变形得到 根据均值不等式得到： 等号成立的条件为： 故选：C. 4．（24-25高二下·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式可得，再次利用基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， ，当且仅当时，取等号， ，当且仅当时，原式取得最小值， 故选：D. 5．（24-25高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，结合基本不等式即可求解． 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当时等号成立，又因为，由不等式的性质可得 ． 又因为， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：B． 6．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合条件可得 ，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 三个等号可同时成立，所以 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 ， 故选：A. 【考点15：裂项型】 1.（2023·安徽蚌埠·高三统考）若均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将变形为 ，结合可求得答案. 【详解】因为均为正数，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C 2．（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）已知，且，则的最小值是（    ） A．11 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可由积为定值求和的最小值. 【详解】，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立. 故选：A 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $$