专题12 基本不等式（4个知识点+12大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

专题12 基本不等式 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： 1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 题型一：对基本不等式的理解及简单应用 【例1】（2025·高一·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【变式1-1】下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【变式1-2】（2025·高一·安徽·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 【变式1-3】（2025·高一·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：利用基本不等式比较大小 【例2】若，，则、、、中最大的一个是 ． 【变式2-1】（2025·高二·全国·单元测试）若a>0，b>0，则 与 的大小关系是 . 【变式2-2】若，且，则中值最小的是 【变式2-3】给出下列不等式： ①；     ②；    ③； ④；   ⑤. 其中正确的是 (写出序号即可)． 题型三：利用基本不等式证明不等式 【例3】（2025·高一·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 【变式3-1】（1）已知，，，求证：； （2）已知、、都是正实数，且，求证：. 【变式3-2】（1）已知，，，求证：． （2）已知，，都是正数，求证：． 【变式3-3】（1）证明：； （2）已知，，且，求证：. 题型四：直接法求最值 【例4】（2025·高一·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【变式4-1】（2025·高一·上海·期末）已知，且，则的最小值为 ． 【变式4-2】已知，若，则ab的最小值为 ； 题型五：常规凑配法求最值 【例5】已知，则的最大值为 . 【变式5-1】（2025·高二·安徽六安·期末）已知，则的最大值为 ． 【变式5-2】（2025·高一·湖南湘潭·期中）已知，则的最小值为 ． 【变式5-3】函数的最小值为 ，此时x的值为 ． 题型六：消参法求最值 【例6】（2025·高一·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【变式6-1】若实数x，y满足，则的最大值是 ． 【变式6-2】已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【变式6-3】（2025·高一·河南新乡·期末）已知，，且，则的最小值是 . 题型七：换元求最值 【例7】（2025·高一·陕西西安·期末）已知，，，且，则m的最小值为 . 【变式7-1】设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 【变式7-2】若正实数满足，则的取值范围为 ． 【变式7-3】（2025·高一·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 题型八：“1”的代换求最值 【例8】设，且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D． 【变式8-1】已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·高一·甘肃甘南·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 题型九：万能K法 【例9】已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【变式9-1】（2025·高一·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·高一·重庆渝中·期中）若，，则当 时，取得最大值，该最大值为 . 【变式9-3】已知，且，则的取值范围是 . 题型十：条件等式求最值 【例10】已知，则的最小值为 . 【变式10-1】（2025·高一·浙江宁波·期中）已知，满足，则的最小值为 【变式10-2】已知正实数、满足，则的最小值为 . 【变式10-3】已知，，且，则的最小值是 题型十一：利用基本不等式求解恒成立问题 【例11】设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式11-1】对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【变式11-2】（2025·高一·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十二：基本不等式在实际问题中的应用 【例12】一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾客，则商店在销售后（   ） A．黄金少给了 B．黄金刚好 C．黄金多给了 D．与砝码放置顺序有关 【变式12-1】一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于，那么这批货物全部运到B市，最快需要（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】某产品的产量第一年的增长率为，第二年的增长率为．设这两年的年平均增长率为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆）与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：）及平均车长（单位：）的值有关，其公式为．若不限定车型，，则最大车流量为（   ） A．1000辆 B．1200辆 C．1500辆 D．1900辆 1．用篱笆围成一个面积为的矩形菜园，则所用篱笆的长度最短为（   ） A． B． C． D． 2．若，则的最小值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．已知a，b，c均为不等于零的实数，且满足，，则b的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 4．已知正数m，n满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2 6．已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 7．（2025·高一·广西贵港·期中）已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025·高一·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 9．（多选题）已知两个正实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A．的最小值是8 B．的最大值是8 C．的最小值是 D．的最大值是 10．（多选题）（2025·高一·重庆·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A．最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为4 12．若当且仅当时，取得最小值，则实数的值为 . 13．某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、养路、汽油费用共9千元，汽车使用年的维修总费用为，，则这种汽车使用 年后报废最合算（提示：报废即为年平均使用费用最低）． 14．（2025·高一·河北保定·期中）已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ． 15．（2025·高一·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 16．（2025·高一·广西南宁·期末）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 17．（2025·高一·江苏镇江·期末）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知，证明：. 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 基本不等式 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： 1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点四：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 题型一：对基本不等式的理解及简单应用 【例1】（2025·高一·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【解析】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立． 故选：C． 【变式1-1】下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【解析】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误； 对于D，取，，D错误． 故选：B 【变式1-2】（2025·高一·安徽·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 【答案】D 【解析】对于A选项，若且，不妨取，，，，则，A错； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为，B错； 对于C选项，当、均为负数时，，C错； 对于D选项，因为，所以，， 当且仅当时等号成立，D对． 故选：D． 【变式1-3】（2025·高一·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确． 故选：D 题型二：利用基本不等式比较大小 【例2】若，，则、、、中最大的一个是 ． 【答案】 【解析】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 【变式2-1】（2025·高二·全国·单元测试）若a>0，b>0，则 与 的大小关系是 . 【答案】 【解析】因为， 所以，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【变式2-2】若，且，则中值最小的是 【答案】 【解析】由，，且，根据均值不等式有：，， 又， 因为，所以，则， 所以，即. 故答案为：. 【变式2-3】给出下列不等式： ①；     ②；    ③； ④；   ⑤. 其中正确的是 (写出序号即可)． 【答案】② 【解析】当时，，所以①不正确； 因为与同号，所以，所以②正确； 当时，，所以③不正确； 当时，，所以④不正确； 当时，，所以⑤不正确． 故答案为：② 题型三：利用基本不等式证明不等式 【例3】（2025·高一·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 【解析】（1），， 则． 当且仅当，即时等号成立． 所以函数的最小值为． （2），，， 即，当且仅当时等号成立． 【变式3-1】（1）已知，，，求证：； （2）已知、、都是正实数，且，求证：. 【解析】（1）因为，则， 又因为，则，可得， 又，所以； （2）因为、、都是正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 【变式3-2】（1）已知，，，求证：． （2）已知，，都是正数，求证：． 【解析】（1）由，得，又，故， 从而，又，所以． （2），，， ，，，当且仅当时，等号成立， ， ； 【变式3-3】（1）证明：； （2）已知，，且，求证：. 【解析】证明：（1）解法一（反证法）： 假设， 即， 两边平方得，即， 即，这与矛盾，因此假设不成立， 故. 解法二（分析法）： 要证， 只需证， 因为，， 所以只需证， 即证，即证， 因为成立， 所以成立. 解法三（综合法）： ， ， 因为， 所以. （2）由题意知，故 . 题型四：直接法求最值 【例4】（2025·高一·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 【变式4-1】（2025·高一·上海·期末）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以由基本不等式可得： ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 【变式4-2】已知，若，则ab的最小值为 ； 【答案】 【解析】由，，得，且，当时取等号， 则，解得，即的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：． 题型五：常规凑配法求最值 【例5】已知，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】由知， 当且仅当，即时取得等号， 即的最大值为， 故答案为： 【变式5-1】（2025·高二·安徽六安·期末）已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【解析】由，得，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以的最大值为2. 故答案为：2 【变式5-2】（2025·高一·湖南湘潭·期中）已知，则的最小值为 ． 【答案】3 【解析】由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：3 【变式5-3】函数的最小值为 ，此时x的值为 ． 【答案】 【解析】由知，所以，当且仅当，即时取等号． 题型六：消参法求最值 【例6】（2025·高一·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】25 【解析】由可得，代入中，可得， 设，则， 于是， 因，当且仅当时，等号成立， 即时，取得最小值25. 故答案为：25. 【变式6-1】若实数x，y满足，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】因为实数x，y满足， 所以，所以， 所以，， 所以当时，有最大值，最大值为. 故答案为：. 【变式6-2】已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】1 【解析】因为， 所以，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 【变式6-3】（2025·高一·河南新乡·期末）已知，，且，则的最小值是 . 【答案】4 【解析】因为，则，所以， 所以. 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是4. 故答案为：4. 题型七：换元求最值 【例7】（2025·高一·陕西西安·期末）已知，，，且，则m的最小值为 . 【答案】9 【解析】由，得，即. 因为，所以， 当且仅当时，取等号， 令，则，解得或（舍去）， 即，当且仅当时，取等号， 故的最小值是9. 故答案为：9． 【变式7-1】设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【解析】方法一：令，则，代入，整理得，其， 解得，当时，. 故的最大值是． 方法二：由 ，即， 当时，. 故的最大值是． 故答案为： 【变式7-2】若正实数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 即， 令，则有， 解得， 又因为正实数，所以， 所以，即，所以， 故答案为: . 【变式7-3】（2025·高一·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 题型八：“1”的代换求最值 【例8】设，且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式8-1】已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，故， 则， 当且仅当时取等号，由，解得， 即时，取得最小值8. 故选：B. 【变式8-2】（2025·高一·甘肃甘南·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 【变式8-3】已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【解析】因，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：B 题型九：万能K法 【例9】已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【解析】根据题意， 若方程有解，则， 即， 所以， 当时，，此时，即， 也就是说当且仅当时，. 故选：D 【变式9-1】（2025·高一·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 因为， 所以，即：， 所以， 解得：， 又因为，为正实数， 所以， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式9-2】（2025·高一·重庆渝中·期中）若，，则当 时，取得最大值，该最大值为 . 【答案】 / / 【解析】令，则， 则， 即， 由，解得：， 故， 故，解得：，， 所以当且仅当，时，等号成立， 故答案为：， 【变式9-3】已知，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，所以. 又因为， 所以，解得. 故答案为：. 题型十：条件等式求最值 【例10】已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为. 故答案为： 【变式10-1】（2025·高一·浙江宁波·期中）已知，满足，则的最小值为 【答案】2 【解析】由，得，令，则， 解得，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 【变式10-2】已知正实数、满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为正实数、满足，所以， 解得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 【变式10-3】已知，，且，则的最小值是 【答案】/ 【解析】由，，则，当且仅当时，等号成立， 故，即， 令，即，则有或（负值舍去）， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 题型十一：利用基本不等式求解恒成立问题 【例11】设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】因为恒成立，所以恒成立，即恒成立．又，当且仅当时，等号成立，所以，即． 【变式11-1】对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【解析】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 【变式11-2】（2025·高一·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 【变式11-3】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 题型十二：基本不等式在实际问题中的应用 【例12】一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾客，则商店在销售后（   ） A．黄金少给了 B．黄金刚好 C．黄金多给了 D．与砝码放置顺序有关 【答案】C 【解析】设天平左、右两臂长分别为，两次放入的黄金的克数分别为x，y．由杠杆的平衡原理有，则．由于，且，故．因此，即顾客实际所得黄金大于10克． 【变式12-1】一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于，那么这批货物全部运到B市，最快需要（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t小时，则，当且仅当，即时等号成立． 【变式12-2】某产品的产量第一年的增长率为，第二年的增长率为．设这两年的年平均增长率为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以，所以，当且仅当时，等号成立． 【变式12-3】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆）与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：）及平均车长（单位：）的值有关，其公式为．若不限定车型，，则最大车流量为（   ） A．1000辆 B．1200辆 C．1500辆 D．1900辆 【答案】D 【解析】，当且仅当，即时，等号成立，此时车流量最大为1900辆． 1．用篱笆围成一个面积为的矩形菜园，则所用篱笆的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设矩形菜园的长为，则宽为，所用篱笆长为，其中．由题意得．又，所以，当且仅当时，等号成立． 2．若，则的最小值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】依题意有，当且仅当时取等号． 3．已知a，b，c均为不等于零的实数，且满足，，则b的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以，且，所以b的最大值为1． 4．已知正数m，n满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，当且仅当，时等号成立，所以． 5．下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】C 【解析】当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立.故A，B错误.对任意，，当且仅当，即时，也即时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确.，当且仅当，即时，等号成立，但是，等号不成立，故D错误. 6．已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解析】，当且仅当时，等号成立，故. 7．（2025·高一·广西贵港·期中）已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】因为，所以，所以． 当且仅当时，取得最大值1. 故选：A 8．（2025·高一·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以． 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是7． 故选：A 9．（多选题）已知两个正实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A．的最小值是8 B．的最大值是8 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】AC 【解析】由，所以，所以， 当且仅当时等号成立，故A正确，B错误； 又， ， 当且仅当，即时等号成立， 即，解得，故C正确，D错误； 故选：AC． 10．（多选题）（2025·高一·重庆·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，因为，，所以，又所以， 所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：BCD. 11．（多选题）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A．最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为4 【答案】ABC 【解析】因为，所以，当且仅当，即，时成立，正确； 对于，，当且仅当，即，时成立，正确； 对于，，当且仅当，即，时成立，正确； 对于，，当且仅当，即时成立，错误. 故选： 12．若当且仅当时，取得最小值，则实数的值为 . 【答案】16 【解析】因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.依题意得，所以. 13．某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、养路、汽油费用共9千元，汽车使用年的维修总费用为，，则这种汽车使用 年后报废最合算（提示：报废即为年平均使用费用最低）． 【答案】10 【解析】设使用年时的年平均费用为万元，依题意得，当且仅当，即时，等号成立． 14．（2025·高一·河北保定·期中）已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【解析】由，得，而， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 15．（2025·高一·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 【答案】35 【解析】因为，且，所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为35. 故答案为：35 16．（2025·高一·广西南宁·期末）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 【解析】（1）， ， ，即， 当且仅当，即时，取得最大值； （2） ， 当且仅当，即时，取得最小值． 17．（2025·高一·江苏镇江·期末）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知，证明：. 【解析】（1）易知，即可得, 解得，当且仅当时，等号成立， 此时的最小值为4； （2）因为， 所以 , 因此. 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$