第07讲基本不等式2 专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第07讲 基本不等式2 【考点7】基本不等式的恒成立问题 【例题1】已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【详解】因为正实数x，y满足， 所以，， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数x，y满足时，有恒成立， 所以，即， 所以，的最大值为. 【例题2】．已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】参变分离，利用基本不等式求的最大值即可. 【详解】不等式恒成立， 即， 因，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则，故． 故选：C． 【针对训练】 1．已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，进而得到实数的取值范围. 【详解】由都是正数，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为， 又由恒成立，所以. 故选：A. 2．已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式的恒成立问题 【分析】利用基本不等式得出，结合题干信息得出，利用即可. 【详解】因，则，等号成立时， 因，则，即， 解得，即， 因不等式恒成立，则，故实数的最小值是. 故选：D 3．设、是正实数，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题 【分析】先由基本不等式常数代换法求出的最小值情况，再由恒成立即可得解. 【详解】、是正实数，且， 则， 则， 当且仅当即时等号成立， 但、是正实数，所以的最小值的极限值为1， 因为不等式恒成立，所以. 故实数的最大值为1. 故选：C 【考点8】对勾函数求最值 【例题1】．函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【详解】由，令，则. ，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以时，函数. 故函数的最小值为. 故选：C. 【例题2】．已知，则函数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【知识点】对勾函数求最值 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】因为，当且仅当时，取等号， 所以函数的最小值为0， 故选：B 【针对训练】 1．的最小值为（    ） A． B． C．2 D．16 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】先求展开式，进而利用基本不等式求解. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：B 2．已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】由题意，， 在中， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为， 故选：D. 3．函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】对勾函数求最值 【分析】根据基本不等式的性质即可求解. 【详解】根据题意可知， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 【课后综合】 1．已知，则的最小值为（   ） A．8 B．0 C．1 D． 【答案】B 【知识点】对勾函数求最值 【分析】由基本不等式求得最小值． 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 2．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【知识点】对勾函数求最值、基本（均值）不等式的应用 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 3．已知正实数a，b满足，则的可能取值为（    ） A．2 B． C． D．4 【详解】由题意可得， 令，由于，则，， 由于对勾函数在单调递减，在单调递增，所以， ，故，所以． 故选：BD． 4.．函数的最小值为 ，此时＝ ． 【详解】由，则，当且仅当时等号成立， 所以函数在时取最小值. 故答案为：， 【考点9】解含参数/不含参的一元二次不等式 【例题1】．已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式的概念及辨析、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果. 【详解】由题设且， 所以，所以不等式的解集为. 故选：B 【例题2】．已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、并集的概念及运算 【分析】先解绝对值不等式及一元二次不等式得出集合，再应用并集定义计算求解. 【详解】集合或， 则， 故选：C． 【针对训练】 1．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】将不等式转化为，解分式不等式即可． 【详解】， 可得，解得， 故选：A． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解不含参数的一元一次不等式、分式不等式 【分析】根据不等式的性质，将分式不等式转化为求解；或转化为，或求解即可. 【详解】由不等式的性质，等价于或. 故选：D. 方法二： 因为，所以，或. 解得，或. 故选：D. 3．已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】分情况讨论不等式的解集，根据解集中不含整数，求的取值范围. 【详解】由. 若即，不等式的解为，因为解集中不含整数，所以，所以满足题意； 若即，不等式的解集为，此时解集中不含整数，所以满足题意； 若即，不等式的解为，因为解集中不含整数，所以，所以满足题意. 综上实数的取值范围为. 故选：C 【课后检测】 1．若不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】分析可知方程的解为2，3，且，利用韦达定理可得，代入解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 可知方程的解为2，3，且， 可得，即， 则不等式即为， 且，可得，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 2．若一元二次不等式的解集为或，则的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据韦达定理得出的关系，即可化简不等式，进而求解. 【详解】由题意可知，，和是方程的两根， 则，，则，， 则可化为，即，得或， 则的解集为或. 故选：A 3．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，、是关于的方程的两根，且， 由韦达定理可得，解得，故原方程为，即， 将代入方程得， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A. 4．不等式的解集是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据解集和韦达定理得到，再一一分析即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以有，所以AC错误， 则，，故BD正确． 故选： BD． 5．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为-4. 【详解】选项A：由关于的不等式的解集为， 得：函数的图象是一条开口向下的抛物线， 且与x轴有两个交点，分别是.所以选项A 正确； 选项B ：由选项A知，关于的方程的解集为， 所以，所以. 所以不等式可化为， 即，即.解得：. 所以不等式的解集为.所以选项B正确； 选项C ：，所以选项C正确； 选项D：由选项B知：.所以 因为，所以，当且仅当， 即时，等号成立. 因为，所以等号不成立，所以取不到-4，所以选项D错误. 故选：ABC. 6．关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．方程的解集是 【详解】由题意可知所以故A不正确，B正确； 不等式可化为， 即 所以解集为，故C正确； 方程可化为，即， 所以方程的解集是，故D不正确． 故选：BC. 7．不等式的解集为 【详解】因为与同解，所以， 所以解集为. 故答案为：. 8．不等式的解集为 ． 【详解】， 即， 所以. 故答案为：． 9．不等式解集为 ． 【详解】不等式化为，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 10．要使代数式有意义，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】要使代数式有意义，则， 得， 得， 则实数的取值范围是 故答案为： 11．若，则关于的不等式的解集为 ． 【详解】， 因为，方程的两根为，且， 所以不等式的解集为. 12．若，则关于的不等式的解集为 ． 【详解】当时，设方程的两根为，， 则和， 因为，所以，又， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 13．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【详解】由题意得是方程的两个根，故， 所以， 则不等式，即为， 则其解集为或 故答案为：或 【考点10】一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 【例题1】．若关于的不等式对一切实数x都成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【详解】.当，即时，不等式可化为，此时不等式恒成立， 当，即时，若对一切实数x都成立， 则，解得， 综上所述，若对一切实数x都成立， 则a的取值范围为. 故选：A. 【例题2】．已知，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意得，再解一元二次不等式即可得答案. 【详解】解：因为，恒成立， 所以，即，解得. 所以，实数的取值范围是. 故选：B 【针对训练】 1.设，若恒成立，则的最大值为 .. 【详解】，， （当且仅当，即时取等号）， ，即的最大值为. 故答案为：. 2．写出使得命题“，”的否定是假命题的一个实数的值 . 【详解】若命题“，”的否定是假命题， 则命题“，”为真命题，所以， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最小值为，所以. 故答案为：（答案不唯一，满足的都可以）. 3．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【详解】因为，， 所以且， 所以由不等式恒成立得出： 即 恒成立， 所以等价于求解的最小值， 因为， 当且仅当 即时，等号成立， 所以的最小值为，， 所以的取值范围是：， 【课后检测】 1．若对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时，取得最大值. 因为恒成立，所以，所以. 所以实数的取值范围是. 故答案是：. 2．设实数，为任意的正数，且，则使恒成立的的取值范围是 . 【详解】，，且， ， 当且仅当，即，此时联立可得，时取等号. 不等式恒成立，所以. ，即的取值范围是. 故答案为： 3．若对恒有，则的取值范围是 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 【考点11】一元二次不等式在某个区间上的有解与恒成立问题 【例题1】．若关于x的不等式有实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】设，若要使不等式有实数解；则；然后根据一元二次不等式解出答案． 【详解】设， 若要使不等式有实数解； 则需要满足即可， 又， 则； 则，解得或； 故选：A． 【针对训练】 1．当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、探求命题为真的充要条件、基本不等式求和的最小值 【分析】参变分离得到，换元，利用基本不等式求出，从而得到答案. 【详解】，， 关于x的不等式有解，故即可， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故充要条件为. 故选：B 2．命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为“，”是真命题， 所以不等式有解， 因此方程的判别式， 故选：B 3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】BCD 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据一元二次不等式恒成立，分、讨论求解即可. 【详解】当时，不等式为，显然成立； 当时，则，解得. 综上所述，． 故选：BCD 4．若“，”是假命题，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】BC 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由题意得“，”是真命题，列不等式可得，进而可求解. 【详解】依题意得，“，”是真命题， 所以，解得， 所以AD不符合题意，BC符合题意. 故选：BC 【考点12】基本不等式“1”的妙用 【例题1】．设正实数满足，则（　　） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为5 D．有最大值为 【详解】对于A，因为，且， 所以，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，因为， 又因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，由， 可得， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，设， 则 ， 当取最大值时， 即最大， 将代入， 得， 因为， 所以， 所以 所以， 所以， 所以的最大值取不到，故D错误. 故选：ABC． 【例题2】．已知，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】AD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】对于A，由基本不等式“1”的妙用方法即可计算得解；对于B，由题设结合基本不等式即可求解判断；对于C，转化为一元二次函数配方后求最小值即可判断；对于D，先由将变形为，再由基本不等式即可计算得解. 【详解】对于A，因为且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，故，当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，由得，则， 当时等号成立，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：AD. 【针对训练】 1．已知，，为正实数，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【详解】A：由，且，为正实数， 则，即，解得， 则，当且仅当，即，时取等号，故A正确； B：由，且，为正实数，则， 即， 所以，当且仅当，即，时取等号，故B正确； C：由，且，为正实数，则得， 则， 当且仅当，即时取等号，故C错误； D：由C可得， 则， 又因为， 当且仅当，，即时取等号，故D正确. 故选：ABD. 2．已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】根据不等式的性质，利用已知条件结合基本不等式对各选项进行逐一分析判断． 【详解】选项A：，当且仅当时取等号， 又，， 均为正实数， ，即，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：，， ，当且仅当，即时，，而，故B错误； 选项C：，令，则，等式成立，此时，故C错误； 选项D：， ，变形可得， 设，则，故同号， 当时， ，当且仅当，即时等号成立； 当时，，，则，与矛盾，故不符合题意. ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：． 3．设正实数x，y满足，则（ ） A．xy的最大值是 B．的最小值是9 C．的最小值为 D．的最大值为2 【详解】因为正实数x，y满足， A中，可得，可得，当且仅当，即，时取等号， 所以xy的最大值为，所以A不正确； B中，， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为9，所以B正确； C中，因为，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，所以C正确； D中，因为，所以， 当且仅当，即，时取等号，D错误． 4.已知，则的最小值为 ． 【详解】由题意得， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为： 5．已知，，且，则的最小值为 . 【详解】因为，所以，又，， 则， 当且仅当，即当且仅当时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 6．已知a，b为正数，，则的最小值为 ． 【详解】已知，得：，即. 由此可得： . 当且仅当时，又，故当，时等号成立. 故的最小值为. 故答案为： 7．已知，，，则的最小值为 【详解】因为，，，所以， 所以. 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 8．已知，为正实数，且，则的最小值为 ． 【详解】，为正实数，且， ， 当且仅当，即时，等号成立，又， 故时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 基本不等式2 【考点7】基本不等式的恒成立问题 【例题1】已知正实数x，y满足时，有恒成立，则的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【例题2】．已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【针对训练】 1．已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．设、是正实数，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【考点8】对勾函数求最值 【例题1】．函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【例题2】．已知，则函数的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【针对训练】 1．的最小值为（    ） A． B． C．2 D．16 2．已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 3．函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【课后综合】 1．已知，则的最小值为（   ） A．8 B．0 C．1 D． 2．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 3．已知正实数a，b满足，则的可能取值为（    ） A．2 B． C． D．4 4.．函数的最小值为 ，此时＝ ． 【考点9】解含参数/不含参的一元二次不等式 【例题1】．已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【例题2】．已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【针对训练】 1．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【课后检测】 1．若不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．若一元二次不等式的解集为或，则的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为-4. 6．关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．方程的解集是 7．不等式的解集为 8．不等式的解集为 ． 9．不等式解集为 ． 10．要使代数式有意义，则实数的取值范围是 . 11．若，则关于的不等式的解集为 ． 12．若，则关于的不等式的解集为 ． 13．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【考点10】一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 【例题1】．若关于的不等式对一切实数x都成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【例题2】．已知，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1.设，若恒成立，则的最大值为 .. 2．写出使得命题“，”的否定是假命题的一个实数的值 . 3．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【课后检测】 1．若对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 2．设实数，为任意的正数，且，则使恒成立的的取值范围是 . 3．若对恒有，则的取值范围是 【考点11】一元二次不等式在某个区间上的有解与恒成立问题 【例题1】．若关于x的不等式有实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 2．命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D．0 4．若“，”是假命题，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【考点12】基本不等式“1”的妙用 【例题1】．设正实数满足，则（　　） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为5 D．有最大值为 【例题2】．已知，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 【针对训练】 1．已知，，为正实数，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 2．已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 3．设正实数x，y满足，则（ ） A．xy的最大值是 B．的最小值是9 C．的最小值为 D．的最大值为2 4.已知，则的最小值为 ． 5．已知，，且，则的最小值为 . 6．已知a，b为正数，，则的最小值为 ． 7．已知，，，则的最小值为 8．已知，为正实数，且，则的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $