1.5 有理数的乘法和除法（共3课时） 教案 2025-2026学年湘教版数学七年级上册

本文围绕有理数的乘除法展开，涵盖乘法法则、运算律、除法运算及乘除混合运算等核心知识点。承接小学算术运算，为后续有理数运算奠基。通过情境导入、合作探究等环节，培养学生抽象能力、运算能力、模型意识等核心素养。 该设计创新点在于引导学生自主探索法则。特色教法有小组合作、实例探究。其优势在于，学生能提升思维能力，教师获清晰授课路径，课堂有效突破教学难点。

1.5 有理数的乘法和除法 第1课时 有理数的乘法 【教学目标】 1.在理解有理数乘法意义的基础上，掌握有理数的乘法法则，并正确地进行乘法运算。理解几个有理数相乘，积的符号如何确定。理解有理数的倒数定义。 2.让学生通过相同数的加法体验乘法运算法则，会类比出若干个相同负数的加法运算(即负数的乘法运算)。通过对特例的归纳，鼓励学生自主探索有理数的乘法法则。经历有理数的乘法法则的实验与探索过程，提高学生观察、归纳、猜想、验证的能力，不断增强运算能力。 3.提供适当的情景，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作学习中，学会交流与合作。在经历有理数的乘法法则的自主探究，合作交流，归纳总结，使其充分体会到知识产生、规律发现的过程，感受生活中乘法运算的存在与价值，让学生融入到数学学习中来，融身到数学活动中去。 【教学重点、难点】 重点：了解有理数乘法法则的发现以及形成过程，掌握乘法法则的关键，运用乘法法则准确地进行有理数的运算。 难点：掌握有理数乘法法则中的符号规则，并能准确、熟练地应用于有理数乘法运算中去。 【教学过程】 (一)创设情景，提出问题 人类因为没有保护好环境，连续几年全球气温都在不断的上升，今年也不例外。自七月份宁波市进入高温天气以来，几乎没有下过一场雨。由于高温，据市某水文观测站测得的数据显示：我市某水库的水位在某段高温天气以每天3.5cm的速度下降，问连续四天高温该水库的水位下降了多少？这个实际问题与有理数的乘法有什么联系呢？让我们来共同研究吧。 由上面的问题可知，该水库的水位到第四天下降了3.5×4＝14cm。根据生活经验及前面的结果，如果把下降记为“－”，则有(－3.5)×4＝－14。 (二)合作交流，探索新知 1、根据上述结果，结合生活中的经验，自编一道类似的实际问题，并把要求的结果写成像(－3.5)×4＝－14这样的算式。 2、由上面的问题所写的负数与正数的乘法运算方法，计算： (－3)×4= ；(－3)×3= ；(－3)×2= ；(－3)×1= . 结合课本，用数轴表示上述相应算式的几何意义。 3、计算下列各式，并回答：若一个因数继续逐级减少，下面的积会有什么变化？ (－3)×(－1)= ；(－3)×(－2)= ；(－3)×(－3)= ；(－3)×(－4)= . 此外，如果有一个因数是0,所得的积还是0。如： 0×(－3)=0，×0 =0，0×(－3)＝0。 思考：如何确定两个有理数的积的符号和绝对值？从以上得出的几个算式，你能发现什么规律？ 通过特例的归纳，鼓励学生自己总结有理数的乘法法则。并运用自己的语言加以描述，与同伴交流共同完成。 综合以上各种情况，我们有 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，积为零。 例如：（－5）×（－3）……………………………… 同号两数相乘 （－5）×（－3）=＋（ ）……………………………得正 5×3=15…………………………………………把绝对值相乘 所以（－5）×（－3）=15。 （－6）×4………………………………………异号两数相乘 （－6）×4=－（ ）……………………………………得负 6×4=24…………………………………………把绝对值相乘 所以（－6）×4=－24。 (三)指导应用，深化理解 例1 计算 (1)×1； (2) (－2.5)×4 ； (3) （－5）×0×；(4) (－)×(－3)； (5) （－6）×(－)×（－4） (6) (－)×1； （7）(－7) ×(－1)。 按课本讲解、板书。（组织学生口头回答例题的解答。有理数乘法运算分两步：确定积的符号；把绝对值相乘。） 探究以下三个问题： 问题1: 与这两数有何关系？－与－3呢？类比小学学过的有关倒数的定义。 在小学我们学过，两个正有理数乘积为1时，称这两个正有理数互为倒数。同样，这个规定在负数中仍然适用。 若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。例如，是的倒数，3也是的倒数，与－3互为倒数。0没有倒数。 问题2：几个有理数相乘，因数都不为零时，积的符号怎样确定？有一个因数为0时，积是多少？ 有多个不为零的有理数相乘时，可以先确定符号，再将绝对值相乘。当相乘的数中，负数有奇数个时，积为负；负数有偶数个时，积为正。若其中一个乘数为零时，积为零。 问题3：做完第（6）、（7）题，能发现什么规律？一个数与－1相乘，积是多少？一个数与1相乘，积是多少？ 让学生自己总结：一个数乘以1都等于它本身；一个数乘以-1都等于它的相反数．+(-5)可以看成是1×(-5)，-(-5)可以看成是(-1)×(-5)．同时教师强调指出，a可以是正数，也可以是负数或0；-a未必是负数，也可以是正数或0． 补充例题： 1. 计算：(-3)×× (－1)× (－) 渗透化归思想，有理数的乘法实际上就是在确定完积的符号后，转化为小学中算术数的乘法。 2.某一物体温度每小时上升a度，现在温度是0度．问： (1)t小时后温度是多少？ (2)当a，t分别是下列各数时的结果： ①a=3，t=2；②a=-3，t=2； ②a=3，t=-2；④a=-3，t=-2； 教师引导学生检验一下(2)中各结果是否合乎实际． 随堂练习： 1.课本例1下的课内练习第1、2、3题。（可先让学生在课本上解答，再请学生回答。若有错误，请其他同学及时纠正。） 2.填空； (1)一个数与它的相反数的积 (大于0；小于0；不大于0；不小于0)。 (2)一个数与 的积是它本身；一个数与 的积是它的相反数。 (3)三个有理数的积为0,那么，这三个数中至少 ；三个数的积是负数，那么，这三个数的符号情况是 。 (4)－2的倒数是 ；0.1的倒数是 ；－的倒数是 ；1的倒数是 ；－2的倒数是 。 (5)如果两个数的积是－1,我们称它们互为负倒数。那么，－2的负倒数是 ；0.01的负倒数是 。 (6) 一个数的倒数是它本身，这个数是 。 (7)用“＞”或“＜”号连接：如果 a＜0，b＜0，那么 ab 0；如果 a＜0，b＜0，那么ab 0；如果a＞0时，那么a 2a；如果a＜0时，那么a 2a． 3.计算： (1) (－2)×（－1）； (2)（－×0； (3)－4.8×(－45)； (4)7.2×(－0.6)； (5)－3×(2－3)×(5－4)×(－1)； (6)5×(－12)×∣－7∣×∣－3＋3∣. 探究活动1： 下面是某同学错误计算(－12.5)×(－)×(－4)的过程，你能帮他改正吗？ 解：(－12.5)×(－)×(－4)＝－××(－4)＝－×(－4)＝－＝－42 同类变式：计算(1－2)(2－3)(3－4)•…•(2003－2004) 探究活动2： 某地区，夏季高山上的温度从山脚起每升高100米，温度降低0.6℃,已知山脚的温度是24℃,山高800米，求山顶的温度是多少？ 探究活动3： 赵先生将甲、乙两种股票同时卖出，其中甲种股票卖价是1200元，盈利20%；乙种股票卖价是1200元，亏损20%,问两种股票合计是盈利还是亏？ (四)归纳小结，反思提高 问题：通过本课的探讨学习，你获得了哪些新的知识，你认为有哪些方面的进步。（让学生进行小结，经过学生个人回顾—同桌交流—给大家说说的过程，总结本节课的所做、所听、所感，让知识系统化、合理化。重视学生之间的相互补充，训练学生的归纳和表述能力，提高学生学习的积极性和主动性） 可以从以下三个方面归纳： 1.知识：有理数的乘法法则和倒数的概念，会进行有理数的乘法计算，能说出一个数的倒数。应用有理数乘法法则计算时，要同时确定“积”的符号、计算“积”的绝对值。学习有理数的乘法为下节课乘法运算律打下基础。 2.方法：本节课我们从实例出发，经过比较归纳，得出了有理数乘法的法则。今后我们经常要用类似的思想方法研究其他问题。 3.体验：感受生活中乘法的存在与价值，数学来源于生活，通过探索与交流体验知识的形成过程。 (五)布置作业：课本作业题。 第2课时 有理数乘法的运算律 【教学目标】 1.在熟练掌握有理数的乘法运算基础上，了解乘法交换律、乘法结合律、分配律的意义和运算中的价值，能运用乘法运算律简化乘法运算，解决有关实际问题。 2.让学生通过有理数的乘法计算，经过实验、观察、比较、猜想、验证等数学上常用的研究方法，鼓励学生自主探索有理数乘法的运算律。经历探索有理数乘法运算律的过程，进一步提高学生观察、归纳、猜想、验证等能力。 3.创设合理的问题情景，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作学习中，学会交流与合作，培养学生严谨的思维品质。把小学算术里的乘法运算律推广到有理数范围内，体现知识体系的完整美。 【教学重点、难点】 重点：进一步掌握有理数乘法法则的运用，验证和探索有理数乘法当中运算律的产生过程，运用乘法的运算律进行有理数乘法的简便运算。 难点：有理数乘法运算律的灵活运用。鼓励学生注意观察、勤于分析。 【教学准备】电脑、投影 【教学过程】 (一)创设情景，提出问题 在小学我们学过一些乘法的交换律、乘法的结合律以及分配律，谁能给大家介绍一下？ 问题：小学学习过的有关乘法的运算律，对所有的有理数都还适用吗？ 通过计算，比较验证同学们的猜想。 做一做：计算下列各题，并比较它们的结果： (1) (－5)×2＝－(5×2) ＝ ； 2×(－5)＝－(2×5) ＝ ； (2)[2×(－3)]×(－4)＝(－6)×(－4)＝ ； 2×[(－3)×(－4)]＝2×12＝ ； (3)(－3)×(2＋)＝(－3)×＝ ； (－3)×2＋(－3)×＝－6－1＝ 。 让学生进行观察、比较、思考： （1）以上各组题的运算结果有什么特点？ （2）各组题的运算形式，与乘法的运算律的结构特征对比，你发现了什么？ （3）对于问题，你得到的猜想是什么？ (二)合作交流，探索新知 探索1 完成上述计算(1)、(2)，再探索下列两个问题： (1)任意选择两个有理数(至少有一个负数)分别填入下列□和○内，并比较两个运算的结果。 □×○和○×□ (2) 任意选择三个有理数(至少有一个负数)分别填入下列□、○和◇内，并比较两个运算的结果。 (□×○)×◇和□×(○×◇) 可由多个学生提供实例，从而让学生总结出有理数的乘法满足交换律与结合律。用文字叙述，并用字母表示。 乘法交换律 □×○=○×□ 乘法结合律 (□×○)×◇=□×(○×◇) 探索2 完成做一做3,想一想与小学学过的哪个运算律类似。请你换一些数试一试，还成立吗？ 请用用文字叙述，并用字母表示：分配律 通过验证，使学生感到分配律在有理数运算中应用的合理性即可。 (三)指导应用，深化理解 例2 计算 (1) (－12) ×(－37) ×； (2)6× (－10) ×0.1×； (3) －30×(－＋)； (4) 4.99×(－12)； (5) 71×(－8) 按课本讲解、板书。（组织学生口头回答例题的解答。应用有理数乘法的运算律进行运算，可以简便运算，但它仍旧属于有理数的乘法运算，因此应遵循有理数的乘法运算的步骤：确定积的符号；把绝对值相乘。） 探究活动1: 讲完“有理数的乘法”后，老师在课堂上出了下面一道计算题：71×(－8). 不一会儿，不少同学算出了答案。现在老师把班上同学的解题过程归类写到黑板上。 解法一 原式＝×(－8)＝－＝－575； 解法二 原式＝(71＋×(－8)＝71×(－8)＋×(－8)＝－575； 解法三 原式＝(72－)×(－8)＝72×(－8)－×(－8) ＝－575. 对这三种解法，你认为哪种方法最好？ ，理由是 。本题对你有何启发？ 。 思维过程：解法二和解法三巧妙地利用了拆分思想，把带分数拆成一个整数与一个真分数的和，在应用分配律，大大简化了计算过程。 例3 某校体育器材室总共有60个篮球。一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的，和。请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？(独立完成，再小组交流) 随堂练习： 1.课本中的课内练习第1、2题。（可先让学生在课本上解答，再请学生板演。若有错误，请其他同学及时纠正。） 2.计算： (1)4×(－)×2； (2)（－1.2）×0.75×(－1.25)； (3) 3×(－1)； 小组合作练习，分析得出运用乘法的运算律对于有理数乘法的运算的作用。 (1)用好乘法的交换律；(2) (3)化小数为分数，带分数化为假分数；(4)用好乘法结合律；(5)灵活用好乘法的运算律；(6)拆分成差的形式要方便；(7)善于运用分配律，有时需要反向运用分配律。鼓励学生多种解法。 探究活动2：书本中的课内练习中的探究活动。 (四)归纳小结，反思提高 问题：通过本课的探讨学习，你获得了哪些新的知识，你认为有哪些方面的进步。（让学生进行小结，经过学生个人回顾—同桌交流—给大家说说的过程，总结本节课的所做、所听、所感，让知识系统化、合理化。） 可以从以下三个方面归纳： 1.知识：有理数乘法的运算律。会探究有理数乘法的运算律，能运用有理数乘法的运算律进行简便计算。注意确定“积”的符号、计算“积”的绝对值，注意掌握运用运算律的有关规律。 2.方法：本节课我们从有理数的乘法计算实例出发，经过比较归纳，得出了有理数乘法的运算律。今后我们经常要用类似的思想方法研究其他问题。 3.体验：感受生活中乘法的存在与价值，数学来源于生活，通过探索与交流体验知识的形成过程。 (五)布置作业：课本作业。 第3课时 有理数的除法 一、教学目标 1、了解有理数除法意义，经历归纳出有理数除法法则的过程。理解除法转化为乘法，体验矛盾双方在一定条件互相转化的辨证唯物主义思想。掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算及乘除混合运算。 2、培养学生发现问题，寻找规律，用已有知识解决问题的能力。 二、教学重点难点 1、有理数除法法则和乘除混合运算。 2、归纳出除法法则的过程。 三、教学过程 1、新课导入：口算： 8×9= 72÷9= （-4）×3= (－12)÷(－4)= 2×（-3）= (－6) ÷2= （-4）×（-3）= 12÷(－4)= 0×（-6）= 0÷(－6)= 观察右侧算式, 两个有理数相除时:商的符号如何确定?商的绝对值如何确定？ （让学生讨论并尝试归纳） 2、新授： 有理数除法法则： 两个有理数相除, 同号得正, 异号得负,并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数都得0. （注意：0不能作为除数） 〈1〉例1讲解： (1) (－8)÷(－4) (2) (－3.2)÷0.08 (3) (-1/6)÷2/3 教师边板书边和学生一起完成，从中反复渗透有理数的除法法则，着重强调先确定符号是关键。最后提出问题：求解中的第一步，第二步分别是什么？让学生思考并回答。 〈2〉给出抢答题，组织学生抢答活跃气氛。 计算：（1）（-21）÷3 （2）（-36）÷（-9） （3）（-1.6）÷0.4 （4）0÷（-7/83） （5）1÷（-2/5） 〈3〉议一议： 比较大小：（1）1÷（-2/5）与1×（-5/2） （2）（-1/4）÷（-1/6） 问题1：上面各组数计算结果有什么关系？ 问题2：以上等式两边的结果有什么不同？ 让学生思考发表观点之后，得出有理数乘法与除法之间的关系： 除以一个数，等于乘以这个数的倒数。 比比看，谁既快又准： 计算： （1）（-3/10）÷（-3/5） （2）（-2）÷（3/5） 让两学生板演，其他学生比赛。 〈4〉例2 计算：（-12）÷（-1/12）÷（-100） 问：本例和例1以及前面的练习有什么不一样？能用除法法则求解吗？如何求解？让学生思考后发言。然后和学生一起完成求解过程。并指出：常利用“除以一个数等于乘以这个数的倒数”把除法运算改写成乘法运算, 再利用乘法法则来计算. 问：还有没有其他的解法？让学生思考出其他解法并写在黑板上进行分析评讲。 想一想： 对于例2下面两种计算正确吗？让学生讨论思考。 （1）解：原式=（-12） ÷（1/12 ÷100） =（-12）÷1/1200 =-14400 （2）解：原式=（-1/12）÷（-12）÷（-100） =1/144÷（-100） =-1/14400 学生讨论发表观点之后，教师强调指出：除法不适合交换律与结合律。故不正确。 比比看，谁既快又准： 计算：（1）（-3/4）×（-3/2）÷（-9/4） （2）（-3/2）÷（-7）×（-7/5） （3）（-3/4）×（-4/3）-8÷4 3、小结： 这堂课你学到了什么？让学生用“我学会了…”“我明白了…”“我认为…”等造句。 4、数学在你我身边： 提供一个能用（-900）÷9×2表示的实际问题的情景,并说明负数表示的意义.让学生课后去思考完成 5、作业： 完成作业题、作业本；预习下一节内容。 教学反思： 本节课效果还不错，整堂课围绕有理数的除法法则和有理数乘法、除法之间的关系展开教学，在练习中不断渗透法则，强化重点，分散难点。开展抢答、比赛等形式活跃丰富课堂教学。同时不忘联系生活，让学生体验数学与生活密切相关。但还有点不足之处：对多个有理数相乘除的计算的方法上没有给学生以明确指导。 学科网（北京）股份有限公司 $$