精品解析：河南省南阳市宛城区等2地2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

高一数学试卷 满分150分，考试时间120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 2. 已知向量满足，且，则向量的夹角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 设函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，，则a的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. e D. ﹒ 二、多选题:共4小题，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 集合和表示同一个集合 B. 函数的单调增区间为 C. 若，则用a，b表示 D. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时， 10. 下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B. 存在点，使得直线平面 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D. 的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在上单调递增，且，请写出一个满足条件的的值为______． 13. 函数的单调递增区间为________． 14. 已知，且，则的最大值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数. （1）若，求复数； （2）证明：； （3）设在复平面上对应的向量分别为，若，求的值. 16. （1）求值：. （2）在锐角三角形ABC中，，求的值. 17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 问题：在中，角的对边分别为，且 ，求的面积． 18. 已知二次函数满足. （1）求函数的解析式； （2）若，，求的最小值. 19. 对于函数，若存在实数k，使得等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数． （1）若函数（且）是型函数，求a的值； （2）已知函数的定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，． ①若，求的解析式； ②若对任意的恒成立，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 满分150分，考试时间120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法法则和复数的模长公式计算即可. 【详解】， . 故选：D. 2. 已知向量满足，且，则向量的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两边平方，结合数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，且， 所以，即，解得， 所以，又，所以. 故选：B 3. 已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合面面垂直的判定判断得解. 【详解】由，得在平面内有一条直线与平行， 又，所以，所以； 由，得或. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 4. 已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周长和面积列方程组求得扇形的半径和弧长，代入求角公式即可得解. 【详解】设扇形的半径为r，所对弧长为l，则有解得故． 故选：A 5. 设函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，再利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：依题意，，则，解得， 即函数的定义域为， 显然函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递减， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为． 故选：D 6. 若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由函数的周期性求得解析式，进而求得其增区间，再由在区间上单调递增求解. 【详解】解：由题意知，解得，所以， 令，，解得，， 当时，可得在上单调递增， 又函数在区间上单调递增，所以， 即m的取值范围是． 故选：B 7. 设函数，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记函数的最小正周期为，根据正弦函数的单调性、对称性计算可得. 【详解】记函数的最小正周期为，则，可得． 又，且， 又，所以函数的一个对称中心为， 函数的一条对称轴为，又， ，解得． 故选：C 8. 已知函数，当时，，则a的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. e D. ﹒ 【答案】D 【解析】 【分析】易得在R上递增，令，得到恒成立，将，转化为，即恒成立求解. 【详解】当时，，在上递增，且； 当时，在上递增，且， 所以在R上递增， 令， 当时，， 当时，， 所以恒成立， 因为，即， 即， 所以，即， 令，,则在上递增， 所以， 则，即，所以a的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：令，可得恒成立，从而可转化不等式，进而利用单调性解不等式. 二、多选题:共4小题，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 集合和表示同一个集合 B. 函数的单调增区间为 C. 若，则用a，b表示 D. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据集合的定义即可判断；对于B，利用复合函数的单调性即可判断；对于C，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断. 【详解】对于A，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，所以A选项错误； 对于B，根据解得函数的定义域为， 令则， 为二次函数，开口向下，对称轴为， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数的单调增间为，所以B选项正确； 对于C，因为，，根据对数的换底公式可得，所以C选项正确； 对于D，因为当时，，可令，则，所以 ， 又因为是定义在上的奇函数，所以与题干结果不符，所以D选项错误； 故选：BC. 10. 下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】依题意，是在上单调递增的奇函数，分别讨论选项中各函数的单调性和奇偶性即可. 【详解】对任意，都有， 则在上单调递增,所以是在上单调递增的奇函数. 对于A，函数定义域为， ，不是奇函数，A错误； 对于B，与在上都为增函数，故在上为增函数， ，所以是在上单调递增的奇函数，B正确； 对于C，，易知在上单调递减，C错误； 对于D，函数定义域为， 函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数， 所以在上单调递增， ， 所以是奇函数，D正确. 故选：BD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B. 存在点，使得直线平面 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可①②③确定ABC的正误，利用展开法和点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D. 【详解】对于A， ∵正方体的对面互相平行， ∴过三点的平面截正方体的对面所得截线互相平行， 又∵为线段的中点，∴截面交BC于其中点G， 连接，则四边形即为所求截面，显然为等腰梯形， 且， 梯形的高， 面积为，故A正确； 如图所示，设为的中点， 因为，平面，平面， 所以平面， 假设直线平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为分别为正方形的边的中点，所以， 又因为， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 而直线与平面相交，所以直线与平面相交， 这与平面矛盾，故假设直线平面不成立，故B错误. ∵，平面，不在平面内， ∴平面， 又∵，∴到平面AD1C的距离为定值，又∵的面积为定值， ∴当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，故C正确； 将等腰直角三角形展开到与矩形在同一平面内， ， 当共线时取等号，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在上单调递增，且，请写出一个满足条件的的值为______． 【答案】（答案不唯一．满足即可） 【解析】 【分析】根据幂函数的性质选择符合题意的即可. 【详解】当时,幂函数在上单调递增， 又，满足题意. 故答案为：（答案不唯一．满足即可） 13. 函数的单调递增区间为________． 【答案】（开区间也给分） 【解析】 【分析】利用整体法，结合复合函数的单调性即可求解. 【详解】令,解得， 令，则， 由于，故， 故单调递增区间为：， 故答案为： 14. 已知，且，则的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用基本不等式计算即可. 【详解】因为，所以 因为，所以，即. 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数. （1）若，求复数； （2）证明：； （3）设在复平面上对应的向量分别为，若，求的值. 【答案】（1） （2）证明如下： 由知，， ∵， ∴. （3） 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数的概念求得，然后根据求得a，即可得解； （2）结合共轭复数的概念，求出两个复数的模即可得解； （3）根据复数的几何意义分别求出，，然后利用数量积的坐标运算列式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为在复平面上对应的向量为， 在复平面上对应的向量为， 所以，故，又，所以. 16. （1）求值：. （2）在锐角三角形ABC中，，求的值. 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数运算性质及换底公式化简求值即可； （2）先根据二倍角余弦公式得，利用同角三角函数基本关系得，，然后利用两角和正切公式得，根据角的范围得，即可得解. 【详解】（1） . （2）由已知A，B，C均为锐角， 由，得， ∴， ∴， 又，∴. 又，故， ，故， ∴. 从而. 17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 问题：在中，角的对边分别为，且 ，求的面积． 【答案】 若选择条件①，；若选择条件②，；若选择条件③，. 【解析】 【分析】若选择条件①，由余弦定理可求出，再利用正弦定理结合已知可求出的值，从而可求出三角形的面积；若选择条件②，由正弦定理把转化为化简后可求出，再利用正弦定理结合已知可求出的值，从而可求出三角形的面积；若选择条件③，由正弦定理把统一成角，然后利用三角函数公式化简可求出，再利用正弦定理结合已知可求出的值，从而可求出三角形的面积 【详解】解：若选择条件①，由余弦定理知． 又，得． 由及正弦定理，得． 将和代入，解得， 所以， 所以． 若选择条件②，由正弦定理，得， 所以． 由，得， 由，解得． 又，得 由余弦定理，得． 由及正弦定理，得． 将和代入， 解得， 所以， 所以 若选择条件③，由正弦定理得， 又因为， 所以，即． 又因为，所以． 由余弦定理，得． 由及正弦定理，得． 将和代入， 解得， 所以， 所以． 18. 已知二次函数满足. （1）求函数的解析式； （2）若，，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据条件建立方程组，即可求解； （2）由（1）可得，，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 设， 因为 ， 所以，解得，所以. 【小问2详解】 ，. 当时，在上单调递增，； 当时，； 当时，在上单调递减，. 综上，. 19. 对于函数，若存在实数k，使得等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数． （1）若函数（且）是型函数，求a的值； （2）已知函数的定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，． ①若，求的解析式； ②若对任意的恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据新函数定义可得，然后利用指数运算求解即可. （2）①根据新函数定义可得，，即可求出时的函数解析式，然后利用求解的函数解析式，即可得解； ②满足；当时，运用换元法，分离参数利用函数单调性求得；当时，根据新定义得，运用换元法，令，，分离参数利用基本不等式求得，最后求交集即可. 【小问1详解】 因为函数（且）是型函数， 所以对定义域中每一个实数x都成立，即， 又且，所以． 【小问2详解】 ①因为是型函数，所以， 当时，，又，所以； 令，得， 所以， 又当时，， 所以， 解得， 所以当时，； 当时，， 所以． 综上， ②因为是型函数，所以， 当时，，又，所以，满足； 当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，所以恒成立， 而函数在上单调递增，则，当且仅当时取等号，所以； 当时，， 则， 由，得， 令，则当时，， 又，则只需时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，所以， 综上，m的取值范围是． 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $