精品解析：江西南昌市第二中学苏圃路校区2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

南昌二中苏圃路校区2026-2027学年上学期高一数学10月月考试卷 一、单选题 1. 已知命题：，；则命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定为特称命题求解. 【详解】，的否定：为，. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，然后解不等式可得. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，对于有， 由，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 3. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式可求得，根据集合的交集运算即可求得答案. 【详解】由题意得， ∴， 故选：C 4. 已知函数的定义域为，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数值域的定义，分别验证充分性成立、必要性不成立，结合充分、必要条件的概念判定即可. 【详解】设命题：的值域为，命题：对任意，存在，使得， 由函数值域的定义，若的值域为，则的所有函数值构成的集合是， 即对任意，存在，使得，由于为的真子集， 因此对任意，存在，使得，即，故充分性成立； 若成立，仅能说明内所有值为的函数值，无法确定的值域恰好为， 即无法推出，故必要性不成立， 综上“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 5. 现使用一架两臂不等长的天平称20g药品，操作方法如下：先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡．你认为两次实际称得的药品总重量（ ） A. 等于20g B. 大于20g C. 小于20g D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】利用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取到等号，而，所以. 故选：B 6. 已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 7. 设奇函数在递减，且，则的解为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的单调性以及，可得出函数在的函数值为正，在上的函数值为负，再利用奇函数的性质对不等式进行化简，解出不等式的解集，即可得出结果. 【详解】因为是奇函数，所以 ，又奇函数在递减， 所以函数在和上递减， 又因为，所以， 所以时，， 时，， 所以的解为. 8. 对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据新定义运算规则求出的分段解析式，再结合分段函数的图象与性质，数形结合确定与有三个交点时的取值范围。 【详解】根据新定义的运算规则，分情况化简： 当时，整理得，解得或，此时； 当时，整理得，解得,此时. 因此的解析式为： . 分析各段函数的取值与交点情况： 当时，为增函数，值域为； 当时,为抛物线，顶点为，则值域为； 当时，值域为. 如图所示： 要使与恰有三个公共点，即的取值范围为. 二、多选题 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数)的定义域为，则函数的定义域为 C. “成立”是“成立”的充要条件 D. 设，若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的基本性质即可判断A选项；由函数定义域的定义即可求得函数的定义域，判断B选项；分别解两个不等式得到解集，即可判断C选项；设，解的值，然后由不等式的同向可加性得到的范围，判断D选项. 【详解】∵，∴，∴， 即，所以，A选项正确； 令，∴，∴函数的定义域为，B选项错误； ，则，，解得，C选项正确； 令，即， 即，解得，即， ∴，∴，D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知定义在上的偶函数与奇函数均在区间上单调递增，且，则（     ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A D，通过举例可以判断，对于BC，由函数奇偶性和单调性即可判断. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增，由奇函数性质可知在上单调递增， 偶函数在区间上单调递增， 对于A：取， 则，故A错误； 对于B：由题意得，且， ， 所以，即，故B正确； 对于C：，所以， 所以，故C正确； 对于D，取， ，， 所以，故D错误. 11. 已知关于的不等式（）的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的解集可得，再结合基本不等式逐项判断得解. 【详解】由关于的不等式的解集为， 得，且是方程的二根， 则，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，则，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，而，因此上述等号不能取到，D错误. 故选：AC 三、填空题 12. 已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【解析】 【详解】由题可设幂函数，则，即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 13. 已知命题方程有两个不相等的正实数根，命题方程无实数根.若“或”为真命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求为真对应的参数范围，再求都为假命题对应参数的范围，再求补集即可，则问题得解. 【详解】若为真命题，则，解得； 若为真命题，则，解得； 若是假命题且是假命题，则， 故若“或”为真命题，则. 故答案为：. 【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围，属综合基础题. 14. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】参数分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果. 【详解】因为，， 所以且， 所以由不等式恒成立得出： 即 恒成立， 所以等价于求解的最小值， 因为， 当且仅当 即时，等号成立， 所以的最小值为，， 所以的取值范围是：， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知集合. （1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； （2）若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为集合A中有两个元素， 所以关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以，且， 即且， 所以实数的范围是. 【小问2详解】 因为集合A最多有两个子集，所以集合A至多有1个元素， 即关于x的方程无解或只有一个解， 当时，，，只有1个解，符合题意； 当时，若方程有两个相等的实数根，则集合A只有1个元素， 此时，； 若方程没有实数根，则集合A没有元素， 此时，； 综上所述，a的取值范围是. 16. 某书店销售一款文化纪念册，每年销售x千册，需要投入年固定成本10万元，另外投入流动成本万元，且，，每千册纪念册售价为10万元，且当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年销售量（千册）的函数解析式； （2）年销售量为多少千册时，该纪念册的年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1）， （2）6，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 当时，， 由对称轴知在递增，. 当时，. 当且仅当时等号成立， 而，由， ，， 所以当时，. 即当年销量为6千册时，该纪念册的年利润最大，最大年利润为万元. 17. 函数的定义域，且满足对任意，有：． （1）求，的值； （2）判断的奇偶性并证明； （3）如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）为偶函数，证明如下： 令，，则， 结合（1）有，即，所以为偶函数． （3） 【解析】 【分析】（1）令，可得，再令，即可求出； （2）令，，进而根据偶函数的定义，即可得到结论； （3）先根据得到，从而将不等式转化为，再结合函数的单调性和奇偶性转化为，且，，进而求解即可得到答案． 【小问1详解】 由对任意，有， 令，则，解得， 令，则，解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，则， 由，得，即， 结合（2）知为偶函数，又因为在上是增函数， 所以，且，，解得，且，， 所以的取值范围为． 18. 已知函数 ，， （1）当时，求关于不等式的解集 （2）当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 （3）若对任意 恒成立，则实数的取值范围 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)对进行分类讨论求解不等式； (2)利用分离参数法求k的取值范围； (3)把看作自变量，构造函数，求解实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，，不等式可化为，解集为； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【小问2详解】 当时，， 知不等式对任意恒成立，只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，， 故实数的取值范围为 【小问3详解】 设，则若对任意，恒成立， 即，解得. 19. 已知函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若，使得不等式成立，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题设代点求解即可； （2）结合对勾函数的性质可得，转化问题为在有解，进而求解即可； （3）由已知可得，化简可得，，换元结合对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 解得，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当或时，. 所以，则. 不等式，即， 得在有解，所以且， 即， 则实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以， 恒成立，所以，则， 而 ， 设，其中，则， 当且仅当时，即当时等号成立， 因为，则， 所以， 因为函数在上单调递增，可得， 所以，即实数的最小值为3. 【点睛】方法点睛：求解函数不等式恒（能）成立问题，常常利用函数最值解决问题，而遇到原函数有参数时，常用参变量分离法分离参数，进而利用函数性质求解最值以解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中苏圃路校区2026-2027学年上学期高一数学10月月考试卷 一、单选题 1. 已知命题：，；则命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 现使用一架两臂不等长的天平称20g药品，操作方法如下：先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡．你认为两次实际称得的药品总重量（ ） A. 等于20g B. 大于20g C. 小于20g D. 以上都有可能 6. 已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设奇函数在递减，且，则的解为（    ） A. B. C. D. 8. 对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数)的定义域为，则函数的定义域为 C. “成立”是“成立”的充要条件 D. 设，若且，则 10. 已知定义在上的偶函数与奇函数均在区间上单调递增，且，则（     ） A. B. C. D. 11. 已知关于的不等式（）的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为4 三、填空题 12. 已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 13. 已知命题方程有两个不相等的正实数根，命题方程无实数根.若“或”为真命题，则实数的取值范围是___________. 14. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________. 四、解答题 15. 已知集合. （1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； （2）若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 16. 某书店销售一款文化纪念册，每年销售x千册，需要投入年固定成本10万元，另外投入流动成本万元，且，，每千册纪念册售价为10万元，且当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年销售量（千册）的函数解析式； （2）年销售量为多少千册时，该纪念册的年利润最大？最大年利润是多少？ 17. 函数的定义域，且满足对任意，有：． （1）求，的值； （2）判断的奇偶性并证明； （3）如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 18. 已知函数 ，， （1）当时，求关于不等式的解集 （2）当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 （3）若对任意 恒成立，则实数的取值范围 19. 已知函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若，使得不等式成立，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $