精品解析：江苏省苏州中学园区校2024-2025学年下学期七年级数学期中试卷

2024~2025学年第二学期期中考试 初一数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 数学中有许多精美的曲线．以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”，其中一定不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 2. 已知地球到空间站的距离约为3900000米．将3900000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：3900000用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方以及合并同类项，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，原计算错误； D. ，计算正确； 故选：D． 4. 观察图中尺规作图的痕迹，则（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：解：由作图可得：， 故选：D． 5. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 【答案】B 【解析】 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 6. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组即可． 【详解】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组得： ， 故选：A． 7. 如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，一元一次方程，设，由翻折得，根据三角形内角和得到，求出的值，再利用三角形内角和求出的度数． 【详解】解：设, 由翻折的性质可得,, , ∴, ∵, ， 在中,, 在中，， ， ∴, ∴, 故选: A． 8. 规定；形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，，称为“共轭系数”．若关于，的二元一次方程组为“共轭方程组”，则此“共轭方程组”的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据“共轭方程组”的定义，确定共轭系数和，再解方程组即可．熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：∵为“共轭方程组”， ∴， 解得：， ∴原方程组化为：， 解得：， 故选B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方展开，然后整体代入计算解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了代数式求值以及多项式乘以多项式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先通过，，求得，然后把，代入，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 把，代入， 即， 故答案为：； 11. 如图，将长为6，宽为4的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为________．（用含和的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，多项式的乘法． 根据平移的性质作答即可． 【详解】解：∵将长为6，宽为4的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴阴影部分的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 12. 若关于，的方程组的解满足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法和同底数幂的除法，解题关键是准确求解方程组． 先根据方程组求得，将代入，可得：，然后化简得到，然后即可求解． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 13. 若，，则________．（填写“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式的运用，列式得到，从而得出结果． 【详解】 ， ． 故答案为：． 14. 如图，中，，，，点为斜边上一任意点，连接，将点关于直线作轴对称变换得到点，连接，，则面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称，垂线段最短，作交的延长线于点H，则，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点H，则． ∵点B关于直线作轴对称变换得到点 E， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入一个固定的循环圈，这就是“冰雹猜想”．例如，数对经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推，则经过次运算后得到数对________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义和点的规律的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：数对经过第1次运算得到点， 经过第2次运算得到点， 经过第3次运算得到点， 经过第4次运算得到点， 经过第5次运算得到点， 经过第6次运算得到点， 经过第7次运算得到点， 经过第8次运算得到点， 经过第9次运算得到点， 经过第次运算得到点， 经过第11次运算得到点， 经过第次运算得到点， 通过计算发现规律：点经过第6次运算得到点，然后点、点和点，每3次就进行一个循环， ∴， ∴经过次运算后得到数对， 故答案为：； 16. 如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，折叠性质，熟练相关性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点和易错点．先求出，由折叠的性质得出，再分三种情况：①当时；②当时；③当时分别进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质得：， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图1所示：   ， ， ， ； ②当时，此时点与点C重合，如图2所示：   ， ， ， ； ； ③当时，如图3所示：   ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共10小题，共82分．解答时应写出文字说明、证明过程、演算步骤） 17. 计算和化简： （1） （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，整式的运算． （1）先计算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再计算加减即可； （2）先计算单项式的乘法和积的乘方，再计算减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组的知识，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法，从而完成对二元一次方程组和三元一次方程组的求解． （1）通过加减消元法，即可完成求解； （2）通过代入消元法，将三元一次函数转化为二元一次方程组，通过加减消元法，即可完成求解，再将二元一次方程组的解代入三元一次方程，即可完成求解． 【小问1详解】 解：， 得到：， 得到：， 解得：， 把代入，求得：， 即； 【小问2详解】 解：， 把③代入①可得：， 即原方程化简为：， 得：， 解得：， 把分别代入②和③，可得：，， 即； 19. 先化简再求值：，其中，满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，绝对值和完全平方的非负性，先利用乘法法则和完全平方公式进行计算，再合并同类项进行化简，根据非负性求出的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 20. 若，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法． （1）先由得到，再将代入计算即可； （2）根据完全平方公式得到，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即 ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴． 21. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将向下平移3个单位长度得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转90度得到，画出； （3）在（2）的运动过程中请计算出扫过的面积． 【答案】（1）解：即为所求： （2）解：即为所求： （3） 【解析】 【分析】（1）先作出点A、B、C平移后的对应点，、，然后顺次连接即可； （2）先作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，然后顺次连接即可； （3）证明为等腰直角三角形，求出，，根据旋转过程中扫过的面积等于的面积加扇形的面积即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据旋转可知，， ∴， ∴在旋转过程中扫过的面积为． 【点睛】本题主要考查了平移、旋转作图，勾股定理逆定理，扇形面积计算，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点． 22. 如图，为锐角三角形． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，的面积为6，则四边形的周长为________． 【答案】（1） 由题意，作图如下： （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作角，平行线的判定和性质，与三角形的高有关的计算： （1）根据尺规作图—作一个角等于已知角和作垂线的方法，画图即可； （2）作，根据三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，以及平行线间距离处处相等，求出的长，再利用周长公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作， 则：， ∴， ∵， , , ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 同理，， ∴四边形的周长为为． 23. 如图，在中，，，点是边上一点（不与点，重合），将绕着点逆时针旋转至的位置，连接、．设，． （1）探究：当点在边上移动时，、之间有怎样的数量关系：________； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质为解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理表示出，再根据旋转的性质得到，则利用得到，从而得到α、β的数量关系； （2）先根据平行线的性质得到，即，加上，则解方程组求出α即可． 【小问1详解】 解： 绕着点A逆时针旋转至的位置， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， 即 ， 解得， 即的度数为． 24. 某商场为迎接即将到来的“5·18”优惠节，采购了若干辆购物车．如图1为叠放的购物车，如图2为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车的篮筐车身长（不包括推车手柄），每增加一辆购物车，车身增加（即为一个购物车推车手柄的宽度）． （1）已知10辆购物车叠放在一起的总长度是3米，若平均分成两列叠放的购物车，每列长度为2米，求一辆购物车的总长度为多少米？ （2）已知该商场的手扶电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求该手扶电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 【答案】（1）1.2米 （2）52辆 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握一辆购物车的车长与车身长和手柄的宽度的关系，叠放在一起时，每增加一辆购物车，车身增加一个手柄的宽度，是解题的关键． （1）根据一辆购物车的篮筐车身长（不包括推车手柄），每增加一辆购物车，车身增加，10辆购物车叠放在一起的总长度是3米，若平均分成两列叠放的购物车，每列长度为2米，列方程组解答； （2）减去篮筐车身长的差除以推车手柄的宽度，得一列手推车辆数，乘2即得手扶电梯一次性最多可以运输购物车辆数． 【小问1详解】 解：， 解得． （米）． 答：一辆购物车的总长度为1.2米． 【小问2详解】 解：（辆）， （辆）． 答：该手扶电梯一次性最多可以运输52辆购物车． 25. 如图，“☆”和“★”的个数按一定的规律逐渐增加： （1）根据以上变化规律：第5个图案中“☆”的个数为________； （2）根据以上变化规律：第个图案中“★”的个数为________；（用含的式子表示） （3）根据以上变化规律：若第个图案中“★”的个数是“☆”的个数的，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类规律题解一元一次方程的知识，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）找到每个图案中“☆”的个数的规律，然后即可求解； （2）找到每个图案中“★”的个数的规律，然后即可求解； （3）根据（1）和（2）可得：第个图案中“☆”的个数为，第个图案中“★”的个数为，然后列式化简得到一元一次方程并求解，然后即可求解本题； 【小问1详解】 解：第1个图案中“☆”的个数为， 第2个图案中“☆”的个数为， 第3个图案中“☆”的个数为， ∴第个图案中“☆”的个数为， ∴第5个图案中“☆”的个数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：第1个图案中“★”的个数为， 第2个图案中“★”的个数为， 第3个图案中“★”的个数为， 第个图案中“★”的个数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（1）和（2）可得：第个图案中“☆”的个数为，第个图案中“★”的个数为， ∵第个图案中“★”的个数是“☆”的个数的， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 解得：； 26. 【观察发现】（1）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使落在上，为折痕，则的度数为________； 【思维拓展】（2）若规定：当两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”． 即：若，则和是一组“巧角”（，）． ①在条件（1）中，当点、、三点共线时，和是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，和还是一组“巧角”，且，，求的度数． 【答案】（1） （2）①或 ②或 【解析】 【分析】本题考查的是折叠的性质及角的和差计算、一元一次方程的应用， （1）由折叠得，，根据平角的定义解答即可； （2）①得出，根据“巧角”定义得出，解方程即可解答； ②设，得出，分两种情况：当，无重叠时，或当，有重叠时分别列方程解决． 【详解】解：（1）由折叠可得：，， ∴， 故答案为：； （2）①∵， ∴，即， 又∵和是一组“巧角”， ∴， 解得或； ②∵沿着，分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处， ， 与 是一组“巧角”， ∴设， ， 如图， ， ， 解得， ， ； 如图， ∴， ， ， 综上所述，的度数为或 27. 如图1，将两块直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放，示意图2中点、、三点共线． （1）若将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当与重合时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，当时，请求出的值． （2）若将三角板绕点顺时针旋转，且，三角板保持不动． ①在三角板旋转的过程中，当三角板的边垂直于三角板的斜边，请求出的度数． ②如图3，射线和射线分别是与的角平分线，在三角板旋转的过程中，当三角板的斜边与三角板的边平行时，直接写出与两角平分线的夹角的度数． 【答案】（1）或 （2）①、或;②的度数为或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的旋转，线段平行的性质和判定，一元一次方程和角平分线的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）需要分情况讨论，画出对应的示意图，列出一元一次方程即可求解； （2）①需要分三种情况讨论，根据垂直的判定和性质，然后即可求解； ②需要分三种情况讨论，根据平行的判定和性质，然后即可求解； 【小问1详解】 解：由题可得：，解得：， 即当秒与重合时停止旋转， 当时，需要分两种情况： 第一种情况，如图：， 即， 解得：； 第二种情况，如图：， ，解得：； 综上所述：当或时，； 【小问2详解】 解：①作，如图：， ∴， 由题可得：， ∴， ∴， 第一种情况，当时，即令， ∴， ∵， ∴， ∵目前为，使得，需要令绕点顺时针旋转， 即三角板绕点顺时针旋转时，； 第二种情况，当时，即和重合， ∵， ∴三角板绕点顺时针旋转时，； 第三种情况，当时，即和重合， ∵，， ∴， ∴三角板绕点顺时针旋转时，； 综上所述，当三角板的边垂直于三角板的斜边时，、或； ②第一种情况，当三角板绕点顺时针旋转时，即和重合，和重合， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，当三角板绕点顺时针旋转时，即和重合，和重合，和重合， ∴， ∴； 第三种情况，当三角板绕点顺时针旋转时，即和重合，和重合， ∴， ∴； 综上所述，当三角板的斜边与三角板的边平行时，的度数为或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期期中考试 初一数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 数学中有许多精美的曲线．以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”，其中一定不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知地球到空间站的距离约为3900000米．将3900000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 观察图中尺规作图的痕迹，则（ ） A. 平分 B. C. D. 5. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 6. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．解酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 规定；形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，，称为“共轭系数”．若关于，的二元一次方程组为“共轭方程组”，则此“共轭方程组”的解为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若，，则的值为________． 10. 若，，则________． 11. 如图，将长为6，宽为4的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为________．（用含和的代数式表示） 12. 若关于，的方程组的解满足，则的值为________． 13. 若，，则________．（填写“”或“”或“”） 14. 如图，中，，，，点为斜边上一任意点，连接，将点关于直线作轴对称变换得到点，连接，，则面积的最大值为________． 15. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入一个固定的循环圈，这就是“冰雹猜想”．例如，数对经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推，则经过次运算后得到数对________． 16. 如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为________． 三、解答题（本大题共10小题，共82分．解答时应写出文字说明、证明过程、演算步骤） 17. 计算和化简： （1） （2）． 18. 解方程组： （1） （2） 19. 先化简再求值：，其中，满足． 20. 若，且． （1）求的值； （2）求的值． 21. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将向下平移3个单位长度得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转90度得到，画出； （3）在（2）的运动过程中请计算出扫过的面积． 22. 如图，为锐角三角形． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，的面积为6，则四边形的周长为________． 23. 如图，在中，，，点是边上一点（不与点，重合），将绕着点逆时针旋转至的位置，连接、．设，． （1）探究：当点在边上移动时，、之间有怎样的数量关系：________； （2）若，求的度数． 24. 某商场为迎接即将到来的“5·18”优惠节，采购了若干辆购物车．如图1为叠放的购物车，如图2为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车的篮筐车身长（不包括推车手柄），每增加一辆购物车，车身增加（即为一个购物车推车手柄的宽度）． （1）已知10辆购物车叠放在一起的总长度是3米，若平均分成两列叠放的购物车，每列长度为2米，求一辆购物车的总长度为多少米？ （2）已知该商场的手扶电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求该手扶电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 25. 如图，“☆”和“★”的个数按一定的规律逐渐增加： （1）根据以上变化规律：第5个图案中“☆”的个数为________； （2）根据以上变化规律：第个图案中“★”的个数为________；（用含的式子表示） （3）根据以上变化规律：若第个图案中“★”的个数是“☆”的个数的，求的值． 26. 【观察发现】（1）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使落在上，为折痕，则的度数为________； 【思维拓展】（2）若规定：当两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”． 即：若，则和是一组“巧角”（，）． ①在条件（1）中，当点、、三点共线时，和是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，和还是一组“巧角”，且，，求的度数． 27. 如图1，将两块直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放，示意图2中点、、三点共线． （1）若将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当与重合时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，当时，请求出的值． （2）若将三角板绕点顺时针旋转，且，三角板保持不动． ①在三角板旋转的过程中，当三角板的边垂直于三角板的斜边，请求出的度数． ②如图3，射线和射线分别是与的角平分线，在三角板旋转的过程中，当三角板的斜边与三角板的边平行时，直接写出与两角平分线的夹角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $