精品解析：安徽省合肥一六八中学2024-2025学年高一下学期期末调研数学试题

2024级高一第二学期期末调研 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 校命题中心制 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数z满足，则复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数，即得其虚部. 【详解】由可得， 故复数z的虚部是. 故选：B. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 3 B. C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，，由向量平行的充要条件即可求解. 【详解】，，，. 故选：B. 3. 从两位数中随机选择一个数，则它的平方的个位数字为1的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意找出个位数字为1或9的总个数除以两位数的总个数即可得出结果. 【详解】两位数的平方个位数字为1的数字需满足个位数字为1或9，这样的两位数字共个； 两位数共有个， 所以它的平方的个位数字为1的概率是. 故选：D. 4. 已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，判断选项. 【详解】，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线， 对于，若，，则由线面垂直的性质得，故A错误； 对于B，若，，则与相交、平行或异面，故B错误； 对于C，若，，，则由线面平行的性质得，故C正确； 简单证明：如图，，过的一个平面与交于，则同理，，则， ，则，，，则，所以. 对于D，若，，，则与相交，故D错误． 故选：C． 5. 柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.则有（ ） A. B. 与相互独立 C. D. A与互斥 【答案】C 【解析】 【分析】通过列举得到对应基本事件，再逐项判断即可. 【详解】记三双不同的鞋为：白1，白2，红1，红2，黑1，黑2， 从中随机取出2只共有： 白1白2，白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1，白2黑2，红1红2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，黑1黑2，共15种情况， 事件包含：白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1，白2黑2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，12个基本事假， 事件包含：白1红1，白1黑1，白2红2，白2黑2，红1黑1，红2黑2，6个基本事件， 事件包含：白1红2，白1黑2，白2红1，白2黑1，红1黑2，红2黑1， 6个基本事件， 事件包含：0个基本事件 显然：，A错误； ，，，，B错误； 对于C：由列举可知，所以，正确； 对于D，由列举可知A与不互斥，故错误. 故选：C 6. 为了解某高中学校学生每周阅读课外书籍的数量，按年级分层，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取学生进行统计.现抽取高一学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为3本，方差为3.2；抽取高二学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为2本，方差为2.3.则该校高一、高二学生每周阅读课外书籍数量的总样本的方差是（ ） A. 3.2 B. 3 C. 2.8 D. 2.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层随机抽样中总样本方差的计算公式来求解. 【详解】因为高一抽取学生25人，样本均值为3；高二抽取学生25人，样本均值为2， 根据分层随机抽样总样本均值公式 根据分层随机抽样总样本方差公式可得： . 故选：B 7. 如图，某县区域地面有四个5G基站，，，.已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（ ） A. B. C. 15km D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，利用正弦定理求出，进而结合余弦定理即可求出. 【详解】在中，，，则，，， 在中，，， 由正弦定理得，， 在中，由余弦定理得， . 故选：B. 8. 已知，，，为球面上四点，，分别是，的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，它的两条边，的长度分别为和，则，的伴随球的体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求出三棱锥的外接球半径，求出，进一步求出的范围，从而得出答案即可． 【详解】设三棱锥外接球的半径为， 则，所以球的半径为， 则球的两条弦的中点为， 则， 即弦分别是以为球心，半径为3和2的球的切线， 且弦在以为球心，半径为2的球的外部， 的最大距离为，最小距离为， 当三点共线时，分别取最大值与最小值， 故的伴随球半径分别为， 半径为时，的伴随球的体积为， 当半径为时，的伴随球的体积． ∴的伴随球的表面积的取值范围是． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：由三棱锥的外接球半径，求出是解题的关键． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点，下列结论正确的有（ ） A. 存在点，使得共面 B. 存在点使得 C. 三棱锥的体积为定值 D. 到距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，当点为中点时，利用中位线的性质可证得，即可得四点共面；对于B，取中点，连接，利用中位线的性质可证得四边形为平行四边形，则，利用反证法假设存在点使得，结合线面垂直的判定和性质定理可证得，显然与题意矛盾；对于C，利用等体积法，结合线面平行的判定定理求得点面距为定值，由此可求得三棱锥体积为定值；对于D，根据定义作出点到距离，当点在点处时，取得距离的最大值为. 【详解】对于A，如图，当点为中点时，连接， 因为，分别为，的中点，所以 所以，，则四点共面， 又为线段上的动点，所以共面，故A正确； 对于B，如图，取中点，连接， 因为，分别为，的中点，所以, 且， 所以，即四边形为平行四边形，则. 若存在点使得，则， 因为平面，平面，所以， 因为底面为正方形，所以， 又平面平面，所以平面， 而平面，所以. 由，，平面，平面，可得平面， 又平面，故，显然与题意矛盾. 所以不存在点使得，故B错误； 对于C，设点到平面的距离为， 由B可知，，因为平面，平面，所以平面，所以为定值. 因为是定值，故C正确； 对于D，如图，取中点，连接，则，过点作于点，则， 过点作于点，连接， 因为平面平面，所以平面, 又平面，，故即为点到距离. 在中，， 当点在点处时，，此时为最大值，故D正确. 故选：ACD. 10. 某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组，，…，制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（ ） A. 第一组的频率为0.1 B. 该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25 C. 如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量（吨）的最低标准的估计值为2.7 D. 在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的频率分布直方图，结合众数、百分位数判断ABC；求出概率判断D. 【详解】对于A，第一组的频率为，A错误； 对于B，样本数据在区间的频率最大，该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25，B正确； 对于C，样本数据小于2.5的频率， 样本数据小于3的频率， ，由，解得吨， 因此月均用水量的标准定为吨，C正确； 对于D，月均用水量在的人数为：人，记为，， 月均用水量在的人数为：人，记为，，，， 从此人中随机抽取两人所有可能的情况有：,,,,,,,,,,,,,,，共种， 其中月均用水量都在的情况有：,,,,,，共种， 因此两人月均用水量都不低于吨的概率：，D正确. 故选：BCD 11. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若函数则函数的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】以AE为y轴，GC为x轴建立平面直角坐标系，根据向量线性运算可判断A；对于B，取AB的中点为M，则，两式平方相减，结合正八边形的对称性取最大值时点P位置，然后利用坐标求解；对于C，根据投影向量公式求解可得；对于D，利用坐标运算表示出函数，根据二次函数性质可得. 【详解】如图所示，以AE为y轴，GC为x轴建立平面直角坐标系， 设，则在中，由余弦定理可得， 整理得， 因为 . 对于A，因为， 所以，A错误； 对于B，取AB的中点为M，则， 则， 两式相减得， 由正八边形的对称性可知，当点P与点E或点F重合时，最大， 又，所以， 所以， 所以，的最大值为，B正确； 对于C，， 所以， 所以在方向上的投影向量为，C错误； 对于D，因为，， 所以， 所以 ， 当时，函数取得最小值，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点睛：本题解答的关键在于：第一，建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解；第二，设，利用a表示坐标，到最后再进行代换，减少计算量；第三，利用对称性分析点P位置. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算及乘法运算求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：. 13. 一家水果店的店长为了解本店水果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：），结果如下： 83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，89，74， 94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104． 一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求），则每天应该进___________千克的苹果． 【答案】99.5 【解析】 【分析】利用百分位数的定义进行求解. 【详解】过去30天苹果的日销售量按从低到高排列： 55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，89，91，93，94，94，96，97，99，99，100，101，104，107，107，117 ， 故第80百分位数： 故答案为：99.5 14. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大. 则称甲不亚于乙. 在 100 个小伙子中， 如果某人不亚于其他 99 人， 就称他为棒小伙子， 那么 100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有 _________人. 【答案】100 【解析】 【分析】先讨论有两个、三个小伙子时棒小伙子的最多个数，再设想100个人时的极端情况，分类讨论即可. 【详解】先考虑两个小伙子的情形，如果甲的身高＞乙的身高，且乙的体重＞甲的体重，可知“棒小伙子”最多有2人． 再考虑三个小伙子的情形，如果甲的身高＞乙的身高＞丙的身高，且丙的体重＞乙的体重＞甲的体重，可知“棒小伙子”最多有3人． 由此可以设想，当有100个小伙子时，设每个小伙子为，其身高为，体重为， 当且 时， 由身高看，不亚于，由体重看，不亚于， 所以，不亚于其他99人，为“棒小伙子”， 因此，100个小伙子中的“棒小伙子”最多可能有100个． 故答案为：100． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数 （1）若 ，求角θ； （2）复数对应的向量分别是，若与的夹角为锐角，求θ的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数及复数相等的概念列出方程求解即可； （2）由复数得出对应的向量，利用向量夹角公式得出不等式求解，注意检验向量共线时即可得解. 【小问1详解】 因为 , 所以， 又， 所以. 【小问2详解】 由题意，， 若与的夹角为锐角， 则， 因为，所以， 所以，即， 当时，，即， 解得，此时与的夹角为， 综上，θ的取值范围 16. 如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，点在线段上，平面，，是的中点． （1）证明：平面． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 因为平面，所以． 又，所以是的中点， 所以，． 取的中点，连接，， 可知，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，从而． 因为平面，平面， 所以平面． （2）4 【解析】 【分析】（1）利用构造平行四边形来证明线线平行，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）利用等体积法及锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以， 又因为，， ，所以三棱锥的体积为4. 17. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若，求的周长的取值范围． （3）若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求解. （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出范围. （3）利用等面积法得到内切圆半径的表达式，利用余弦定理转化的表达式，运用正弦定理及三角函数的图象与性质求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， ，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，而，由余弦定理， 得，当且仅当时取等号， 因此，解得，而，则， 故的周长的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）得，设的内切圆半径为， 由，得， 由（1）及正弦定理，得，， 则， 由为锐角三角形，得，解得，， 则，因此，， 所以内切圆半径的取值范围为. 18. 研究小组经过研究发现某种病毒的感染者与未感染者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到感染者和未感染者该指标的频率分布直方图如下： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将感染者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未感染者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）求频率分布直方图中的值及未感染者该指标的中位数； （2）当漏诊率时，求临界值和误诊率； （3）设函数，当时，求的解析式，并求在上的最小值． 【答案】（1），未感梊者该指标的中位数为 （2）， （3），0.02. 【解析】 【分析】（1）根据第一个频率分布直方图面积之和为1求出a，利用第二个频率分布直方图中的中位数公式计算即可. （2）根据题意由第一个频率分布直方图可先求出，再根据第二个频率分布直方图求出的矩形面积即可解出； （3）根据题意确定分段点，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出. 【小问1详解】 在感染者该指标的频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1， 所以，解得， 在未感染者该指标的频率分布直方图中，前两个小矩形的面积之和为， 前三个小矩形的面积之和为， 所以未感染者该指标的中位数在第三组，且为； 【小问2详解】 依题可知，第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得， ． 【小问3详解】 当时， ； 当时， ， 故， 所以在区间的最小值为． 19. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，M，N分别为，的中点，P为上一点，过和P的平面交于E，交于F （1）证明：，； （2）证明：平面； （3）设O为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） M，N分别为，的中点， ， 又， ； 又，且平面，平面， 平面， 又平面，且平面平面 . （2） 在等边中，M为中点，则， 又侧面为矩形， ， ，∴. 由，，平面， 平面， ， 平面， 平面， 平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）由中位线定理和平行线的性质证明，再由线面平行的判定定理和性质定理证明； （2）由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理得证面面垂直； （3）证明直线与平面所成角即为等腰梯形中与所成角，在此梯形中求出该角的正弦值即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 三棱柱上下底面平行，平面与上下底面分别交于，， ， 面，面，面面， ，四边形为平行四边形， O是正三角形的中心，， ，，， 因为，是中点，所以是中点， 由（2）知平面，又平面， 所以，从而四边形是等腰梯形（直线是四边形的对称轴）， 由（1）知直线在平面内的投影为， 直线与平面所成角即为等腰梯形中与所成角， 在等腰梯形中，令，过E作于H， 则，，， 直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一第二学期期末调研 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 校命题中心制 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数z满足，则复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 3 B. C. 15 D. 3. 从两位数中随机选择一个数，则它的平方的个位数字为1的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.则有（ ） A. B. 与相互独立 C. D. A与互斥 6. 为了解某高中学校学生每周阅读课外书籍的数量，按年级分层，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取学生进行统计.现抽取高一学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为3本，方差为3.2；抽取高二学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为2本，方差为2.3.则该校高一、高二学生每周阅读课外书籍数量的总样本的方差是（ ） A. 3.2 B. 3 C. 2.8 D. 2.6 7. 如图，某县区域地面有四个5G基站，，，.已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（ ） A. B. C. 15km D. 8. 已知，，，为球面上四点，，分别是，的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，它的两条边，的长度分别为和，则，的伴随球的体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点，下列结论正确的有（ ） A. 存在点，使得共面 B. 存在点使得 C. 三棱锥的体积为定值 D. 到距离的最大值为 10. 某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组，，…，制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（ ） A. 第一组的频率为0.1 B. 该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25 C. 如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量（吨）的最低标准的估计值为2.7 D. 在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4 11. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若函数则函数的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 计算______． 13. 一家水果店的店长为了解本店水果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：），结果如下： 83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，89，74， 94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104． 一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求），则每天应该进___________千克的苹果． 14. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大. 则称甲不亚于乙. 在 100 个小伙子中， 如果某人不亚于其他 99 人， 就称他为棒小伙子， 那么 100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有 _________人. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数 （1）若 ，求角θ； （2）复数对应的向量分别是，若与的夹角为锐角，求θ的取值范围. 16. 如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，点在线段上，平面，，是的中点． （1）证明：平面． （2）求三棱锥的体积． 17. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若，求的周长的取值范围． （3）若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围． 18. 研究小组经过研究发现某种病毒的感染者与未感染者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到感染者和未感染者该指标的频率分布直方图如下： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将感染者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未感染者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）求频率分布直方图中的值及未感染者该指标的中位数； （2）当漏诊率时，求临界值和误诊率； （3）设函数，当时，求的解析式，并求在上的最小值． 19. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，M，N分别为，的中点，P为上一点，过和P的平面交于E，交于F （1）证明：，； （2）证明：平面； （3）设O为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $