精品解析：广西南宁市第三中学2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试卷

广西壮族自治区南宁市第三中学2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试卷 一、单选题 1. 49的算术平方根是（ ） A. 7 B. C. D. 2. 已知的三边长、、满足条件：．那么的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 3. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车中的锂电池需要用到碳纳米管，碳纳米管属于一维纳米材料，具有高强度和高导电导热性的优秀性能，目前，我国已具备研制直径为米的碳纳米管，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．为考查所种杂交水稻的长势，随机抽取6株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是：，，，，，，则这组数据的中位数是（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 21，23 6. 如果菱形的两条对角线的长分别为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 7. 如图，一次函数与的图象相交于点P(1，4)，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 6 9. 某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边三角形，，，垂足为点D，点P从点B出发，沿的路径运动，运动到点A停止，过点P作交边于点E，过点P作交边于点F，设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题是假命题的是（ ） A. 矩形的对角线互相平分且相等 B. 一次函数 的图象不经过第四象限 C. 若，则 D. 若点，在直线上，则 12. 如图，将平移后得到，连接，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 四边形是平行四边形 D. 平移的距离为3 二、解答题 13. 在平面直角坐标系中，点，，满足． （1）求点A，B，C的坐标． （2）如图1，过点A作交y轴于点D，和的角平分线交于点E，求的度数． （3）如图2，点M是y轴负半轴上的一点，连接交x轴于点N，是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14. 若，为一次函数图象上的两点，比较a与b的大小关系． 15. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，且所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图1中找一格点，连接，使线段； （2）在图2中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5． 16. 某村有甲、乙两块柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示，将收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： （1）计算乙园样本数据的平均数； （2）结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一等品，其它组的柑橘认定为二等品，其中一等品柑橘的品质最优，二等品柑橘次之．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 17. 如图，在四边形中，对角线相交于点 O， ， （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当平分时，求四边形的周长． 18. 如图是小青用画图工具画的一组有规律的图案，第1个图案中有5个四边形，第2个图案中有9个四边形，第3个图案中有13个四边形，……，按照这样的规律画下去： （1）则第5个图案中有 个四边形； （2）请用含 n的代数式表示第n个图案中四边形的个数； （3）小青说：“我画的一个图案中有2025个四边形，你知道我画的是第几个图案吗？”请你通过计算解答小青提出的问题． 19. 一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：.我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为. （1）若是“相伴数对”，求的值； （2）写出一个“相伴数对”，其中，且； （3）若是“相伴数对”求代数式的值. 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分． 信息一： 初中组A队伍的各项成绩如下表所示： 编程 调试 搭建 讲解 A队伍成绩/分 8 8 7 5 信息二： 为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下： 初中和高中组各20支队伍搭建项目的成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中组 10 高中组 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，搭建项目成绩更稳定的是_____（填“初中组”或“高中组”）； （2）比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩； （3）本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀． 22. 在学习了平行四边形和菱形的相关知识后，学习小组进行了拓展性研究．他们发现，过平行四边形的一组对角的顶点分别作一组对边的垂线，与另一组对角的顶点所连对角线或对角线所在直线相交，则这两个交点和两个垂足构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得此结论．请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中，是对角线，过D作交于点E，连接．用尺规过点B作的垂线，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ∴，① ， ∴. ∵， ∴， 在和中 ， ∴(ASA)， ∴③ ，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？过菱形的一组对角的顶点分别作一组对边的垂线，与另一组对角的顶点所连对角线或对角线所在直线相交，则这两个交点和两个垂足构成的四边形是④ ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与直线相交于点P，点P的横坐标为2，直线与y轴交于点B． （1）求k、b的值； （2）根据图象可得，关于x的不等式的解集是 ； （3）若点Q在x轴上，且满足，直接写出点Q的坐标． 24. 根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材1 某书店为了迎接“读书节”决定购进两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材2 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本． 素材3 书店准备用不超过28200元购进两种图书共2000本，且种图书不少于600本；经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务1 探求图书的标价 请运用适当方法，求出两种图书的标价． 任务2 确定如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润? 25. 阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： （1）化简：_____； （2）的有理化因式是______，______； （3）比较大小：______（填，，，或中的一种）； （4）若，求的值． 26. 在四边形中，对角线，与交于点，且． （1）如图1，若，，当时，求四边形的面积； （2）如图2，若，过中点作分别交，于点，．证明：； （3）如图3，若，点在直线上，将绕点逆时针旋转得到，当线段取最小值时，内部一点满足，当取最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西壮族自治区南宁市第三中学2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试卷 一、单选题 1. 49的算术平方根是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一个数的算术平方根，根据算术平方根是正的平方根，且，得49的算术平方根是7，即可作答． 【详解】解：∵， ∴49的算术平方根是7， 故选：A 2. 已知的三边长、、满足条件：．那么的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，将整式因式分解是解题的关键．将等式左边分解因式可求得或，进而判定三角形的形状． 【详解】解： 或 或， 或，即的形状为等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 3. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车中的锂电池需要用到碳纳米管，碳纳米管属于一维纳米材料，具有高强度和高导电导热性的优秀性能，目前，我国已具备研制直径为米的碳纳米管，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 本题考查了科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 4. 如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题的关键.连接，依据矩形的性质，即可得到，再根据即可得出，进而得到的度数. 【详解】解：如图, 连接交于点O， ∵矩形中, ， ， ， ∴， ， 故选：D. 5. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．为考查所种杂交水稻的长势，随机抽取6株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是：，，，，，，则这组数据的中位数是（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 21，23 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义进行解答即可． 【详解】解：，，，，，，则这组数据的中位数是 故选：B． 6. 如果菱形的两条对角线的长分别为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质求面积以及利用算术平方根的非负性解题，先由得出，因为菱形的两条对角线的长分别为a和b，所以菱形的面积等于，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵菱形的两条对角线的长分别为1和5 ∴ 故选：D 7. 如图，一次函数与的图象相交于点P(1，4)，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，结合函数图象，通过比较函数图象的高低得到不等式的解集是解题的关键．观察函数图象得到，当时，函数的图象都在函数图象的下方，于是可得到关于x的不等式的解集． 【详解】解：当时，函数的图象都在函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为， 故选：B． 8. 如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】延长到点F，使得，则直线是线段的垂直平分线，连接，于是得到，，于是就变成了，根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高，过点F作于点G，求即可． 此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 【详解】解：延长到点F，使得， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， 连接， ∴，， ∴就变成了， 根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高， 过点F作于点G， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为x人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 10. 如图，是等边三角形，，，垂足为点D，点P从点B出发，沿的路径运动，运动到点A停止，过点P作交边于点E，过点P作交边于点F，设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，证明四边形是平行四边形，①当点从点B出发，沿路径运动时，即时，根据四边形的面积，可得；②当点从点出发，沿路径运动时，连接交于点Q，即时， 先证明平行四边形是菱形，即有菱形的面积，结合菱形的性质，解直角三角形的知识可得；问题随之得解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴,， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ①如图，当点从点B出发，沿路径运动时，即时， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，即是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴四边形的面积， 整理得：， ②如图，当点从点出发，沿路径运动时，连接交于点Q，即时， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴平分， ∴平行四边形是菱形， ∴菱形的面积， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：； 综上： 即能反映与之间函数关系的图象是B， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，二次函数的图象的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 11. 下列命题是假命题的是（ ） A. 矩形的对角线互相平分且相等 B. 一次函数 的图象不经过第四象限 C. 若，则 D. 若点，在直线上，则 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据矩形的性质，一次函数的图象和性质，非负数的性质判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线互相平分且相等，不符合题意； B、， 一次函数经过一、三象限， ， 一次函数经过第二象限， 一次函数的图象不经过第四象限，故B正确，不符合题意； C、∵， ，， ，， ，故C正确，不符合题意； D、， y随x增大而减小， 当，， 当 ， ，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的图象和性质，非负数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 12. 如图，将平移后得到，连接，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 四边形是平行四边形 D. 平移的距离为3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定，熟练掌握平移的基本性质是解答此题的关键． 根据平移的性质可得，，一一判断即可． 【详解】解：由平移的性质可得：，， ∴平移的距离为3，故D正确； ，故A正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形，故C正确； ∵，不能得到，故B错误； 故选：B． 二、解答题 13. 在平面直角坐标系中，点，，满足． （1）求点A，B，C的坐标． （2）如图1，过点A作交y轴于点D，和的角平分线交于点E，求的度数． （3）如图2，点M是y轴负半轴上的一点，连接交x轴于点N，是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，坐标与图形，平行线的性质与判定： （1）先根据非负数的性质得到，解方程组即可得到答案； （2）过点E作，由平行线的性质得到，则；再由角平分线的定义得到，证明，得到，则； （3）连接，设，则，根据，推出；根据，得到，据此可得，则． 【小问1详解】 解；∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，； 【小问2详解】 解；如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵和的角平分线交于点E， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，连接，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 若，为一次函数图象上的两点，比较a与b的大小关系． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，能够根据函数解析式判断出增减性是解题的关键． 根据函数解析式判断出增减性，根据增减性可得答案． 【详解】解：∵ ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 15. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，且所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图1中找一格点，连接，使线段； （2）在图2中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图、勾股定理、等腰三角形，熟练掌握勾股定理和网格特点是解题关键． （1）根据，利用勾股定理和网格特点作图即可得； （2）根据等腰三角形的定义可得，利用勾股定理和网格特点作图即可得． 【小问1详解】 解：如图，格点和线段即为所求．（画出其中一个即可）； 【小问2详解】 解：如图，等腰即为所求．（画出其中一个即可） 16. 某村有甲、乙两块柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示，将收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： （1）计算乙园样本数据的平均数； （2）结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一等品，其它组的柑橘认定为二等品，其中一等品柑橘的品质最优，二等品柑橘次之．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：乙园的柑橘品质更优，理由如下： 甲园中，一等品所占的比例为：； 乙园中，一等品所占的比例为：， ∵， ∴乙园的柑橘品质更优． 【解析】 【分析】本题考查分布表和直方图，求平均数，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）利用加权平均数的计算公式，进行计算即可； （2）分别求出甲、乙两园一等品所占的比例，进行判断即可． 【小问1详解】 解：； 答：乙园样本数据的平均数为； 【小问2详解】 略 17. 如图，在四边形中，对角线相交于点 O， ， （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当平分时，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质，等角对等边等等： （1）证明，得到，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，进而证明四边形是菱形，则，利用勾股定理得到，则四边形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 18. 如图是小青用画图工具画的一组有规律的图案，第1个图案中有5个四边形，第2个图案中有9个四边形，第3个图案中有13个四边形，……，按照这样的规律画下去： （1）则第5个图案中有 个四边形； （2）请用含 n的代数式表示第n个图案中四边形的个数； （3）小青说：“我画的一个图案中有2025个四边形，你知道我画的是第几个图案吗？”请你通过计算解答小青提出的问题． 【答案】（1）； （2）； （3）小青画的是第个图案． 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题中给出的图形规律，即可求出第5个图案中四边形的个数； （2）根据题中给出的图形规律，发现规律即可得出第n个图案中四边形的个数； （3）根据（2）中的规律可得，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知， 第1个图案中有5个四边形，， 第2个图案中有9个四边形，， 第3个图案中有13个四边形，， ∴第4个图案中有17个四边形，， 第5个图案中有21个四边形，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：解：由题意可知， 第1个图案中有5个四边形，， 第2个图案中有9个四边形，， 第3个图案中有13个四边形，， 第4个图案中有17个四边形，， 第5个图案中有21个四边形，， ， ∴第n个图案中四边形的个数为个． 【小问3详解】 解：由（2）可知，第n个图案中四边形的个数为个， ∴， ∴， ∴小青画的是第个图案． 19. 一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：.我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为. （1）若是“相伴数对”，求的值； （2）写出一个“相伴数对”，其中，且； （3）若是“相伴数对”求代数式的值. 【答案】（1）；（2）（答案不唯－）；（3）-10. 【解析】 【分析】（1）根据公式列式计算即可得到答案； （2）给a一个值，代入公式求出b，即可得到一个“相伴数对”； （3）根据公式列得，得到，化简代数式，将整体代入求值即可. 【详解】（1）∵是“相伴数对”， ∴ 解得. （2）当a=2时，∴（2，b）是“相伴数对”， 得，解得b=-8， ∴“相伴数对”（答案不唯－）； （3）由是“相伴数”对可得：， 即. 则原式 ， ， 【点睛】此题考查解一元一次方程，整式的化简求值，按照计算顺序正确计算即可. 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分数的化简求值，分母有理化，根据分式的混合运算进行化简，然后将代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解：原式． 当时，原式． 21. 为充分展示中学生阳光自信的精神风貌、扎实的科技和数字素养功底，某市开展了“学生机器人”比赛，比赛分为初中和高中组．各参赛队伍进行编程、调试、搭建和讲解四项比赛，各项比赛成绩均为整数，且满分均为10分． 信息一： 初中组A队伍的各项成绩如下表所示： 编程 调试 搭建 讲解 A队伍成绩/分 8 8 7 5 信息二： 为了解学生搭建项目比赛情况，现从初中和高中组各随机抽取20支队伍搭建项目的成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表（不完整），信息如下： 初中和高中组各20支队伍搭建项目的成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中组 10 高中组 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，搭建项目成绩更稳定的是_____（填“初中组”或“高中组”）； （2）比赛组委会规定：将编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比，确定各支队伍比赛的平均成绩，求A队的平均成绩； （3）本次比赛高中组共60支队伍参赛，若认定搭建项目的成绩不低于9分为优秀，根据样本数据，估计本次比赛高中组共有多少支队伍在搭建项目中获得优秀． 【答案】（1）8，10，初中组 （2）A队的平均成绩为7分 （3）估计本次比赛高中组约有33支队伍在搭建项目中获得优秀 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、方差的概念，加权平均数的计算以及用样本估计总体；解题关键是理解相关统计量的定义，准确运用公式进行计算． （1）根据平均数，中位数，方差的定义求解即可； （2）根据加权平均数的运算法则计算解答即可； （3）先从扇形统计图获取高中组样本中搭建项目成绩9分和10分的占比，相加得到不低于9分的占比；再用此占比乘以高中组参赛队伍总数，从而估计出搭建项目中获优秀的队伍数量． 【小问1详解】 解：初中组共20个数据，将初中组搭建项目成绩从小到大排列，第10、11个数据都在成绩为分的组中， ∴中位数， 由高中组搭建项目成绩扇形统计图可知，100分所占比例为，是占比最高的， ∴众数， ∵初中组方差小于高中组方差， ∴搭建项目成绩更稳定的是初中组， 故答案为：8，10，初中组． 【小问2详解】 解：已知编程、调试、搭建和讲解四项比赛成绩按照的比确定平均成绩， A队伍编程分、调试分、搭建分、讲解分， （分）， ∴A队的平均成绩是7分． 【小问3详解】 解：在抽取的20支高中组队伍样本中，搭建项目成绩不低于分的包括分和10分的队伍， 分的占，10分的占， ∴不低于分的队伍所占比例为， ∵高中组共60支队伍参赛， ∴估计获得优秀（搭建项目成绩不低于分）的队伍有（支）． 22. 在学习了平行四边形和菱形的相关知识后，学习小组进行了拓展性研究．他们发现，过平行四边形的一组对角的顶点分别作一组对边的垂线，与另一组对角的顶点所连对角线或对角线所在直线相交，则这两个交点和两个垂足构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得此结论．请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中，是对角线，过D作交于点E，连接．用尺规过点B作的垂线，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ∴，① ， ∴. ∵， ∴， 在和中 ， ∴(ASA)， ∴③ ，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是菱形呢？过菱形的一组对角的顶点分别作一组对边的垂线，与另一组对角的顶点所连对角线或对角线所在直线相交，则这两个交点和两个垂足构成的四边形是④ ． 【答案】（1）解：如图所示， （2）菱形 【解析】 【分析】（1）延长，以点B为圆心，以为半径画弧，再以点G，H为圆心，以为半径画弧，两弧交于点K，作直线，交于点F，连接； （2）根据平行四边形的性质可得，，再根据“角边角”证明，可得，则答案可得；结合菱形的判定定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：证明：四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， 在和中 ， ∴(ASA)， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 菱形． 由（2）可知， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴四边形是菱形． 故答案为：菱形． 【点睛】 本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，作出图形构造全等三角形是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与直线相交于点P，点P的横坐标为2，直线与y轴交于点B． （1）求k、b的值； （2）根据图象可得，关于x的不等式的解集是 ； （3）若点Q在x轴上，且满足，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点Q的坐标是或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求k、b的值； （2）根据图象即可得关于x的不等式的解集； （3）分两种情况，确定点Q在x轴上，且满足，即可求出点Q的坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∵一次函数的图象与直线相交于点P，点P的横坐标为2， ∴点P的纵坐标为， 即， 把点代入中，得， 因此，； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与直线相交于点P，点P的横坐标为2， 观察图象可知，关于x的不等式的解集为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵点Q在x轴上，且满足， ∴， 则， 那么点Q的坐标是或． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行，结合一次函数图象解决问题是关键． 24. 根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材1 某书店为了迎接“读书节”决定购进两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材2 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本． 素材3 书店准备用不超过28200元购进两种图书共2000本，且种图书不少于600本；经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务1 探求图书的标价 请运用适当方法，求出两种图书的标价． 任务2 确定如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润? 【答案】任务1：种图书的标价是元，则种图书的标价是元；任务2：购进种图书本，则购进种图书本，所获得的利润最大 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务1：设种图书的标价是元，则种图书的标价是元，根据“顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本”列出分式方程，解方程即可得出答案； 任务2：设购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列出不等式组求出的取值范围，求出、两种图书的售价，设获得的利润是元，得出关于的关系式，再利用一次函数的性质即可得出答案． 【详解】任务1：解：设种图书的标价是元，则种图书的标价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）， ∴种图书的标价是元，则种图书的标价是元； 任务2：设购进种图书本，则购进种图书本， 由题意得：， 解得：， 由题意可得：种图书的售价是（元），种图书的售价是元， 设获得的利润是元， 则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，的值最大， （本）， ∴购进种图书本，则购进种图书本，所获得的利润最大． 25. 阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： （1）化简：_____； （2）的有理化因式是______，______； （3）比较大小：______（填，，，或中的一种）； （4）若，求的值． 【答案】（1） （2）， （3） （4）9 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用二次根式的运算法则进行化简求解； （2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （4）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解． 【小问1详解】 解：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：的有理化因式是． ． 故答案为：， 【小问3详解】 解：因为 ，， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． 【小问4详解】 解： ， ， ， ． 26. 在四边形中，对角线，与交于点，且． （1）如图1，若，，当时，求四边形的面积； （2）如图2，若，过中点作分别交，于点，．证明：； （3）如图3，若，点在直线上，将绕点逆时针旋转得到，当线段取最小值时，内部一点满足，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1）3 （2） 证明：如图，作于，交的延长线于，作交于，令交于， ， ∵，， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）作于，则，求出，得出，，求出，得出为等腰直角三角形，推出，由勾股定理可得，即可得解； （2）作于，交的延长线于，作交于，令交于，由等腰三角形的性质可得，，，设，则，求出，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，求出 ，由平行线的性质可得，得出为等腰直角三角形，推出，证明，得出，利用相似三角形的判定与性质，得出，即可得证； （3）作，作于，连接，过点作直线，交直线于，证明四边形为正方形，得出，，证明，得出，得出点在直线上运动，从而可得当时，最小，即最小，证明为等腰直角三角形，得出，以为圆心，为半径画圆，点为优弧上一点，则，求出点在上，且在劣弧上，当、、三点共线时，最小，作于，则为等腰直角三角形，再由计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图，于，则， ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作，作于，连接，过点作直线，交直线于， ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵点在直线上，将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当时，最小，即最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵内部一点满足， ∴， 以为圆心，为半径画圆，点为优弧上一点，则， ∴， ∴点在上，且在劣弧上， ∴当、、三点共线时，最小， ∵， ∴，， ∴， 作于，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $