精品解析：广东省深圳市龙岗区宏扬学校2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年七年级数学（下册）学科素养形成练习 期中（第一章-第三章） 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图中，∠1与∠2互为余角是（ ） A B. C. D. 3. 如图，某污水处理厂要从A处把处理过水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 过一点可以作无数条直线 D. 垂线段最短 4. 下列计算中不正确的是（ ） A B. C. D. 5. 下列各式中，可以运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 同角的余角相等 B. 对顶角相等 C. 三角形三条高所在的直线一定交于一点，并且该点位于三角形内部 D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 7. 如图，在4x4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数为( ) A. 300° B. 315° C. 320° D. 325° 8. 如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 9. 若，则的值为____． 10. 若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的另一边长是______． 11. 已知三角形两边长分别为6和3，第三边长是整数，这个三角形周长的最小值是________. 12. 如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为___． 13. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是___． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算下列各题： （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 如图，已知，．证明：． 17. 请将下列说理过程补充完整： 如图：，，，试说明． 解：因为（已知）， 所以（______）， 因为（已知）， 所以______（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以_____________（______）， 即， 所以（______）． 18. 如图，某商场为了吸引顾客，制作了可以自由转动的均匀转盘（转盘被等分成20个扇形），顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转动转盘，转盘停止后指针正好停在红色、黄色或绿色区域，就可以分别获得200元、100元、50元的购物券． （1）如果你在该商场消费210元，你获得200元、100元、50元购物券的概率分别是多少？ （2）求转动一次转盘获得购物券的概率． 19. （1）通过学习我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是 ； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： 若，求的值； （3）在（2）的条件下，如图2，有边长为与边长为b的两种正方形纸片，将两种正方形纸片各一张放置在一个边长为8的正方形桌面上，若这两张正方形叠合部分（阴影）3，桌面上未被这两张正方形纸片覆盖部分（阴影）的面积和为，求． 20. 如图1，，是直线、间的一条折线． （1）试证明：． （2）如果将折一次改为折二次，如图2，则、、、之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学（下册）学科素养形成练习 期中（第一章-第三章） 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：B． 2. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．依此定义结合图形即可求解． 【详解】解：四个选项中，只有选项B满足， 即选项B中，与互为余角． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，余角的定义，掌握定义并且准确识图是解题的关键． 3. 如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是（ ） A 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 过一点可以作无数条直线 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即可选择． 【详解】根据题意可知这种铺设方法蕴含的数学原理是垂线段最短． 故选D． 【点睛】本题考查垂线段最短．理解直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解题关键． 4. 下列计算中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、单项式乘法、幂的乘方及同底数幂相乘．根据合并同类项、单项式乘法、幂的乘方及同底数幂相乘，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A．，计算正确，故本选项不符合题意． B．，计算错误，故本选项符合题意． C．，计算正确，故本选项不符合题意． D．，计算正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 下列各式中，可以运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式的特点直接判断即可． 【详解】A.，利用完全平方公式计算，故错误； B.，利用平方差公式计算，故正确； C.，利用多项式乘多项式计算，故错误； D.，利用完全平方公式计算，故错误； 故选：B 【点睛】此题考查整式乘法的公式，解题关键是平方差公式为：． 6. 下列说法不正确的是（ ） A. 同角的余角相等 B. 对顶角相等 C. 三角形三条高所在的直线一定交于一点，并且该点位于三角形内部 D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同角的余角相等、对顶角的性质、三角形的垂心、垂线的知识，逐项判断即可，熟练掌握知识点判断是解题的关键． 【详解】解：A、同角的余角相等，说法正确，不符合题意； B、对顶角相等，说法正确，不符合题意； C、钝角三角形三条高所在的直线交于一点，但该点位于三角形外部，故原说法不正确，符合题意； D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在4x4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数为( ) A 300° B. 315° C. 320° D. 325° 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察发现∠1和∠7互余，∠2和∠6互余，，∠3和∠5互余，∠4=45°，然后求和即可． 【详解】解：观察可以发现：∠2和∠6互余，，∠3和∠5互余，∠4=45° 故：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7 =（∠1+∠7）+（∠2+∠6）+（∠3+∠5）+∠4 =90°+90°+90°+45° =315° 故答案为B． 【点睛】本题主要考查直角三角形两锐角互余，解题关键在于找到三组互余的角． 8. 如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理；由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，即可求的度数． 【详解】解：将沿，翻折，顶点，均落在点处， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 9. 若，则的值为____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式成为解题的关键． 先运用完全平方公式展开再结合即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为4． 10. 若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的另一边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式的应用．根据长方形的另一边长等于长方形的面积除以一边长，即可求解． 【详解】解：根据题意得：这个长方形的另一边长是：． 故答案为：． 11. 已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是________. 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，正确得出第三边的取值范围是解答的关键．根据三角形三边关系求出第三边的取值，即可求解 【详解】解：设第三边长为， ∴， ∵第三边为整数， ∴最小整数为， ∴ 周长最小为， 故答案为：． 12. 如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为___． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出的度数即可得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得， ，， ， ， ． 故答案为：110． 13. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是___． 【答案】74° 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，故∠1=∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数． 【详解】过点D作DF⊥AO交OB于点F. ∵入射角等于反射角， ∴∠1=∠3， ∵CD∥OB， ∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)； ∴∠2=∠3(等量代换)； 在Rt△DOF中,∠ODF=90°,∠AOB=37°， ∴∠2=90°−37°=53°； ∴在△DEF中,∠DEB=180°−2∠2=74°. 故答案为74° 【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线. 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负整数次幂、幂的混合运算法则等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据有理数乘方、零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）先运用积的乘方运算，然后运用同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了的整数的化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式，把小括号展开，在合并同类项，根据多项式除以单项式运算法则进行化简，最后将x和y的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 16. 如图，已知，．证明：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，灵活运用平行线的判定与性质定理是解题的关键． 根据、邻补角互补以及等量代换可得，易得；由平行线的性质可得，再结合已知条件可得，最后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 请将下列说理过程补充完整： 如图：，，，试说明． 解：因为（已知）， 所以（______）， 因为（已知）， 所以______（两直线平行，内错角相等）， 因（已知）， 所以_____________（______）， 即， 所以（______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；，；等式的性质；等量代换 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程证明即可． 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以（等式性质）， 即， 所以（等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；，；等式的性质；等量代换． 18. 如图，某商场为了吸引顾客，制作了可以自由转动的均匀转盘（转盘被等分成20个扇形），顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转动转盘，转盘停止后指针正好停在红色、黄色或绿色区域，就可以分别获得200元、100元、50元的购物券． （1）如果你在该商场消费210元，你获得200元、100元、50元购物券的概率分别是多少？ （2）求转动一次转盘获得购物券的概率． 【答案】（1）获得200元、100元、50元购物券的概率分别是、、 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用．掌握概率等于所求情况数与总情况数之成为解题的关键． （1）由自由转动的转盘被等分成20个扇形，红色、黄色或绿色区域分别占1，3，6个区域，然后利用概率公式求解即可； （2）由题意可知红色、黄色或绿色区域共10个，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵自由转动的转盘被等分成20个扇形，红色、黄色或绿色区域分别占1，3，6个区域， ∴获得200元元购物券的概率为，获得100元元购物券的概率为，获得50元元购物券的概率为． 答：获得200元、100元、50元购物券的概率分别是、、． 【小问2详解】 解：∵自由转动的转盘被等分成20个扇形，红色、黄色或绿色区域分别占1，3，6个区域， ∴红色、黄色或绿色区域共10个， ∴转动一次转盘获得购物券的概率为：． 19. （1）通过学习我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，是用4块完全相同的长方形拼成的正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是 ； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： 若，求的值； （3）在（2）的条件下，如图2，有边长为与边长为b的两种正方形纸片，将两种正方形纸片各一张放置在一个边长为8的正方形桌面上，若这两张正方形叠合部分（阴影）3，桌面上未被这两张正方形纸片覆盖部分（阴影）的面积和为，求． 【答案】（1）（2）3或（3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形公式是本题的关键． （1）用m和n分别表示出大正方形的边长和阴影部分正方形的边长，根据正方形的面积公式用两种方法分别表示出阴影部分正方形的面积，两者相等，从而得到一个等式； （2）将所给条件代入（1）得到等式，从而求出的值； （3）根据“大正方形的面积空白部分的面积”计算即可． 【详解】解：（1）∵大正方形的边长为，每个长方形的面积为， ； ∵阴影部分正方形的边长为， ， ， 故答案为：． （2）由（1）得 即， ∵， ∴， 或． （3）空白部分的面积为，，整理得， ， ，， ， ． 20. 如图1，，是直线、间的一条折线． （1）试证明：． （2）如果将折一次改为折二次，如图2，则、、、之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． （1）作，根据平行线的性质得，由于，根据平行线的传递性得，根据平行线的性质得，所以； （2）作，，由得到，根据平行线的性质得，，，所以，即． 【小问1详解】 证明：作，如图1， ， ， ， ， ， 即：． 【小问2详解】 解：．理由如下： 作，，如图2， ， ， ，，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$