精品解析：天津市河东区2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

河东区2024~2025学年第二学期高二期末质量检测 数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷 （选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置．考试结束后，将答题纸交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！ 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，， 则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知 则p是q的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 4. 下列函数中是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知 则实数a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知投篮一次命中概率为p，每次投篮的结果相互独立，设投篮六次命中的次数为随机变量X，若则p=（ ） A B. C. D. 7. 由如表所示的变量之间的一组数据，得之间的线性回归方程为，则（ ） 6 8 10 12 7 5.5 4.5 A. 点一定在回归直线上 B. 每增加1个单位，大约增加0.5个单位 C. D. 去掉这组数据后，求得的回归直线方程斜率将变大 8. 已知在一个不透明的布袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个白球，4个红球．从中摸出4个球分别放入A，B，C，D四个不同的盒子，在摸出白球的条件下，白球放入A盒的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 多面体ABCEF ， D为AB的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 2． 本卷共11小题， 共 105分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. i为虚数单位，若复数z满足 则共轭复数_______． 11. 在 的展开式中，常数项为________________(用数字作答)． 12. 设随机变量，且，则__________(用数字作答)． 13. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为______，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为______. 14. 如图，在中，已知是中点，，设与相交于点P，若，则___________，___________． 15. 已知函数，若函数恰有两个零点， 则k的取值范围为________． 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. 在中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 已知 （1）求a的值； （2）求c的值； （3）求的值． 17. 如图，在三棱柱 中， 点D，E分别在棱． 上， M 为棱 的中点． （1）求证：平面； （2）若 平面 ①求直线 到平面的距离； ②求平面 与平面的夹角的余弦值． 18. 晨跑是指在早晨以跑步为主的进行身体锻炼的一种运动方式．某机构采用有放回简单随机抽样的方法对某高中学生的运动爱好者进行问答调查．得到成对样本观测数据的分类统计结果，已知被调查的运动爱好者中男生有40人，其中不喜欢晨跑的男生有10人；被调查的运动爱好者中女生有60人，其中不喜欢晨跑的女生有30人． （1）填表：将所给数据进行整理，填到如下2×2列联表中 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男生 10 40 女生 60 合计 100 （2）计算，并依据小概率值的独立性检验推断喜欢晨跑与性别有关？ （3）若从该校的运动爱好者中，采用分层随机抽样的方法随机抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式及数据： ，其中n=a+b+c+d． α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 如图，在多面体ABCDPE中，已知平面PDCE⊥平面ABCD，其中四边形PDCE为矩形， 底面四边形ABCD满足， AB ⊥AD，∥ （1）求证：平面 平面 （2）求三棱锥 外接球的体积： （3）F为PA的中点，点Q在线段EF上，若直线BQ与平面PBC 所成角的大小为 求FQ的长． 20. 已知函数 （1）将函数化简为的形式(其中 （2）若 求函数 在的取值范围； （3）的最小正周期为π， 若在 上恰有3个零点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河东区2024~2025学年第二学期高二期末质量检测 数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷 （选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置．考试结束后，将答题纸交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！ 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，， 则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算以及补集运算，即可求得答案. 【详解】由题意可知，结合， 可得， 故选：B 2. 已知 则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义结合指数运算判断即可. 【详解】已知  当时，，所以， 当，根式没有意义， 则p是q的充分不必要条件. 故选：A. 3. 对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 【答案】C 【解析】 【分析】利用散点图，结合相关系数的知识可得答案. 【详解】由题意可知，变量的散点图中，随的增大而增大，所以变量与呈现正相关； 再分别观察两个散点图，图比图点更加集中，相关性更好，所以线性相关系数. 故选：C. 4. 下列函数中是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出定义域，再利用偶函数的定义对四个选项一一判断，得到结论. 【详解】A选项，的定义域为R，， 故不是偶函数，A错误； B选项，定义域为，，，故， 所以不是偶函数，B错误； C选项，的定义域为，关于原点对称， ，故偶函数，C正确； D选项，定义域为，关于原点对称， 且当时，，， 当时，，， 故为奇函数，D错误. 故选：C 5. 已知 则实数a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质以及对数函数的性质分别判断与的大小关系，从而可得答案. 【详解】 因为，所以； ； 综上，， 故选：D. 6. 已知投篮一次命中的概率为p，每次投篮的结果相互独立，设投篮六次命中的次数为随机变量X，若则p=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题给条件投篮六次命中的次数为随机变量X，若，需要通过建立等式求解命中概率p，根据二项分布公式：，进行计算求解. 【详解】根据二项分布公式： 则，. 因为： ，化简得，注：且 解方程得. 故选：D. 7. 由如表所示的变量之间的一组数据，得之间的线性回归方程为，则（ ） 6 8 10 12 7 5.5 4.5 A. 点一定在回归直线上 B. 每增加1个单位，大约增加0.5个单位 C. D. 去掉这组数据后，求得的回归直线方程斜率将变大 【答案】C 【解析】 【分析】利用回归直线方程过样本点可求得，进而逐项计算判断每个选项的正误. 【详解】由题意可得，， 因为回归直线方程一定过样本中心点， 所以，解得，故C正确； 当，所以点不在回归直线上，故A错误； 每增加1个单位，大约减少0.5个单位，故B错误； 当，所以在回归直线上，故去掉点 不影响回归直线方程，故D错误. 故选：C. 8. 已知在一个不透明的布袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个白球，4个红球．从中摸出4个球分别放入A，B，C，D四个不同的盒子，在摸出白球的条件下，白球放入A盒的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合已知条件结合古典概型即可求解. 【详解】在一个不透明的布袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个白球，4个红球． 从中摸出4个球分别放入A，B，C，D四个不同的盒子， 在摸出白球的条件下，剩下3个球是红球，所以放入A，B，C，D四个不同的盒子有4种情况，白球放入A盒有1种情况， 所以白球放入A盒的概率是. 故选：A. 9. 如图， 多面体ABCEF ， D为AB的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由线面垂直的判定与性质，根据等腰三角形的性质与勾股定理，求得底面积，利用三棱锥体积公式，可得答案. 【详解】在矩形中，有，， 因为，，平面，所以平面 则平面，因为平面，所以，， 在中，由，，则， 又因为的中点，则，则，， 易知，则，因，则， 在中，， 则矩形的面积， 因为，，，平面，所以平面， 多面体的体积. 故选：A. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 2． 本卷共11小题， 共 105分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. i为虚数单位，若复数z满足 则共轭复数_______． 【答案】 【解析】 【分析】应用复数的除法及乘法计算求解. 【详解】复数z满足 则， 所以共轭复数. 故答案为：. 11. 在 的展开式中，常数项为________________(用数字作答)． 【答案】 【解析】 【分析】求出展开式的通项，令通项中的指数为0，从而可得答案. 【详解】展开式的通项为： 令 常数项为 故答案为： 12. 设随机变量，且，则__________(用数字作答)． 【答案】0.3## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性进行求解 【详解】，由题意得. 故答案为：0.3 13. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为______，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为______. 【答案】 ①. 0.0525 ②. 【解析】 【分析】首先用数学语言表示已知条件，设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.由条件概率公式计算；由条件概率公式计算． 【详解】设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05. 由全概率公式， 得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05 ＝0.0525. “如果取到零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率”， 就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率． ＝ ＝＝. 故答案为：0.0525； 14. 如图，在中，已知是的中点，，设与相交于点P，若，则___________，___________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得，再由三点共线即可得出答案；用和表示和，根据平面向量的数量积运算律可求出结果. 【详解】因为， 所以 因为三点共线，所以，解得：. 所以， 因为是的中点，所以， 所以. 故答案为：；. 15. 已知函数，若函数恰有两个零点， 则k的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】化简函数的解析式为，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点问题，作出函数图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】则在上为减函数，在上为增函数， 当时，，， 此时两个函数值相等， 当时，，此时， 当时，，此时， 即函数 若函数恰有两个零点， 则，即恰有两个根， 函数与的图象有两个不同的交点， 作出函数与的图象， 由图象知若两个图象有两个不同的交点， 则，故实数取值范围是， 故答案为：. 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. 在中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 已知 （1）求a的值； （2）求c的值； （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合同角三角函数关系计算求解； （2）应用正弦定理结合余弦定理计算求解； （3）应用同角三角函数关系及二倍角正弦余弦公式结合两角差的余弦公式计算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，所以； 【小问2详解】 因为，由正弦定理得，所以且， 所以由余弦定理得，所以； 【小问3详解】 因为，所以，且，所以，， 所以，， 因为，所以， 所以. 17. 如图，在三棱柱 中， 点D，E分别在棱． 上， M 为棱 的中点． （1）求证：平面； （2）若 平面 ①求直线 到平面的距离； ②求平面 与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）先取中点，证明是平行四边形，得出线线平行，进而应用线面平行得证； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的一个法向量，再应用距离公式计算求解； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再应用二面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 取中点，连接， 因为分别是中点，所以， 因为所以，所以， 所以是平行四边形， 所以平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 ①建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 设平面的一个法向量为：， 则，即， 令，则，所以， 直线 到平面的距离即是 到平面的距离， 又因为， 所以 到平面的距离； ②设平面的一个法向量为：， 设平面 与平面的夹角为， 则； 所以平面 与平面的夹角的余弦值为. 18. 晨跑是指在早晨以跑步为主的进行身体锻炼的一种运动方式．某机构采用有放回简单随机抽样的方法对某高中学生的运动爱好者进行问答调查．得到成对样本观测数据的分类统计结果，已知被调查的运动爱好者中男生有40人，其中不喜欢晨跑的男生有10人；被调查的运动爱好者中女生有60人，其中不喜欢晨跑的女生有30人． （1）填表：将所给数据进行整理，填到如下2×2列联表中 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男生 10 40 女生 60 合计 100 （2）计算，并依据小概率值的独立性检验推断喜欢晨跑与性别有关？ （3）若从该校的运动爱好者中，采用分层随机抽样的方法随机抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式及数据： ，其中n=a+b+c+d． α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）联表见解析； （2）喜欢晨跑与性别无关； （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）先根据条件概率求得人数完善列联表； （2）再代入公式求出，将该值与临界值比较即可求解； （3）先根据分层抽样确定抽取的男生人数和女生人数，再写出的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案. 【小问1详解】 填列联表为： 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男生 30 10 40 女生 30 30 60 合计 60 40 100 【小问2详解】 ， 因此，依据小概率值的独立性检验推断喜欢晨跑与性别无关； 小问3详解】 由（1）知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生， 其中男生人数为，女生人数为． 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4. ， . 故随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 4 则. 19. 如图，在多面体ABCDPE中，已知平面PDCE⊥平面ABCD，其中四边形PDCE为矩形， 底面四边形ABCD满足， AB ⊥AD，∥ （1）求证：平面 平面 （2）求三棱锥 外接球的体积： （3）F为PA的中点，点Q在线段EF上，若直线BQ与平面PBC 所成角的大小为 求FQ的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理及判定定理即可证明； （2）根据几何体外接球半径的求法，结合球的体积公式即可求解； （3）建立空间直角坐标系，设，根据向量的线性运算可得，再利用线面角的向量法求出，再根据空间向量的模长公式即可求解. 【小问1详解】 因为四边形为矩形， 所以，因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）知平面， 平面，所以， 所以Rt的外心为的中点， 所以，所以平面， 因为，所以Rt的外心为的中点， 所以点为三棱锥外接球的球心， ， 所以外接球的半径， 则三棱锥外接球的体积为； 【小问3详解】 因为平面， 所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以 设线段上存在一点，使得与平面所成角的大小为， 设， 则， 所以， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 则，因为与平面所成角的大小为， 所以， 即，整理得， 所以，此时点与点重合， 所以，则． 20. 已知函数 （1）将函数化简为形式(其中 （2）若 求函数 在的取值范围； （3）的最小正周期为π， 若在 上恰有3个零点，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简； （2）根据求得角，再由正弦函数的值域计算求解； （3）求出函数零点，建立不等式求a的取值范围． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为函数 ， ∵，∴，∴. ， 所以函数 在的取值范围. 【小问3详解】 因为的最小正周期为π，所以，所以， 令，则，，所以，． 由于函数在区间上有且仅有3个零点， 所以，所以a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $