1.1.6平面直角坐标系中的距离公式讲义-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

授课主题 1.1.6平面直角坐标系中的距离公式 知 识 梳 理 一：两点间的距离公式 两点间的距离公式为 . 注意：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 二：点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 注意：（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 三：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为. 注意：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数分别是相同的，才能使用此公式. 例题讲解 考点一 两点间的距离 例1、已知两点，，则(    ) A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【解析】因为，，则.故选：B 例2、已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求证：△ABC是等腰三角形． 【解析】∵，， ，∴|AC|=|BC|． 又∵A、B、C三点不共线，∴△ABC是等腰三角形． 例3、已知直线过点P（3，1），且被两平行直线1：x+y+1=0，2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线的方程． 【答案】y=1或x=3 【解析】 设直线与直线1、2分别交于点A（x1，y1）、B（x2、y2），则，两方程相减，得(x1―x2)+(y1―y2)=5， ① 由已知及两点间距离公式，得(x1―x2)2+(y1―y2)2=25， ② 由①②解得或，又点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线上，因此直线的斜率为0或不存在，又直线过点P（3，1），所以直线的方程为y=1或x=3． 例4、已知函数，求的最小值，并求取得最小值时x的值． 【答案】， 【解析】∵． 它表示点P（x，0）到点A（1，1）的距离加上点P（x，0）到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P（x，0）与点A（1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．由下图可知，可转化为求两点A＇（1，―1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数的最小值． ∴的最小值为． 再由直线方程的两点式得的方程为3x―y―4=0．令y=0，得．∴当时，的最小值为． 考点二 点到直线的距离 例1、点(1,1)到直线的距离是(    ) A．1 B．2 C． 【答案】A 【解析】，故选：A 例2、在△ABC中，A（3，3），B（2，―2），C（―7，1），求∠A的平分线AD所在直线的方程． 【思路点拨】 设M（x，y）为∠A的平分线AD上的任意一点，由已知可求得AC边所在直线的方程为x―5y+12=0，AB所在直线的方程为5x―y―12=0． 【答案】 【解析】 由角平分线的性质得， ∴x―5y+12=5x―y―12或x―5y+12=y―5x+12，即y=―x+6或y=x． 但结合图形（如图），可知kAC＜kAD＜kAB，即， ∴y=－x+6不合题意，故舍去． 故所求∠A的平分线AD所在直线的方程为y=x． 例3、已知在△ABC中，A（1，1），，C（4，2）（1＜m＜4），求m为何值时，△ABC的面积S最大？ 【答案】 【解析】 ∵A（1，1），C（4，2），∴． 又直线AC的方程为x―3y+2=0，∴点到直线AC的距离， ∴． ∵1＜m＜4，∴，∴，∴， ∴当，时，S最大．故当时，△ABC的面积最大． 考点三 两平行直线间的距离 例1、已知直线与直线平行，则它们之间的距离是(    )． A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】因为直线与直线平行，所以，解得， 所以直线，即，即，所以两平行线之间的距离.故选：B 例2、 求两条平行直线y=3x+5与6x―2y+3=0间的距离． 【答案】 解：经变形得两条平行直线的方程为6x―2y+10=0和6x―2y+3=0，故它们之间的距离为 ． 例3、两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（―3，―1），并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d． （1）求d的变化范围； （2）当d取最大值时，求两条直线的方程． 【答案】（1）；（2）3x+y―20=0和3x+y+10=0 【解析】 （1）①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=－3，则它们之间的距离为9． ②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为1：y―2=k(x―6)，2：y+1=k(x+3)，即1：kx―y―6k+2=0，2：kx―y+3k―1=0． ∴，即(81―d2)k2―54k+9―d2=0． ∵k∈R，且d≠0，d＞0，∴Δ=542―4(81―d2)(9―d2)≥0，即且d≠9． 综合①②可知，所求的d的变化范围为． （2）由右图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB． 而， ∴所求的直线的斜率为―3． 故所求的直线方程分别为y―2=―3(x―6)和y+1=―3(x+3)，即3x+y―20=0和3x+y+10=0． 考点四 对称问题 例1、点关于直线的对称点Q的坐标为(    )． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得． 所以点Q的坐标为.故选：A 例2、设直线与关于直线对称，则直线的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立，得，取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，直线的斜率，所以直线的方程为，整理为：.故选：A 例3、直线y＝4x﹣5关于点P(2，1)对称的直线方程是( ) A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9 【答案】C 【解析】设直线上的点关于点的对称点的坐标为， 所以，，所以，， 将其代入直线中，得到，化简得，故选：C． 例4、求点A（2，2）关于直线2x―4y+9=0的对称点坐标． 【答案】（1，4） 【解析】设点A＇（a，b）是点A（2，2）关于直线2x―4y+9=0的对称点，则有AA＇与已知直线垂直且AA＇的中点在已知直线上．∴，解得a=1，b=4．∴所求对称点坐标为（1，4）． 例5、求直线x―y―2=0关于直线：3x―y+3=0对称的直线方程． 【答案】7x+y+22=0 【解析】 解法一：由，得交点， 取直线x―y―2=0上一点A（0，―2），设点A关于直线：3x―y+3=0的对称点为A＇（x0，y0）， 则根据，且线段AA＇的中点在直线：3x―y+3=0上，有 ，解得．故所求直线过点与（―3，―1）． ∴所求直线方程为．即7x+y+22=0． 解法二：设P（x，y）为所求直线上任意一点，P关于直线：3x―y+3=0的对称点P＇（x＇，y＇）．根据PP＇⊥且线段PP＇的中点在直线上，可得 ，解得． 又∵P＇（x＇，y＇）在直线x―y―2=0上，∴，即7x+y+22=0． 故所求直线方程为7x+y+22=0． 例6、 已知直线1：2x+y―4=0，求1关于直线：3x+4y―1=0对称的直线2的方程． 【答案】2x+11y+16=0 【解析】 解法一：由，得直线1与的交点为P（3，―2），显然P也在直线2上． 在直线1上取一点A（2，0），又设点A关于直线的对称点为B（x0，y0），则，解得．故由两点式可求得直线2的方程为2x+11y+16=0． 解法二：设直线2上一动点M（x，y）关于直线的对称点为，则 ，解得． 显然在1上，故，即2x+11y+16=0，这便是所求的直线2的方程． 例7、在直线：3x―y―1=0上求一点P，使得： （1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大； （2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小． 【答案】（1）（2，5）（2） 【解析】 设B关于的对称点为B＇，AB＇与的交点P满足（1）；设C关于的对称点为C＇，AC＇与的交点P满足（2）．事实上，对（1），若P＇是上异于P的点，则 ；对于（2），若P＇是上异于P的点，则 ． （1）如图1所示，设点B关于的对称点B＇的坐标为（a，b）， ，即， ∴a+3b－12=0． ① 又由于BB＇的中点坐标为，且在直线上， ∴，即3a―b―6=0． ② 解①②得a=3，b=3，∴B＇（3，3）． 于是直线AB＇的方程为，即2x+y－9=0． 解由的直线方程与AB＇的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即与AB＇的交点坐标为（2，5），所以P（2，5）． （2）如图2所示，设C关于的对称点为C＇，求出C＇的坐标为． ∴AC＇所在直线的方程为19x+17y―93=0． AC＇和交点坐标为． 故P点坐标为． 考点五 综合运用 例1、使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个(    ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解析】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个.故选：B 例2、函数的最小值是(    ) A．5 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】， 则其几何意义为点到两定点的距离和，点表示为横坐标上的点，作出如图所示： 根据将军饮马模型，作出点关于轴对称点，连接，交轴于点， 则，此时直线的直线方程为 令，则，故当时，.故选：A. 例3、唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A． B．5 C． D． 【答案】A 【解析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程. 如图所示， 设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A． 举一反三 1．直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为(　　) A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】由得，即，由得，即， 则|AB|.故选：D 2．(多选)下列直线与直线平行，且与它的距离为的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设所求直线的方程为，由题意可得，解得或0．故所求直线的方程为或．故选：AD 3．与点之间的距离为2，且在轴上的截距为4的直线是(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】与的距离为2，在轴上的截距为4，故符合要求； 对于直线，有且时，故也符合要求； 与的距离为3且轴无交点，不符合要求. ∴、都是与点距离为2且在轴上的截距为4的直线.故选：C 4．点关于直线的对称点的坐标为 . 【答案】 【解析】设点是点关于直线的对称点.由已知直线的斜率为1， 所以，解得，所以点.故答案为：. 5．已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为、，所以的中点为， 因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上， 所以，即，故答案为： 6．直线关于点对称的直线方程为____________. 【答案】 【解析】设直线关于点对称的直线方程为，在上任取一点，则点关于点对称的点的坐标为，由题意可知点在直线上，故，整理可得.故答案为： 7．已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【解析】由题意可知，反射光线经过点关于直线的对称点， 如图所示： 直线的方程即为反射光线所在的直线方程，又，可得， 根据直线的点斜式方程可得，反射光线所在直线方程为， 整理得，即反射光线所在直线的方程为.故答案为：. 8．直线关于直线对称的直线方程为 【答案】 【解析】设所求直线方程为，且， 直线与直线间的距离为， 则直线与直线间的距离为，又，得， 所以所求直线方程为，故答案为：. 9．直线恒过定点，则点关于直线对称的点N坐标为 ． 【答案】 【解析】直线，即，当，即时，， 故直线恒过定点，设点关于直线对称的点N坐标为， ，，即，故答案为：. 10.已知△ABC的三个顶点是A（―1，0），B（1，0），，试判断△ABC的形状． 【答案】 △ABC是直角三角形 11. 如图，直线上有两点A、B，A点和B点的横坐标分别为x1，x2， 直线方程为y=kx+b，求A、B两点的距离． 【答案】 12.求点P0（―1，2）到下列直线的距离：（1）2x+y―10=0；（2）x+y=2；（3）y―1=0． 【答案】（1）（2）（3）1 【解析】（1）根据点到直线的距离公式得． （2）直线方程可化为x+y―2=0，所以． （3）因为直线y―1=0平行于x轴，所以d=|2―1|=1． 13.（1）求点P（x0，y0）关于直线x―y+C=0的对称点坐标； （2）求直线1：Ax+By+C=0关于直线2：x+y―3=0的对称直线3的方程． 【答案】（1）（y0―C，x0+C）；（2）Bx+Ay―3A―3B―C=0． 14.过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线的方程． 【答案】 【解析】法一：直线过AB的中点（1，1），所以的方程为． 直线，则设的方程为，则，所以的方程为： 法二：由题意知直线的斜率存在，设的方程为，则A、B两点到直线的距离 ，解得：，所以的方程为：和 15.直线1过点A（0，1），2过点B（5，0），如果1∥2，且1与2的距离为5，求1、2的方程． 【答案】或． 16.试求的最小值． 【答案】 【解析】，它表示点P（x，0）到点A（―1，1）的距离加上点P（x，0）到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P（x，0）与点A（―1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．可转化为求两点A＇（―1，―1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数的最小值． ∴的最小值为． 17.已知直线1：2x―y+a=0（a＞0），直线2：―4x+2y+1=0和直线3：x+y―1=0，且1与2的距离是． （1）求a的值； （2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到1的距离是P点到2的距离的；③P点到1的距离与P点到2的距离之比是．若能，求P点坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）a=3 （2） 【解析】（1）直线2即，1与2的距离，解得． （2）能找到点P，使得P点同时满足三个条件． 设点P，若P点满足条件②，则P点在1、2平行的直线， 且，即或或； 若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有， 或 由P在第一象限，所以不可能．联立方程，解得，应舍去． 由，解之得即为同时满足三个条件的点． 18.代数式的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由两点之间距离公式可以得到表示点到的距离，表示点到的距离，所以代数式表示，由图像可知在在运动，所以易得关于对称点为，连接交于点，此时最小，最小值为.故选：B. 19．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为(    ) A． B．5 C． D． 【答案】D 【解析】由关于的对称点为，所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为.故选：D 20．(多选)若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为(    )． A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为直线，，不能构成三角形， 所以存在，，过与的交点三种情况. 显然，.则直线的斜率分别为，，. 当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得； 当过与的交点时.先联立，解得，则与的交点为， 代入，得，解得． 综上：或或．故选：ABD． 21．直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称. (1)求直线的方程； (2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标. 【答案】(1)；(2). 【解析】1)由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为， 因为点到直线的距离为，所以，化简得，解得， 所以直线的方程为，当时，，则直线与轴交于点， 点，关于点的对称轴分别为， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即， (2)设原点为关于直线的对称点为，则，所以， 所以当三点共线时取等号， 设，则，解得，即，所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，即. 课 后 作 业 1．点P（2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标是（ ） A．（5，2） B．（2，―5） C．（―5，―2） D．（―2，―5） 【答案】C 【解析】设点P（2，5）关于直线x+y=0的对称点为，则，解之得． 2．与直线2x+3y―6=0关于点（1，―1）对称的直线方程为（ ） A．3x―2y+12=0 B．2x+3y+7=0 C．3x―2y―12=0 D．2x+3y+8=0 【答案】D 【解析】在所求的直线上任取一点A（x，y），则A关于点（1，-1）对称点B（2-x，-2-y）一定在直线：2x+3y-6=0上，故有2（2-x）+3（-2-y）-6=0，即 2x+3y+8=0．故选D． 3．已知点A(a+2，b+2)和B(b-a，-b)关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为(　　). A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2 C．a=2，b=4 D．a=4，b=2 【答案】D 【解析】点A，B关于直线对称，则，即，　① 且AB中点在已知直线上，代入得，　② 联立①②组成的方程组，解得，故选：D. 4．已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的斜率为(    ) A． B． C．4 D． 【答案】C 【解析】设点关于直线对称的点为，则 ，解得 ，故 ，反射线经过点,所以，即反射光线所在直线的斜率为4，故选：C 5．若x轴的正半轴上的点M到原点与点（5，―3）到原点的距离相等，则M的坐标是（ ） A．（―2，0） B．（1，0） C． D． 【答案】D 【解析】设M的坐标为（x，0），根据题意，由两点间的距离公式可得x2=52+(―3)2，解得，∵x＞0，∴所求点的坐标为． 6．两平行直线3x+2y―3=0和6x+4y+1=0之间的距离是（ ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】 6x+4y+1=0可化为．则由两条平行直线间的距离公式得． 7．已知直线：与关于直线对称，与平行，则(    ) A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】直线关于直线对称的直线，即是交换位置所得， 即，相互平行，的斜率为，故.故选：C. 8．已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】，由，解得，故过定点． ，由，解得，故过定点， 故，距离的最大值为．此时，，则，， 解得，故．故选：C． 9．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数(    ) A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2 【答案】A 【解析】因为两直线：，：平行， 可得且，解得或， 当时，，，即， 可两平行线间的距离为，符合题意； 当时，，，即， 可两平行线间的距离为，不符合题意，舍去.故选：A. 10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点关于直线的对称点为，如下图所示： 在直线上任取一点，由对称性可知， 所以，， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故“将军饮马”的最短总路程为.故选：B. 11．直线关于轴对称的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点是所求直线上任意一点，则关于轴的对称点为，且在直线上，代入可得，即.故选：C. 12．与直线关于轴对称的直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设(x，y)是与直线关于轴对称的直线上任意一点，则(x，－y)在上， 故，∴与直线关于轴对称的直线的方程为.故选：D. 13.已知直线与直线关于轴对称，且直线过点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点关于轴的对称点的坐标为，由题意可知，直线过点，则，解得.故选：A. 14．已知，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点为直线上的动点， 由可看作与的距离和与的距离之和， 设点则点为点关于直线的对称点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时，取等号， 所以的最小值为. 故选：C 15．若直线与轴平行且与轴相距5时，则等于（ ） A． B． C．8 D．0 【答案】A 【解析】由题意知，，所以，或10，所以或8． 16．(多选)光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数a可能为(    ) A．6 B． C．2 D． 【答案】AD 【解析】在直线上任意取一点， 由题知点关于直线的对称点在直线上， 则整理得，解得或.故选：AD. 17．若P是直线3x+2y+2=0上的一点，且到A（0，1），B（2，0）的距离之差的绝对值最大，则点P的坐标为________． 【答案】（―2，2） 【解析】 由几何性质知P、A、B在同一条直线上时绝对值之差最大，且所在直线为，与3x+2y+2=0联立得（―2，2）． 18．在直线：3x－y+1=0上求一点P，使点P到两点A（1，―1），B（2，0）的距离相等，则点的坐标为 ． 【答案】（0，1） 【解析】设点P坐标为（x，y），由点P在上和P到A、B距离相等建立方程组 ，解得，∴点P坐标为（0，1）． 19.若动点分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值是 ． 【答案】 【解析】由已知，点到两直线的距离相等，即点在直线上．于是，问题变成“点在直线上运动，求原点到点的最小距离”，可利用点到直线的距离中垂线段最短加以解决． 20．函数的最小值为 . 【答案】 【解析】，上式表示轴上一点分别到点距离的和，如图所示，设为点关于轴的对称点，则当点为直线与轴的交点时，点到两点距离的和最小，最小值为两点间的距离. ，所以函数的最小值为.故答案为： 21．已知直线，试求： （1）与直线的距离为的直线的方程； （2）点关于直线的对称点的坐标． 【答案】（1）或（2） 【解析】（1）设所求直线方程为，根据题意，解得或， 所以，所求直线方程为或． （2）设关于直线的对称点为 则，且的中点在直线上，即点在直线上． 所以，即 解得，即 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 1.1.6平面直角坐标系中的距离公式 知 识 梳 理 一：两点间的距离公式 两点间的距离公式为 . 注意：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 二：点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 注意：（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 三：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为. 注意：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数分别是相同的，才能使用此公式. 例题讲解 考点一 两点间的距离 例1、已知两点，，则(    ) A．3 B．5 C．9 D．25 例2、已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求证：△ABC是等腰三角形． 例3、已知直线过点P（3，1），且被两平行直线1：x+y+1=0，2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线的方程． 例4、已知函数，求的最小值，并求取得最小值时x的值． 考点二 点到直线的距离 例1、点(1,1)到直线的距离是(    ) A．1 B．2 C． 例2、在△ABC中，A（3，3），B（2，―2），C（―7，1），求∠A的平分线AD所在直线的方程． 例3、已知在△ABC中，A（1，1），，C（4，2）（1＜m＜4），求m为何值时，△ABC的面积S最大？ 考点三 两平行直线间的距离 例1、已知直线与直线平行，则它们之间的距离是(    )． A．1 B．2 C． D．4 例2、 求两条平行直线y=3x+5与6x―2y+3=0间的距离． 例3、两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（―3，―1），并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d． （1）求d的变化范围； （2）当d取最大值时，求两条直线的方程． 考点四 对称问题 例1、点关于直线的对称点Q的坐标为(    )． A． B． C． D． 例2、设直线与关于直线对称，则直线的方程是(　　) A． B． C． D． 例3、直线y＝4x﹣5关于点P(2，1)对称的直线方程是( ) A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9 例4、求点A（2，2）关于直线2x―4y+9=0的对称点坐标． 例5、求直线x―y―2=0关于直线：3x―y+3=0对称的直线方程． 例6、 已知直线1：2x+y―4=0，求1关于直线：3x+4y―1=0对称的直线2的方程． 例7、在直线：3x―y―1=0上求一点P，使得： （1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大； （2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小． 考点五 综合运用 例1、使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个(    ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 例2、函数的最小值是(    ) A．5 B．4 C． D． 例3、唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A． B．5 C． D． 举一反三 1．直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为(　　) A． B． C．3 D． 2．(多选)下列直线与直线平行，且与它的距离为的是(    ) A． B． C． D． 3．与点之间的距离为2，且在轴上的截距为4的直线是(    ) A． B． C．或 D．或 4．点关于直线的对称点的坐标为 . 5．已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 6．直线关于点对称的直线方程为____________. 7．已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 . 8．直线关于直线对称的直线方程为 9．直线恒过定点，则点关于直线对称的点N坐标为 ． 10.已知△ABC的三个顶点是A（―1，0），B（1，0），，试判断△ABC的形状． 11. 如图，直线上有两点A、B，A点和B点的横坐标分别为x1，x2，直线方程为y=kx+b，求A、B两点的距离． 12.求点P0（―1，2）到下列直线的距离：（1）2x+y―10=0；（2）x+y=2；（3）y―1=0． 13.（1）求点P（x0，y0）关于直线x―y+C=0的对称点坐标； （2）求直线1：Ax+By+C=0关于直线2：x+y―3=0的对称直线3的方程． 14.过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线的方程． 15.直线1过点A（0，1），2过点B（5，0），如果1∥2，且1与2的距离为5，求1、2的方程． 16.试求的最小值． 17.已知直线1：2x―y+a=0（a＞0），直线2：―4x+2y+1=0和直线3：x+y―1=0，且1与2的距离是． （1）求a的值； （2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到1的距离是P点到2的距离的；③P点到1的距离与P点到2的距离之比是．若能，求P点坐标；若不能，请说明理由． 18.代数式的最小值为(    ) A． B． C． D． 19．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为(    ) A． B．5 C． D． 20．(多选)若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为(    )． A． B． C． D． 21．直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称. (1)求直线的方程； (2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标. 课 后 作 业 1．点P（2，5）关于直线x+y=0的对称点的坐标是（ ） A．（5，2） B．（2，―5） C．（―5，―2） D．（―2，―5） 2．与直线2x+3y―6=0关于点（1，―1）对称的直线方程为（ ） A．3x―2y+12=0 B．2x+3y+7=0 C．3x―2y―12=0 D．2x+3y+8=0 3．已知点A(a+2，b+2)和B(b-a，-b)关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为(　　). A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2 C．a=2，b=4 D．a=4，b=2 4．已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的斜率为(    ) A． B． C．4 D． 5．若x轴的正半轴上的点M到原点与点（5，―3）到原点的距离相等，则M的坐标是（ ） A．（―2，0） B．（1，0） C． D． 6．两平行直线3x+2y―3=0和6x+4y+1=0之间的距离是（ ） A．4 B． C． D． 7．已知直线：与关于直线对称，与平行，则(    ) A． B． C． D．2 8．已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 9．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数(    ) A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2 10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 (    ) A． B． C． D． 11．直线关于轴对称的直线方程为(    ) A． B． C． D． 12．与直线关于轴对称的直线的方程为(    ) A． B． C． D． 13.已知直线与直线关于轴对称，且直线过点，则(    ) A． B． C． D． 14．.已知，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 15．若直线与轴平行且与轴相距5时，则等于（ ） A． B． C．8 D．0 16．(多选)光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数a可能为(    ) A．6 B． C．2 D． 17．若P是直线3x+2y+2=0上的一点，且到A（0，1），B（2，0）的距离之差的绝对值最大，则点P的坐标为________． 18．在直线：3x－y+1=0上求一点P，使点P到两点A（1，―1），B（2，0）的距离相等，则点的坐标为 ． 19.若动点分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值是 ． 20．函数的最小值为 . 21．已知直线，试求： （1）与直线的距离为的直线的方程； （2）点关于直线的对称点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$