1.1.5两条直线的交点坐标讲义-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

授课主题 1.1.5两条直线的交点坐标 知 识 梳 理 一、直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 二、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 例题讲解 考点一 相交直线的交点 例1、直线与直线的交点坐标是(    ) A．(2,0) B．(2,1) C．(0,2) D．(1,2) 例2、若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为(    ) A． B． C． D． 例3、若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为(    ) A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 例4、判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标： （1）；（2）；（3）． 例3、是否存在实数a，使三条直线，，能围成一个三角形？请说明理由． 考点二 直线系过定点 例1、直线恒过定点(   ) A． B． C． D． 例2、求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程． 举一反三 1．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是(    )． A． B． C． D． 2．若直线与直线的交点在直线上，则实数(    ) A．4 B．2 C． D． 3．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4．直线()必过点 . 5．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为( ) A．2 B．4 C．8 D．6 6.判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： （1）1：2x+y+3=0，2：x―2y―1=0； （2）1：x+y+2=0，2：2x+2y+3=0； （3）1：x―y+1=0；2：2x―2y+2=0． 7.直线5x+4y―2m―1=0与直线2x+3y―m=0的交点在第四象限，求m的取值范围． 8.求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标． 课 后 作 业 1．过两直线的交点，且与直线垂直的直线方程为(    ) A． B． C． D． 2．经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为(    ) A． B． C． D． 3．直线3x―(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k―3)y+2=0相交，则实数k的值为（ ） A．k≠1或k≠9 B．k≠1或k≠－9 C．k≠1且k≠9 D．k≠1且k≠－9 4．斜率为1的直线与两直线2x+y―1=0和x+2y―2=0分别交于A、B两点，则线段AB的中点坐标满足方程（ ）． A．x―y+1=0 B．x+y―1=0 C．x―2y+3=0 D．x―2y―3=0 5．若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是(   ) A． B． C． D． 6．直线与直线相交，则实数k的值为(    ) A．或 B．或 C．或 D．且 7．直线x+2y―2=0与直线2x+y―3=0的交点坐标为（ ） A．（4，1） B．（1，4） C． D． 8．(多选)已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值为(    ) A． B． C． D．6 9．若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 10．若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 11.直线ax+3y―12=0与直线4x―y+b=0垂直，且相交于点P（4，m），则b=________． 12.斜率为1的直线与两直线2x+y―1=0和x+2y―2=0分别交于A、B两点，则线段AB的中点坐标满足方程（ ）． A．x―y+1=0 B．x+y―1=0 C．x―2y+3=0 D．x―2y―3=0 13．无论m、n取何实数，直线(3m―n)x+(m+2n)y―n=0都过一定点P，则P点坐标为（ ） A．（―1，3） B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 1.1.5两条直线的交点坐标 知 识 梳 理 一、直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 二、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 例题讲解 考点一 相交直线的交点 例1、直线与直线的交点坐标是(    ) A．(2,0) B．(2,1) C．(0,2) D．(1,2) 【答案】C 【解析】解方程组得，即直线与直线的交点坐标是(0,2)． 故选：C. 例2、若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若直线与直线平行或重合，则，解得， 若直线与直线相交，可得且，则有： 联立方程，解得，即交点坐标， 由题意可得：，解得；综上所述：k的取值范围为.故选：C. 例3、若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为(    ) A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或.故选：C. 例4、判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标： （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）；（2）重合；（3）平行． 【解析】（1）解方程组得该方程组有唯一解，所以两直线相交，且交点坐标为． （2）解方程组 ②×6得2x－6y+3=0， 因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合． （3）解方程组 ②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行． 例3、是否存在实数a，使三条直线，，能围成一个三角形？请说明理由． 【答案】a≠1且a≠－1且a≠―2 【解析】（1）当时，，即a=±1． （2）当时，―a=―1，即a=1． （3）当时，，即a=1． （4）当与、相交于同一点时，由得交点（―1―a，1），将其代入ax+y+1=0中，得a=―2或a=1． 故当a≠1且a≠－1且a≠―2时，这三条直线能围成一个三角形． 考点二 直线系过定点 例1、直线恒过定点(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将化为， 联立，得， 即直线过定点． 故选：C 例2、求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程． 【答案】15x+5y+16=0 【解析】 解法一：设所求的直线为，由方程组得．∵直线和直线3x+y―1=0平行， ∴直线的斜率k=―3．∴根据点斜式有， 即所求直线方程为15x+5y+16=0． 解法二：∵直线过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线的方程为2x―3y―3+(x+y+2)=0， 即(+2)x+(―3)y+2―3=0． ∵直线与直线3x+y－1=0平行，∴，解得． 从而所求直线方程为15x+5y+16=0． 举一反三 1．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是(    )． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ；故选：B. 2．若直线与直线的交点在直线上，则实数(    ) A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】解方程组，得直线与直线的交点， 依题意，，解得，所以实数.故选：A 3．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立方程组，解得， 因为直线与直线的交点在第一象限， 所以，解得，所以，即实数的取值范围是. 故选：A 4．直线()必过点 . 【答案】 【解析】直线方程()可化为，()， ∴由，解得，∴直线()必过定点. 故答案为：. 5．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为( ) A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】B 【解析】已知直线整理得：，直线恒过定点，即. 点也在直线上，所以，整理得：， 由于，均为正数，则, 取等号时，即，故选：B. 6.判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： （1）1：2x+y+3=0，2：x―2y―1=0； （2）1：x+y+2=0，2：2x+2y+3=0； （3）1：x―y+1=0；2：2x―2y+2=0． 【答案】（1）直线1与2相交，交点坐标为（―1，―1）． （2）直线1与2无公共点，即1∥2． （3）两直线重合． 7.直线5x+4y―2m―1=0与直线2x+3y―m=0的交点在第四象限，求m的取值范围． 【答案】 【解析】解得 所以，解得． 8.求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标． 证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0． 解方程组，得两直线的交点为（2，―3）． 将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0． 这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）． 证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3 y+11)=0． 由于m取值的任意性，有，解得． 所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）． 课 后 作 业 1．过两直线的交点，且与直线垂直的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得，得直线的交点为点． 因为所求直线与直线垂直，故所求直线的斜率， 因此，所求直线的方程为，即． 故选：C . 2．经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立，解得，即交点为， 因为直线的斜率为，所以，所求直线的方程为，即．故选：B． 3．直线3x―(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k―3)y+2=0相交，则实数k的值为（ ） A．k≠1或k≠9 B．k≠1或k≠－9 C．k≠1且k≠9 D．k≠1且k≠－9 【答案】D 【解析】 不平行就相交，∴，∴k≠1且k≠―9． 4．斜率为1的直线与两直线2x+y―1=0和x+2y―2=0分别交于A、B两点，则线段AB的中点坐标满足方程（ ）． A．x―y+1=0 B．x+y―1=0 C．x―2y+3=0 D．x―2y―3=0 【答案】B 【解析】 特殊值代入，设斜率为1的直线为y=x，则它与2x+y―1=0的交点为， 与x+2y―2=0的交点为，代入得B． 5．若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由方程组，解得，即两直线的交点坐标为， 因为两直线的交点位于第四象限，可得且，解得， 即实数的取值范围为.故选：D. 6．直线与直线相交，则实数k的值为(    ) A．或 B．或 C．或 D．且 【答案】D 【解析】因直线与直线相交，则， 即，解得且，所以实数k的值为且.故选：D 7．直线x+2y―2=0与直线2x+y―3=0的交点坐标为（ ） A．（4，1） B．（1，4） C． D． 【答案】C 8．(多选)已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值为(    ) A． B． C． D．6 【答案】ACD 【解析】由于三条直线，，不能构成三角形， 则直线存在以下三种情况；①当与平行时，则，解得； ②当与平行时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得，代入解得．故选：ACD 9．若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 【答案】4 【解析】若方程组有无穷多组解，即两条直线重合,即, 则故答案为：4 10．若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 【答案】或1 【解析】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点，若与垂直，则； 若与垂直，则．所以或1．故答案为：或1 11.直线ax+3y―12=0与直线4x―y+b=0垂直，且相交于点P（4，m），则b=________． 【答案】-13 【解析】 由两条直线垂直可知a·4+3×(―1)=0，∴，将点（4，m）的坐标代入直线方程，得m=3．将点（4，3）的坐标代入直线方程4x―y+b=0，得b=-13． 12.斜率为1的直线与两直线2x+y―1=0和x+2y―2=0分别交于A、B两点，则线段AB的中点坐标满足方程（ ）． A．x―y+1=0 B．x+y―1=0 C．x―2y+3=0 D．x―2y―3=0 【答案】B 【解析】 特殊值代入，设斜率为1的直线为y=x，则它与2x+y―1=0的交点为， 与x+2y―2=0的交点为，代入得B． 13．无论m、n取何实数，直线(3m―n)x+(m+2n)y―n=0都过一定点P，则P点坐标为（ ） A．（―1，3） B． C． D． 【答案】D 【解析】方程可化为m(3x+y)+n(―x+2y―1)=0，它必过3x+y=0与―x+2y―1=0的交点，故选D． 学科网（北京）股份有限公司 $$