1.1.4两条直线的平行与垂直讲义-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

授课主题 1.1.4两条直线的平行与垂直 知 识 梳 理 一、两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即. 因此，若，则. 反之，若，则. 注意： 1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则. 二、两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为.若，则. 注意： 1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 例题讲解 考点一 两条直线平行与垂直的判定 例1、判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)平行，理由见解析； (2)平行，理由见解析； (3)不平行，理由见解析； (4)平行，理由见解析； 【解析】(1)由题意得，两直线斜率，所以两直线平行， 又两直线在y轴上截距分别为1和3，所以两直线不重合， 所以直线平行. (2)直线变形可得，直线变形可得， 所以两直线斜率，所以两直线平行， 又两直线在y轴上截距分别为和，所以两直线不重合， 所以直线平行. (3)直线变形可得，直线变形可得， 两直线斜率，所以两直线不平行. (4)直线变形可得，为横线，斜率， 直线变形可得，为横线，斜率，所以两直线平行， 因为，所以不重合，所以直线平行. 例2、已知经过A（―3，3），B（―8，6），经过，，求证：． 【解析】 直线的斜率为， 直线的斜率为， ∵k1=k2，∴． 例3、已知ABCD的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（4，3），求顶点D的坐标． 【答案】 （3，4） 【解析】 解法1：设D（m，n），线段AC的中点为E（2，2），所以线段BD的中点为E（2，2），则 ，解得m=3，n=4，所以D（3，4）． 解法2：设D（m，n），由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB=kDC，kAD=kBC， 所以，解得m=3，n=4，所以D（3，4）． 例4、判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)经过点经过点； (2)经过点经过点． （3）经过点A（―1，―2），B（1，2），经过点M（―2，―1），N（2，1）； （4）的斜率为―10，经过点A（10，2），B（20，3）； 【答案】(1)不垂直；(2)垂直；（3）不垂直；（4）垂直 【解析】(1)由题知直线，的斜率存在，分别设为， ，，，∴与不垂直． (2)由题意知的倾斜角为90°，则轴；由题知直线的斜率存在，设为， ，则轴，∴． （3），，k1k2=1，∴与不垂直； （4）k1=－10，，k1k2=－1，∴⊥； 例5、已知定点A（―1，3），B（4，2），以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于点C，求交点C的坐标． 【答案】（1，0）或（2，0） 【解析】 本题中有三个点A，B，C，由于AB为直径，C为圆上的点，所以∠ACB=90°，因此，必有kAC·kBC=―1．列出方程，求解即可． 以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥CB．设C（x，0），MJ ，．∴，去分母解得x=1或2． ∴C（1，0）或C（2，0）． 考点二 直线平行与垂直的综合应用 例1、已知直线：，：，其中，则“”是“”的(    ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】直线：，：，由，得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：C 例2、已知两条直线：，：，若，则(    ) A．-1或0或3 B．-1或3 C．0或3 D．-1或0 【答案】D 【解析】：，：， 若，则，即 ，解得：或或， 当时，：，：，则； 当时，：，：，则； 当时，：，：，则与重合，舍去；故选：D. 例3、顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是( ) A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【答案】B 【解析】，，则， 所以,与不平行， 因此故构成的图形为直角梯形.故选：B. 例4、已知三点共线，则的值为 . 【答案】 【解析】因为三点共线，所以，所以，解得. 故答案为：. 举一反三 1．直线和直线的位置关系是(    ) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 【答案】B 【解析】方程可化为，因此该直线的斜率. 方程可化为，因此该直线的斜率， 因为，所以这两条直线相交但不垂直.故选：B. 2.已知直线：(k―3)x+(4―k)y+1=0与：2(k―3)x―2y+3=0平行，则k的值是________． 【答案】3或5． 【解析】当k=3时两条直线平行， 当k≠3时有 所以k=5 故答案为：3或5． 3.若直线与直线互相垂直，则实数= ． 【答案】1 【解析】 因为直线与直线互相垂直，所以，所以． 4.已知点A（a，a）（a≠0），B（1，0），O为坐标原点．若点C在直线OA上，且BC与OA垂直，则点C的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设C（x，y），因为点C在直线OA上，且BC与OA垂直， 所以，解得； 故选：D 5.判断下列各小题中的直线与是否平行． （1）经过点A（―1，―2），B（2，1），经过点M（3，4），N（―1，―1）； （2）的斜率为1，经过点A（1，1），B（2，2）； （3）经过点A（0，1），B（1，0），经过点M（―1，3），N（2，0） （4）经过点A（―3，2），B（―3，10），经过点M（5，―2），N（5，5）． 【解析】 （1），，∵k1≠k2，∴与不平行． （2）k1=1，， ∵k1=k2，∴∥或与重合． （3），， ∵k1=k2，∴∥． （4）∵与都与x轴垂直，∴∥． 6．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)垂直(2)垂直(3)不垂直(4)垂直 【解析】(1)，两直线垂直． (2)，两直线垂直； (3)，不垂直； (4)斜率为0，斜率不存在，两直线垂直． 7．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)平行，理由见解析(2)平行，理由见解析(3)平行，理由见解析 【解析】(1)解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、， 则由、的方程可知，且，所以． (2)解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、． 因为、的方程分别可化为，， 所以，且，所以． (3) 解：由、的方程可知，轴，轴，且两条直线、在轴上的截距不相同，所以． 8．已知两条直线，，则是的(    ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，，，，所以； 当时，可得，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：A. 9．已知命题：直线与平行，命题，则是的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】直线与平行，则 ，解得或，所以命题等价于或，命题． 则由命题不能得到命题，但由命题可得到命题，则是的充分不必要条件． 故选：A． 10．(多选)以为顶点的三角形，下列结论正确的有(    ) A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【解析】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 11．在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 【答案】矩形 【解析】由斜率公式，得，，， ，，.∴，，∴，， ∴四边形为平行四边形.又，∴.又，∴与不垂直， ∴四边形为矩形. 课 后 作 业 1．若直线，的倾斜角分别为，，且⊥，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 方法一：特殊值法，令，． 方法二：如图，可得， ① ， ② ②－①，得．若与变换位置，则有． 2．直线与直线互相垂直，那么a的值为（ ） A．1 B． C． D．―2 【答案】D 【解析】 ∵两直线垂直，∴，∴a=―2． 3．已知直线：x+2ay―1=0，与：(2a―1)x―ay－1=0平行，则a的值是（ ） A．0或1 B．1或 C．0或 D． 【答案】C 【解析】当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=－1，显然两直线是平行的． 当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等， 由，解得：．综上，a=0或，故选：C． 4．已知点A（―1，3），B（3，1），点C在x轴上，且∠ACB=90°，则满足条件的点C的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B 【解析】 设C（x，0），则有，即3+(x―3)·(x+1)=0．整理，得x2―2x=0，∴x=0或x=2． 5．已知常数，直线：，：，则是的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为直线：，：， 当时，解得，所以是的充分不必要条件.故选：A 6．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则(    ) A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】设直线的斜率为，直线的斜率为，由直线得出斜率， 因为直线与直线垂直，所以，即，解得，即， 所以，故选：B． 7．若直线：ax+2y+6=0与直线：垂直，则a=（ ） A．2 B． C．1 D．―2 【答案】B 【解析】直线：ax+2y+6=0，：，且⊥， ∴a·1+2(a－1)=0；解得：．故选：B． 8．(多选)已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是(    ) A．的一个方向向量为 B．的一个法向量为 C．与直线平行 D．与直线垂直 【答案】ACD 【解析】直线的倾斜角等于，则直线的斜率为， 对于A，因为直线的斜率为，则的一个方向向量为，A正确； 对于B，，法向量与直线不垂直，B错； 对于C，直线的斜率为，且不过，C正确； 对于D，直线的斜率为，则斜率之积为，故两直线垂直，D正确.故选：ACD 9．(多选)下列说法中，正确的有(    ) A．斜率均不存在的两条直线可能重合 B．若直线，则这两条直线的斜率的乘积为 C．若两条直线的斜率的乘积为，则这两条直线垂直 D．两条直线，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则 【答案】ACD 【解析】对于A，若，则斜率均不存在，但两者重合，故A正确； 对于BD，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则这两条直线互相垂直，但此时乘积不为，故B错误；D正确； 对于C，根据直线垂直的性质可知，两直线的斜率存在，且乘积为时，这两条直线垂直，故C正确. 故选：ACD. 10． 若直线mx+4y―2=0与2x―5y+n=0互相垂直，垂足为（1，p），则m―n+p=________． 【答案】20 【解析】因为直线：mx+4y―2=0与：2x―5y+n=0互相垂直则 m×2－4×5=0 解之得：m=10 又因 两直线垂足为P（1，p），则 10+4p―2=0 解得：p=―2 将P（1，―2）代入直线：2x－5y+n=0，则2+5×2+n=0，解之得：n=―12 所以 m―n+p=10―(―12)+(―2)=20，故答案为：20 11．若直线经过点和且与经过点（-2，1），斜率为的直线垂直，则实数的值为_______． 【答案】 【解析】由于直线l与经过点（-2，1）且斜率为的直线垂直，可知． ∵ ，∴ ，∴ ． 12.已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 【答案】矩形 【解析】，且不在直线上，. 又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又. 平行四边形为矩形. 故答案为：矩形. 13．已知直线与直线垂直，若直线的倾斜角为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为，所以， 所以. 故选：D. 14．(多选)已知直线，则(    ) A．若，则的一个方向向量为 B．若，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 【答案】ACD 【解析】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确； 对B，若，当时，显然不合题意，则，则直线的斜率， 直线的斜率，则有，即，解得或， 当时，此时直线，显然两条直线重合，故B错误； 对C，若，当时，显然不合题意，则，则， 即，解得，故C正确； 对D，若不经过第二象限，，化简得，则，解得，故D正确； 故选：ACD. 15．已知A（1，―1），B（2，2），C（3，0），求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD． 【答案】（0，1） 【解析】设点D的坐标为（x，y），由已知得，直线AB的斜率kAB=3， 直线CD的斜率，直线CB的斜率kCB=―2，直线AD的斜率． 由CD⊥AB，且CB∥AD，得， 所以点D的坐标是（0，1） 16．已知，，. (1)若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在(1)的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】(1)(-1，6)或(7，2)或(3，-2)；(2)平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 【解析】(1)由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为(-1，6)或(7，2)或(3，-2). (2)若的坐标为(-1，6)， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为(7，2)， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为(3，-2)，因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 1.1.4两条直线的平行与垂直 知 识 梳 理 一、两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即. 因此，若，则. 反之，若，则. 注意： 1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则. 二、两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为.若，则. 注意： 1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 例题讲解 考点一 两条直线平行与垂直的判定 例1、判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 例2、已知经过A（―3，3），B（―8，6），经过，，求证：． 例3、已知ABCD的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（4，3），求顶点D的坐标． 例4、判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)经过点经过点； (2)经过点经过点． （3）经过点A（―1，―2），B（1，2），经过点M（―2，―1），N（2，1）； （4）的斜率为―10，经过点A（10，2），B（20，3）； 例5、已知定点A（―1，3），B（4，2），以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于点C，求交点C的坐标． 考点二 直线平行与垂直的综合应用 例1、已知直线：，：，其中，则“”是“”的(    ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 例2、已知两条直线：，：，若，则(    ) A．-1或0或3 B．-1或3 C．0或3 D．-1或0 例3、顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是( ) A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 例4、已知三点共线，则的值为 . 举一反三 1．直线和直线的位置关系是(    ) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 2.已知直线：(k―3)x+(4―k)y+1=0与：2(k―3)x―2y+3=0平行，则k的值是________． 3.若直线与直线互相垂直，则实数= ． 4.已知点A（a，a）（a≠0），B（1，0），O为坐标原点．若点C在直线OA上，且BC与OA垂直，则点C的坐标是（ ） A． B． C． D． 5.判断下列各小题中的直线与是否平行． （1）经过点A（―1，―2），B（2，1），经过点M（3，4），N（―1，―1）； （2）的斜率为1，经过点A（1，1），B（2，2）； （3）经过点A（0，1），B（1，0），经过点M（―1，3），N（2，0） （4）经过点A（―3，2），B（―3，10），经过点M（5，―2），N（5，5）． 6．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 7．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 8．已知两条直线，，则是的(    ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知命题：直线与平行，命题，则是的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．(多选)以为顶点的三角形，下列结论正确的有(    ) A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 11．在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 课 后 作 业 1．若直线，的倾斜角分别为，，且⊥，则（ ） A． B． C． D． 2．直线与直线互相垂直，那么a的值为（ ） A．1 B． C． D．―2 3．已知直线：x+2ay―1=0，与：(2a―1)x―ay－1=0平行，则a的值是（ ） A．0或1 B．1或 C．0或 D． 4．已知点A（―1，3），B（3，1），点C在x轴上，且∠ACB=90°，则满足条件的点C的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知常数，直线：，：，则是的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则(    ) A． B．2 C． D． 7．若直线：ax+2y+6=0与直线：垂直，则a=（ ） A．2 B． C．1 D．―2 8．(多选)已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是(    ) A．的一个方向向量为 B．的一个法向量为 C．与直线平行 D．与直线垂直 9．(多选)下列说法中，正确的有(    ) A．斜率均不存在的两条直线可能重合 B．若直线，则这两条直线的斜率的乘积为 C．若两条直线的斜率的乘积为，则这两条直线垂直 D．两条直线，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则 10． 若直线mx+4y―2=0与2x―5y+n=0互相垂直，垂足为（1，p），则m―n+p=________． 11．若直线经过点和且与经过点（-2，1），斜率为的直线垂直，则实数的值为_______． 12.已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 13．已知直线与直线垂直，若直线的倾斜角为，则(    ) A． B． C． D． 14．(多选)已知直线，则(    ) A．若，则的一个方向向量为 B．若，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 15．已知A（1，―1），B（2，2），C（3，0），求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD． 16．已知，，. (1)若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在(1)的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $$