1.1.3直线的方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

授课主题 1.1.3直线的方程 知 识 梳 理 一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 注意： 1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为； 3.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:. 4.表示直线去掉一个点；表示一条直线. 二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 注意：1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到； 3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式. 4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距. 三：直线的两点式方程 经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式. 注意：1.这个方程由直线上两点确定； 2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程. 3.直线方程的的表示与选择的顺序无关. 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 四：直线的截距式方程 若直线与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距. 注意：1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线及不能表示与坐标轴平行的直线. 2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距. 3．截距相等问题中，勿忽略a=b=0即直线过原点时的情况． 五：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式． 注意：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. 当B≠0时，方程③可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当B=0，A≠0时，方程③可变形为Ax+C=0，即，它表示一条与x轴垂直的直线． 由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线． 2． 在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是，还可以是4x―2y+2=0等．） 六：直线方程的点法式 已知直线经过点P，且它的一个法向量，则直线的方程 七：直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表： 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y―y1=k(x―x1) （x1，y1）是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴 斜截式 y=kx+b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴 两点式 （x1，y1），（x2，y2）是直线上两定点 不垂直于x轴和y轴 截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax+By+C=0（A2+B2≠0） A、B、C为系数 任何位置的直线 注意：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 八：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 例题讲解 考点一 直线的点斜式方程 例1、已知直线l经过点P且倾斜角为α，求直线l的点斜式方程． (1)P(2，3)，；(2)P(-2，-1)，；(3)P(-5，-1)，． 例2、求满足下列条件的直线方程。 （1）过点P（－4，3），斜率k=－3； （2）过点A（－1，4），倾斜角为135°； （3）过点P（3，－4），且与x轴平行； （4）过点P（5，－2），且与y轴平行． 例3、已知直线过点（1，0），且与直线的夹角为30°，求直线的方程。 考点二 直线的斜截式方程 例1、根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 例2、（1）写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式； （2）求过点A（6，－4），斜率为的直线方程的斜截式； （3）已知直线方程为2x+y－1=0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标． 考点三 直线的两点式方程 例1、已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程： (1)A(3, 1), B(2, －3)； (2)A(2, 1), B(0, －3)； (3)A(0, 5), B(4, 0). 例2、三角形的顶点坐标分别为A（―5，0），B（3，―3），C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。 考点四 直线的截距式方程 例1、根据下列条件，求直线的方程. (1)过点，且在两坐标轴上的截距之和为2； (2)过点，且在两坐标轴上的截距之差为2． 例2、求过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线的方程． 例3、直线过点（―3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程． 例4、求过点P（2，－1），在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且满足a=3b的直线方程。 考点五 直线的一般式方程 例1、根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是，且经过点； (2)在轴和轴上的截距分别是和； (3)经过点，； (4)经过点，且一个方向向量为． 例2、的一个顶点为，、 的平分线在直线和上，求直线BC的方程. 例3、已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），求BC边上的中线所在的直线方程． 考点六 含参直线过定点 例1、直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为(    ) A． B． C． D． 例2、如果且，那么直线不通过(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例3、已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．    (1)若的面积为4，求直线l的方程； (2)求的最小值，并求此时直线l的方程； (3)求的最小值，并求此时直线l的方程． 例4、过点P(2，1)作直线与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程. 举一反三 1．过点且斜率为3的直线方程为(    ) A． B． C． D． 2．过点且倾斜角为150°的直线l的方程为(    ) A． B． C． D． 3．过点且与直线垂直的直线方程为(    ) A． B． C． D． 4.根据条件写出下列各题中的直线方程： （1）经过点A（1，2），斜率为2； （2）经过点B（1，4），倾斜角为135°； （3）经过点C（4，2），倾斜角为90°； （4）经过点D（―3，―2），且与x轴平行。 5.（1）直线y=x+1绕着其上一点P（3，4）逆时针旋转90°后得直线，求直线的点斜式方程； （2）直线过点P（2，－3），且与过点M（－1，2），N（5，2）的直线垂直，求直线的方程． 6. 直线过点P（－l，2），斜率为，把绕点P按顺时针方向旋转30°得直线，求直线和的方程． 7．直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 . 8．直线y=kx+b（k+b=0，k≠0）的图象是（ ） 9.(1)写出倾斜角是，在轴上的截距是-2直线的斜截式方程； （2）写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点（1，1）？ 10．写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是，在轴上的截距是； (2)倾斜角为，在轴上的截距是； (3)倾斜角为，在轴上的截距是． 11．过点和的直线的方程为(    ) A． B． C． D． 12．直线l过点，则直线l的方程为(    ) A． B． C． D． 13．过两点，的直线在轴上的截距为(    ) A． B． C． D． 14.（1）若直线经过点A（2，5），B（2，7），则直线的方程为________； （2）若点P（3，m）在过点A（2，―1），B（―3，4）的直线上，则m的值为________． （3）求过A(-2，-3)，B(-5，-6)两点直线的两点式方程； （4）直线过（－1，－1）、（2，5）两点，点（1002，b）在上，则b的值为________． 15．已知△ABC三个顶点坐标A（2，－1），B（2，2），C（4，1），求三角形三条边所在的直线方程． 16．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是(    ) A． B． C． D．或 17．过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是 . 18. 根据条件求下列各题中直线的截距式方程： （1）在x轴上的截距为－3，在y轴上的截距为2； （2）在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为－4． 19.直线过点（―3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程． 20.求过点（4，―3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程。 21．(1)已知过点(1，－1)的直线在轴上的截距比在轴上的截距大，求此直线的方程； (2)求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程. 22.下列四个命题中真命题是( ) A.经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示； B.经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示； C.不经过原点的直线都可以用方程+＝1表示； D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示. 23.已知倾斜角为45°的直线过点A（1，－2）和点B，B在第一象限，，求点B的坐标． 24.根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： （1）斜率为，且经过点A（5，3）； （2）过点B（―3，0），且垂直于x轴； （3）斜率为4，在y轴上的截距为―2； （4）在y轴上的截距为3，且平行于x轴； （5）经过C（―1，5），D（2，―1）两点； （6）在x，y轴上的截距分别是―3，―1． 25．根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)过点，斜率为； (2)过点，与x轴垂直； (3)斜率为，在y轴上的截距为7； (4)斜率为3，在x轴上的截距为； (5)过点，； (6)过点，． 26．△ABC的三个顶点分别为A(0,4)、B(－2,6)、C(－8,0). (1)分别求边AC和AB所在直线的方程； (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程； (3)求AC边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程． 27．不论m取何值，直线都过定点(    ) A． B． C． D． 28．已知直线方程：，若不经过第二象限，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 课 后 作 业 1．直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．过点且斜率为的直线的方程是(　　) A． B． C． D． 3．若，，则直线不经过第象限(    ) A．一 B．二 C．三 D．四 4．直线过点且与直线垂直，则的方程是(    ) A． B． C． D． 5．直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，而且它的斜率是直线的斜率的相反数，则(    ) A．， B．， C．， D．， 6．直线与连接的线段相交，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 7．过点，且与原点距离最远的直线方程为(    ) A． B． C． D． 8．直线恒过定点(    ) A． B． C． D． 9．设是轴上两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程为（ ）． A. x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0 10．(多选)若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是(    ) A． B． C． D． 11．(多选)下列说法正确的有(    )． A．直线过定点 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为 12． 将直线绕点（2，0）按顺时针方向旋转30°，则所得直线方程为________． 13．将直线绕它上面一点沿逆时针方向旋转，所得到的直线方程是 ． 14.过点(5，0)，且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程是 . 15．求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程 ． 16．已知实数满足，则直线过定点 . 17．直线过点，当原点到直线的距离最大时，直线的方程为 . 18．直线与直线分别相交于两点，且线段的中点为，求直线的方程． 19．直线l过点P(，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点. (1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程. 20．已知直线l的方程为． (1)求证：不论m为何实数，直线l必过定点； (2)若过该定点的直线l分别与x、y轴的负半轴交于A、B两点，求的面积最小时直线l的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 1.1.3直线的方程 知 识 梳 理 一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 注意： 1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为； 3.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:. 4.表示直线去掉一个点；表示一条直线. 二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 注意：1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到； 3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式. 4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距. 三：直线的两点式方程 经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式. 注意：1.这个方程由直线上两点确定； 2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程. 3.直线方程的的表示与选择的顺序无关. 4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 四：直线的截距式方程 若直线与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距. 注意：1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线及不能表示与坐标轴平行的直线. 2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距. 3．截距相等问题中，勿忽略a=b=0即直线过原点时的情况． 五：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式． 注意：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. 当B≠0时，方程③可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当B=0，A≠0时，方程③可变形为Ax+C=0，即，它表示一条与x轴垂直的直线． 由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线． 2． 在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是，还可以是4x―2y+2=0等．） 六：直线方程的点法式 已知直线经过点P，且它的一个法向量，则直线的方程 七：直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表： 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y―y1=k(x―x1) （x1，y1）是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴 斜截式 y=kx+b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴 两点式 （x1，y1），（x2，y2）是直线上两定点 不垂直于x轴和y轴 截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax+By+C=0（A2+B2≠0） A、B、C为系数 任何位置的直线 注意：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 八：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 例题讲解 考点一 直线的点斜式方程 例1、已知直线l经过点P且倾斜角为α，求直线l的点斜式方程． (1)P(2，3)，；(2)P(-2，-1)，；(3)P(-5，-1)，． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】(1)直线倾斜角，则直线斜率，直线l经过点，直线l的点斜式方程为. (2)直线倾斜角，则直线斜率，直线l经过点，直线l的点斜式方程为. (3)直线倾斜角，直线斜率不存在，直线l经过点，直线l的方程为. 例2、求满足下列条件的直线方程。 （1）过点P（－4，3），斜率k=－3； （2）过点A（－1，4），倾斜角为135°； （3）过点P（3，－4），且与x轴平行； （4）过点P（5，－2），且与y轴平行． 【答案】（1）3x+y+9=0（2）x+y－3=0（3）y=－4（4）x=5 【解析】（1）∵直线过点P（－4，3），斜率k=－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3=－3(x+4)，即3x+y+9=0． （2）∵倾斜角为135°，∴k=tan 135°=－1，∴直线方程为y－4=－(x+1)，即x+y－3=0． （3）与x轴平行的直线，其斜率k=0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)=0×(x－3)，即y=－4。 （4）与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x=5。 例3、已知直线过点（1，0），且与直线的夹角为30°，求直线的方程。 【答案】x=1或 【解析】 ∵直线的斜率为，∴其倾斜角为，且过点（1，0） 又直线与直线的夹角为30°，且过点（1，0）， 由下图可知，直线的倾斜角为30°或90°。 故直线的方程为x=1或。 考点二 直线的斜截式方程 例1、根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1)y＝2x＋5(2)y＝－x－2(3)y＝x＋3或y＝x－3 【解析】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5. （2） 由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－， 故所求直线的斜截式方程为y＝－x－2. (3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝． 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， 故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3. 例2、（1）写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式； （2）求过点A（6，－4），斜率为的直线方程的斜截式； （3）已知直线方程为2x+y－1=0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标． 【答案】（1）y=－x－2（2）（3）k=－2，b=1，（0，1） 【解析】 （1）易知k=－1，b=－2，由直线方程的斜截式知，所求直线方程为y=－x－2． （2）由于直线的斜率，且过点A（6，－4），根据直线方程的点斜式得直线方程为， 化为斜截式为． （3）直线方程2x+y－1=0，可化为y=－2x+1，由直线方程的斜截式知，直线的斜率k=－2，在y轴上的截距b=1，直线与y轴交点的坐标为（0，1）。 考点三 直线的两点式方程 例1、已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程： (1)A(3, 1), B(2, －3)； (2)A(2, 1), B(0, －3)； (3)A(0, 5), B(4, 0). 【答案】(1)； (2)； (3). 【解析】(1)直线的两点式方程为. (2)直线的两点式方程为. (3)直线的两点式方程为. 例2、三角形的顶点坐标分别为A（―5，0），B（3，―3），C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。 【答案】3x+8y+15=0，5x+3y―6=0，2x―5y+10=0 【解析】 ∵直线AB过点A（―5，0），B（3，―3），∴由两点式得。 化简整理得3x+8y+15=0，这就是直线AB的方程。 同理可得直线BC的方程为5x+3y―6=0，直线AC的方程为2x―5y+10=0。 考点四 直线的截距式方程 例1、根据下列条件，求直线的方程. (1)过点，且在两坐标轴上的截距之和为2； (2)过点，且在两坐标轴上的截距之差为2． 【答案】(1)(2)或 【解析】(1)因为直线在轴上的截距为5，则在轴上的截距为. 则直线为. (2)因为直线在轴上的截距为5，则在轴上的截距为或. 则直线为或. 所以直线为或 例2、求过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线的方程． 【答案】或． 【解析】由题意知直线不过原点，且在两坐标轴上的截距都存在， 设其方程为．由题意得，即或， 对于方程组，该方程组无解；对于方程组，解得或 ∴直线的方程为或． 例3、直线过点（―3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程． 【答案】x+3y－9=0或4x－y+16=0 【解析】 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不为零，故可设为截距式直线方程． 设直线的方程为，则a+b=12． ① 又直线过点（－3，4），∴． ② 由①②解得或。 故所求的直线方程为或， 即x+3y－9=0或4x－y+16=0． 例4、求过点P（2，－1），在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且满足a=3b的直线方程。 【答案】x+3y+1=0或 【解析】 若a=3b≠0，设所求直线的方程为，即。 又∵直线过点P（2，－1），∴，解得。 故所求直线方程为，即x+3y+1=0。 若a=3b=0，则所求直线过原点，可设方程为y=kx。 ∵该直线过点P（2，－1），∴－1=2k，。故所求直线方程为。 综上所述，所求直线的方程为x+3y+1=0或。 考点五 直线的一般式方程 例1、根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是，且经过点； (2)在轴和轴上的截距分别是和； (3)经过点，； (4)经过点，且一个方向向量为． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】(1)根据点斜式可得直线方程为：，化简可得； (2)根据截距式可得：，化简可得； (3)根据两点式可得：，整理可得； (4)由直线的方向向量为可得直线的斜率， 所以所求直线方程为即. 例2、的一个顶点为，、 的平分线在直线和上，求直线BC的方程. 【答案】 【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 ，所以可得A点关于的平分线的对称点在BC上，B点关于的平分线 的对称点也在BC上．写出直线的方程，即为直线BC的方程. 例3、已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），求BC边上的中线所在的直线方程． 【答案】x+13y+5=0 【解析】设BC的中点是M，则，∴BC边上的中线所在直线方程是，即x+13y+5=0． ∴BC边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0． 考点六 含参直线过定点 例1、直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把直线方程整理为， 令，故，所以直线恒过定点为.故选：C. 例2、如果且，那么直线不通过(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为，且，所以、、均不为零，由直线方程，可化为，因为，且，可得，，所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限．故选：C. 例3、已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．    (1)若的面积为4，求直线l的方程； (2)求的最小值，并求此时直线l的方程； (3)求的最小值，并求此时直线l的方程． 【答案】(1)；(2)，；(3)， 【解析】(1)设直线l：，由直线过可得，∴， 由可得.所以直线l的方程为，即. (2)设直线l：，则， ， 当且仅当时，即时取等号，此时直线方程. (3)设直线l：，∵三点共线，且，， 即，， ∴|， 当且仅当时，即时取等号，此时直线方程． 例4、过点P(2，1)作直线与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】x+2y-4=0 【解析】解法一：设直线的方程为:y-1=k(x-2)，令y=0，得:x=；令x=0，得y=1-2k， ∵与x轴、y轴的交点均在正半轴上，∴>0且1-2k>0故k<0， △AOB的面积 当且仅当-4k=-，即k=-时，S取最小值4，故所求方程为y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0. 解法二：设直线方程为，∴A(a，0)，B(0，b)，且a>0，b>0， ∵点P(2，1)在直线上，故，由均值不等式:1=当且仅当，即a=4，b=2时取等号，且S=ab=4，此时方程为即:x+2y-4=0. 举一反三 1．过点且斜率为3的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可得直线为，化简得，故选： 2．过点且倾斜角为150°的直线l的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，直线l的斜率，故直线l的方程为，即， 故选：B. 3．过点且与直线垂直的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】与直线垂直的直线的斜率， ∴所求的直线方程为，即为，故选：. 4.根据条件写出下列各题中的直线方程： （1）经过点A（1，2），斜率为2； （2）经过点B（1，4），倾斜角为135°； （3）经过点C（4，2），倾斜角为90°； （4）经过点D（―3，―2），且与x轴平行。 【答案】（1）y―2=2(x―1)； （2）y―4=―(x―1)； （3）x=4； （4）y=―2 5.（1）直线y=x+1绕着其上一点P（3，4）逆时针旋转90°后得直线，求直线的点斜式方程； （2）直线过点P（2，－3），且与过点M（－1，2），N（5，2）的直线垂直，求直线的方程． 【答案】（1）x+y－7=0（2）x=2 【解析】（1）直线y=x+1的斜率k=1，所以倾斜角为45°． 由题意知，直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率k＇=tan135°=－1． 又点P（3，4）在直线上，由点斜式方程知，直线的方程为y－4=－(x－3)，即x+y－7=0． （2）直线MN的斜率，所以该直线平行于x轴．又直线垂直于直线MN，因此直线的倾斜角为90°，又直线过点P（2，－3），所以直线的方程为x－2=0，即x=2． 6. 直线过点P（－l，2），斜率为，把绕点P按顺时针方向旋转30°得直线，求直线和的方程． 【答案】 【解析】 的方程可以由点斜式直接写出，经过点P，因此，关键是求出k2，利用数形结合的方法，找出的倾斜角是关键 直线的方程是． ∵，∴． 如图，绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线的倾斜角为，∴，∴的方程为． 7．直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 . 【答案】 【解析】设直线l的倾斜角为，则，则， 所以直线，故答案为：. 8．直线y=kx+b（k+b=0，k≠0）的图象是（ ） 【答案】B 【解析】因为k+b=0，所以直线一定过点（1，0），故C、D不满足题意舍去，又因为k=-b，所以直线的斜率和直线的截距互为相反数，故选B。 9.(1)写出倾斜角是，在轴上的截距是-2直线的斜截式方程； （2）写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点（1，1）？ 【答案】（1）（2）y=2x+m m=―1 【解析】 （1） （2）由直线方程的斜截式，得直线方程为y=2x+m。 ∵直线过点（1，1），将x=1，y=1代入方程y=2x+m得1=2×1+m，∴m=―1即为所求。 10．写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是，在轴上的截距是； (2)倾斜角为，在轴上的截距是； (3)倾斜角为，在轴上的截距是． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】(1) (2)因为，所以． (3)因为，所以． 11．过点和的直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵直线经过两点和，而这两个点恰是直线和坐标轴的交点， ∴由直线的截距式方程可得，即，故选：C. 12．直线l过点，则直线l的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则线l的方程为，整理得， 所以直线l的方程为.故选：D. 13．过两点，的直线在轴上的截距为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过两点，的直线的为，令，解得：，故选：A. 14.（1）若直线经过点A（2，5），B（2，7），则直线的方程为________； （2）若点P（3，m）在过点A（2，―1），B（―3，4）的直线上，则m的值为________． （3）求过A(-2，-3)，B(-5，-6)两点直线的两点式方程； （4）直线过（－1，－1）、（2，5）两点，点（1002，b）在上，则b的值为________． 【答案】（1）x=2 （2）―2 （3） （4）2005 【解析】（1）因为两点的横坐标相等都是2，所以直线方程是x=2。 （2）因为直线过点A（2，―1），B（―3，4），所以直线方程是：，即，把点P（3，m）代入得，。 （3）由两点式的直线方程得： （4）直线的方程为，即， 即y=2x+1． 令x=1002，得y=2005， ∴b=2005． 15．已知△ABC三个顶点坐标A（2，－1），B（2，2），C（4，1），求三角形三条边所在的直线方程． 【答案】x=2，x―y―3=0，x+2y―6=0 【解析】 ∵A（2，－1），B（2，2），A、B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x=2。 ∵A（2，－1），C（4，1），由直线方程的两点式可得AC的方程为，即x―y―3=0。 同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为，即x+2y－6=0。 ∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x=2，x―y―3=0，x+2y―6=0。 16．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是(    ) A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】设直线在x，y轴上的截距分别为，则，若，即直线过原点，设直线为， 代入，即，解得，故直线方程为；若，设直线为， 代入，即，解得，故直线方程为，即； 综上所述：直线方程为或.故选：D. 17．过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是 . 【答案】 【解析】设直线的方程为，则解得则直线的方程为+=1，即. 故答案为： 18. 根据条件求下列各题中直线的截距式方程： （1）在x轴上的截距为－3，在y轴上的截距为2； （2）在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为－4． 【答案】（1）（2） 19.直线过点（―3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程． 【答案】x+3y－9=0或4x－y+16=0 【解析】 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不为零，故可设为截距式直线方程．设直线的方程为，则a+b=12． ① 又直线过点（－3，4），∴． ② 由①②解得或。 故所求的直线方程为或，即x+3y－9=0或4x－y+16=0． 20.求过点（4，―3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程。 【答案】x+y=1 x―y=7 3x+4y=0 【解析】 解法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b。 （1）当a≠0，b≠0时，设的方程为。∵点（4，－3）在直线上，∴。 若a=b，则a=b=1，直线方程为x+y=1。若a=―b，则a=7，b=―7，此时直线方程为x―y=7。 （2）当a=b=0时，直线过原点，且过点（4，―3），∴直线的方程为3x+4y=0。 综上知，所求直线方程为x+y―1=0或x―y―7=0或3x+4y=0。 解法二：设直线的方程为y+3=k(x―4)，令x=0，得y=―4k―3；令y=0，得。 又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等。∴，解得k=1或k=－1或。 ∴所求的直线方程为x―y―7=0或x+y―1=0或3x+4y=0。 21．(1)已知过点(1，－1)的直线在轴上的截距比在轴上的截距大，求此直线的方程； (2)求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程. 【答案】(1)或；(2)或. 【解析】1)设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为， 由题意可知且，则此直线的方程为. 又此直线过点(1，－1)，所以，解得或， 故所求的直线方程为或，可化为或. (2)①当在轴、轴上的截距都是0时，设所求直线方程为， 将(－5，2)代入中，得，此时直线方程为，即； ②当在轴、轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为， 将(－5，2)代入中，得，此时直线方程为， 综上所述，所求直线方程为或. 22.下列四个命题中真命题是( ) A.经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示； B.经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示； C.不经过原点的直线都可以用方程+＝1表示； D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示. 【答案】B 23.已知倾斜角为45°的直线过点A（1，－2）和点B，B在第一象限，，求点B的坐标． 【答案】（4，1） 【解析】设B点坐标为，直线的方程为：，因为B在直线上，且，所以，解之得：或（舍去），所以B点坐标为（4，1）。 24.根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： （1）斜率为，且经过点A（5，3）； （2）过点B（―3，0），且垂直于x轴； （3）斜率为4，在y轴上的截距为―2； （4）在y轴上的截距为3，且平行于x轴； （5）经过C（―1，5），D（2，―1）两点； （6）在x，y轴上的截距分别是―3，―1． 【答案】（1）（2）x+3=0（3）4x―y―2=0（4）4x―y―2=0 （5）2x+y―3=0（6）x+3y+3=0 【解析】 （1）由点斜式方程得，整理得． （2）x=―3，即x+3=0． （3）y=4x―2，即4x―y―2=0． （4）y=3，即y―3=0． （5）由两点式方程得，整理得2x+y―3=0． （6）由截距式方程得，整理得x+3y+3=0． 25．根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)过点，斜率为； (2)过点，与x轴垂直； (3)斜率为，在y轴上的截距为7； (4)斜率为3，在x轴上的截距为； (5)过点，； (6)过点，． 【答案】(1)；(2)；(3)； (4)；(5)；(6). 【解析】(1)因为直线过点，斜率为，所以直线方程为：； (2)因为直线过点，与x轴垂直，所以直线方程为：； (3)因为直线的斜率为，在y轴上的截距为7，所以直线方程为：； (4)因为直线的斜率为3，所以设直线的方程为：，又因为直线在x轴上的截距为， 所以，所以直线的方程为：； (5)因为直线过点，，所以直线的方程为：； (6)因为直线过点，，所以直线方程为：. 26．△ABC的三个顶点分别为A(0,4)、B(－2,6)、C(－8,0). (1)分别求边AC和AB所在直线的方程； (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程； (3)求AC边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程． 【答案】(1)x－2y＋8＝0. x＋y－4＝0.(2)2x－y＋10＝0. (3)2x＋y＋6＝0.(4)2x＋y－2＝0.(5)x－y＋6＝0 【解析】(1)由A(0,4)，C(－8,0)可得直线AC的截距式方程为＋＝1，即x－2y＋8＝0. 由A(0,4)，B(－2,6)可得直线AB的两点式方程为＝，即x＋y－4＝0. (2)设AC边的中点为D(x，y)，由中点坐标公式可得x＝－4，y＝2，所以直线BD的两点式方程为＝，即2x－y＋10＝0. (3)由直线AC的斜率为kAC＝＝，故AC边的中垂线的斜率为k＝－2.又AC的中点D(－4,2)， 所以AC边的中垂线方程为y－2＝－2(x＋4)，即2x＋y＋6＝0. (4)AC边上的高线的斜率为－2，且过点B(－2,6)，所以其点斜式方程为y－6＝－2(x＋2)，即2x＋y－2＝0. (5)AB的中点M(－1,5)，AC的中点D(－4,2)，∴直线DM方程为＝，即x－y＋6＝0. 27．不论m取何值，直线都过定点(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，整理得， 令，解得，所以直线过定点.故选：B. 28．已知直线方程：，若不经过第二象限，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得. 当时，，此时不经过第二象限，所以. 当时，若不经过第二象限，则，解得.所以，的取值范围为.故选：C 课 后 作 业 1．直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线l的斜率为，则方程为，令，解得，故直线l在x轴上的截距为，∵在x轴上的截距的取值范围是，∴，解得或.故选：C. 2．过点且斜率为的直线的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点且斜率为的直线的方程是，即.故选：C 3．若，，则直线不经过第象限(    ) A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【解析】依题意、、均不为，所以直线可化为， 因为，，所以，，所以直线的斜率为正，纵截距为正， 即直线通过第一、二、三象限，不通过第四象限.故选：D 4．直线过点且与直线垂直，则的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即.故选：C. 5．直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，而且它的斜率是直线的斜率的相反数，则(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】因为直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，所以，0-3n+3=0，解得.因为直线的斜率为，由已知可得，直线mx+ny+3=0的斜率为，即.所以.故选：D. 6．直线与连接的线段相交，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线过点. 如图，    由题意，直线与线段总有公共点， 即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或， 而，因此或， 所以或，解得或，即a的取值范围是. 故选：D. 7．过点，且与原点距离最远的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线与垂直时，此时原点到直线的距离最大，,所以所求直线斜率为，由点斜式可得直线方程为，即，故选：C 8．直线恒过定点(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将变形为：，令且，解得，所以直线恒过定点.故选：A 9．设是轴上两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程为（ ）． A. x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0 【答案】A 【解析】 因为，所以直线的斜率与直线的斜率互为相反数，即，写出直线的方程． 10．(多选)若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】易知直线的斜率存在，故设直线的方程， 令，得；令，得.故围成的三角形面积为, 化简可得或. 对于方程，，故方程无解. 对于方程，可得或.故直线的方程或， 即或.故选:CD. 11．(多选)下列说法正确的有(    )． A．直线过定点 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】对于A，直线恒过定点，A正确； 对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确； 对于C，斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误； 对于D，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线过原点时，方程为， 当该直线不过原点时，方程为，D错误.故选：AB 12． 将直线绕点（2，0）按顺时针方向旋转30°，则所得直线方程为________． 【答案】x=2 【解析】直线的斜率，所以倾斜角为120°，因此，将直线绕点（2，0）按顺时针方向旋转30°后所得直线的倾斜角为90°．于是直线方程为x=2． 13．将直线绕它上面一点沿逆时针方向旋转，所得到的直线方程是 ． 【答案】 【解析】直线的斜率，倾斜角， 绕直线上一点沿逆时针方向旋转后，倾斜角，斜率， ∴旋转后得到的直线方程为：，即.故答案为：. 14.过点(5，0)，且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程是 . 【答案】=1或=1 【解析】设直线的方程为=1，点在直线上，∴. 由得或，∴所求直线的方程为=1或=1. 故答案为: 或. 15．求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程 ． 【答案】或 【解析】当直线经过原点时，直线的方程为，化为， 当直线不经过原点时，设直线的截距式为，把点代入可得：，解得， 所以直线的方程为：，综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或. 16．已知实数满足，则直线过定点 . 【答案】 【解析】由实数满足，可得,代入直线方程，可得， 联立方程组，解得，所以直线过定点.故答案为：. 17．直线过点，当原点到直线的距离最大时，直线的方程为 . 【答案】 【解析】 由题意知，，，所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，即. 故答案为：. 18．直线与直线分别相交于两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【答案】 【解析】设，因为的中点为，根据中点坐标公式，可得，因为点在直线上，所以，， 解得所以，，， 所以直线：． 19．直线l过点P(，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点. (1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程. 【答案】(1) 3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. (2) 3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 【解析】(1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，因为直线l过点P(，2)，所以＋＝1，① 又a＋b＋＝12.②由①②可得5a2－32a＋48＝0，解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. (2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由题意知，ab＝12，＋＝1，消去b，得a2－6a＋8＝0， 解得或；所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 20．已知直线l的方程为． (1)求证：不论m为何实数，直线l必过定点； (2)若过该定点的直线l分别与x、y轴的负半轴交于A、B两点，求的面积最小时直线l的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】(1)∵，则， 令，解得, 故不论m为何实数，直线l必过定点. (2)由题意可知：直线l的斜率存在，设为，则直线， 可得直线l在x、y轴上的截距分别为， 故的面积，当且仅当，即时等号成立， 此时直线l的方程，即. 学科网（北京）股份有限公司 $$