精品解析：　江西省吉安市遂川县2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

二○二五年上半年期末考试七年级数学试卷 本卷满分120分，共六个大题，23个小题，考试时间120分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列事件中，为不可能事件的是（　　） A. 投掷一枚质地均匀的骰子，正面朝上的是偶数 B. 明天早上一起床，天在下雨 C. 七年级（1）班某同学五一假这几天会长高 D. 小郭同学本学期期中考试后，数学进步很快 5. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 随意翻开数学课本是几何内容 B. 捕捉一只野生穿山甲食用是违法行为 C. 电脑键盘上任意按一个键是数字键 D. 数轴上任意取一个点是整数 6. 如图，，平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：___________． 8. 世界上最小的生物是单细胞生物，是一种代号为的原生动物，已知的原生动物的身长只有0．000001米，将0.000001用科学记数法表示应为___________． 9. 按照一定规律排列的一列单项式依次为：，，，，，则第个单项式是______． 10. 将小球随机扔在如图所示的正方形网格上自由滚动，则它最终停留在黑色区域的概率是___________． 11. 已知，则代数式的值为___________． 12. 在锐角中，为边上的高，在不添中加辅助线的情况下，当此图形中有一个角的度数为时，的度数为___________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，，点在上，与交于点，，请说明． 14. 如图，在个小正方形组成的网格中，已知格点和直线（点在格点上），请分别按下列要求画图（保留作图痕迹）． （1）在图（）中，作点关于直线的对称点； （2）在图（）中，作，使． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，线段与相交于点，点分别在上，线段过点，猜想线段与的大小关系，并说明理由． 17. 已知，求的值． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 小锐家住离县城不远的山区，下图是小锐星期一从家里步行，到达公交车站后等车，然后坐车到学校的行程，折线表示从家里出发去学校这个过程中路程与时间的关系．请根据图象解答下列问题． （1）他从家出发到离家多远的学校？共用了多少时间？ （2）他等公交车所用的时间为___________； （3）求他的步行速度和公交车的行驶速度． 19. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，若在某一时间段她进行了两次记录，分别记录了她两次采集到的野果数量． （1）在图1中，根据题意她第一次记录采集到的野果数量为___________个： （2）在图2中，求她第二次采集到的野果数量． 20. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 65 96 122 295 484 600 摸到白球的频率 0.64 0.59 （1）完成上表； （2）当很大时，估计摸到白球的频率将会接近___________； （3）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________； （4）估算口袋中黑球、白球的数量． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润＝收入费用﹣支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)： x(人) 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y(元) ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 … (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)观察表中数据可知，每月乘客量达到_______人以上时，该公交车才不会亏损； (3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？ 22. 在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，甲是边长为的正方形，乙是长为，宽为的长方形，丙是边长为的正方形．现用甲纸片一张，乙纸片两张，丙纸片一张，拼成了如图2所示的大正方形． （1）用含的代数式表示图2中的面积应为___________；根据图1与图2的图形与面积的关系，直接写出等式； （2）利用（1）中的等式计算： ①若，求的值； ②已知，求的值． 六、（本大题共12分） 23. 如图，在中，，，点在直线上，，点在直线上点的右侧，连接，在上取一点，使． （1）在图1中，当点与点重合时，求证：； （2）在图2中，当点与点不重合时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）取的中点，连接，，当与满足数量关系___________时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二五年上半年期末考试七年级数学试卷 本卷满分120分，共六个大题，23个小题，考试时间120分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查积的乘方运算，熟练掌握运算法则即可解答 根据积的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：C． 2. 下列图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合．‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等基本法则．需逐一验证各选项的正确性． 【详解】A．，但选项结果为，指数计算错误，故本选项不符合题意； B．，但选项结果为，指数少加1，故本选项不符合题意； C．，与选项结果一致，故本选项符合题意； D．，但选项系数为，计算错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列事件中，为不可能事件的是（　　） A. 投掷一枚质地均匀的骰子，正面朝上的是偶数 B. 明天早上一起床，天在下雨 C. 七年级（1）班某同学五一假这几天会长高 D. 小郭同学本学期期中考试后，数学进步很快 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不可能事件的定义，解题的关键是正确理解随机事件，必然事件，不可能事件的概念． 根据不可能事件的定义，即一定不会发生的事件，对各选项逐一分析． 【详解】解：选项A：骰子共有6个面，其中偶数点数为2、4、6，共3种可能，因此该事件是可能发生的随机事件． 选项B：天气变化具有不确定性，下雨是可能存在的自然现象，属于随机事件． 选项C：人类生长速度有限，几天内长高40厘米远超生理极限，属于不可能事件． 选项D：数学进步是可能通过努力实现的，属于可能事件． 故选C． 5. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 随意翻开数学课本是几何内容 B. 捕捉一只野生穿山甲食用是违法行为 C. 电脑键盘上任意按一个键是数字键 D. 数轴上任意取一个点是整数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查必然事件，不可能事件，随机事件的定义，能够正确判断每个事件是解题关键． 必然事件指在一定条件下必然会发生的事件．需逐一分析各选项是否符合必然事件的定义即可解答． 【详解】A．数学课本包含几何、代数等内容，随意翻开未必是几何内容，属于随机事件，故本选项不符合题意； B．根据我国法律，捕捉、食用野生穿山甲属于违法行为，无论何时均成立，是必然事件，故本选项符合题意； C．键盘包含字母、功能键等，数字键仅占部分，随机按键不一定是数字键，属于随机事件，故本选项不符合题意； D．数轴上的点对应的点包含所有实数，而整数仅仅是实数中的一部分，随机取点不一定为整数，属于随机事件，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，，平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；． 先根据角平分线的定义求得，由平行线的性质求得，然后根据邻补角的定义即可求得的度数 【详解】∵平分，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了负整数指数幂．根据进行解答即可． 【详解】解： 故答案为： 8. 世界上最小的生物是单细胞生物，是一种代号为的原生动物，已知的原生动物的身长只有0．000001米，将0.000001用科学记数法表示应为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式．其中为整数．解题关键是正确确定的值以及的值． 根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 按照一定规律排列的一列单项式依次为：，，，，，则第个单项式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的规律探索，根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断，能根据题中给出的单项式正确找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴第个单项是， ∴当时，， 故答案为：． 10. 将小球随机扔在如图所示的正方形网格上自由滚动，则它最终停留在黑色区域的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，解题关键是熟知几何概率的特点．由图形可知，正方形网格共有16个小正方组成，其中4个小正方形全白，其余12个小正方形白、黑色区域各占一半，即可求解． 【详解】解：由图形可知，正方形网格共有16个小正方组成，其中4个小正方形全白，其余12个小正方形白、黑色区域各占一半， 则停留在黑色区域的概率是， 故答案为：． 11. 已知，则代数式的值为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查单项式乘多项式，合并同类项，求代数式的值．正确将原式变形是解题关键．直接去括号、合并同类项，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 12. 在锐角中，为边上的高，在不添中加辅助线的情况下，当此图形中有一个角的度数为时，的度数为___________． 【答案】，或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的高线，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，利用三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】解：在锐角中，为边上的高， ，， 如图1，当时，此时，满足锐角三角形， ； 如图2，当时，此时， ，满足锐角三角形，， ； 如图3，当时，此时， ，，满足锐角三角形， ； 综上可知，的度数为，或， 故答案为：，或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，，点在上，与交于点，，请说明． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先计算积的乘方，然后计算单项式除以单项式； （2）首先由平行得到，然后证明出，即可得到． 【详解】解：（1）原式 ； （2），点在上， ． 在与中， ， ， ． 【点睛】此题考查了积的乘方，单项式除以单项式，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 14. 如图，在个小正方形组成的网格中，已知格点和直线（点在格点上），请分别按下列要求画图（保留作图痕迹）． （1）在图（）中，作点关于直线的对称点； （2）在图（）中，作，使． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据轴对称的性质进行求解即可； （）根据网格特征即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 理由：由网格可知，，，， ∴， ∴即为所求． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【解析】 【分析】先按照完全平方公式与平方差公式，单项式乘以多项式进行整式的乘法运算，再合并即可得到化简后的结果，再把代入化简后的结果中可得答案． 【详解】解： ． ， 原式 ． 16. 如图，线段与相交于点，点分别在上，线段过点，猜想线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． 证明，即可解答． 【详解】解：． ， ， ， 在与中，， ， ． 17. 已知，求的值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方以及同底数幂相乘，同底数幂相除，先根据得，即，解得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：， ∴ ， 解得 ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 小锐家住离县城不远的山区，下图是小锐星期一从家里步行，到达公交车站后等车，然后坐车到学校的行程，折线表示从家里出发去学校这个过程中路程与时间的关系．请根据图象解答下列问题． （1）他从家出发到离家多远的学校？共用了多少时间？ （2）他等公交车所用的时间为___________； （3）求他的步行速度和公交车的行驶速度． 【答案】（1）他从家出发到离家8公里的学校，共用时30分钟 （2）6 （3）步行速度为，公交车的行驶速度为． 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意以及函数图象，得出学校离家8公里，且共用时30分钟，即可作答． （2）根据等车时候，不变，则，即为等车时间，据此进行作答． （3）运用路程除以时间得出速度进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，由图象得出：他从家出发到离家8公里的学校，共用时30分钟． 【小问2详解】 解：由图象得出：， ∴他等公交车所用的时间为； 【小问3详解】 解：由图象得，； 则， ∴步行速度为，公交车的行驶速度为． 19. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，若在某一时间段她进行了两次记录，分别记录了她两次采集到的野果数量． （1）在图1中，根据题意她第一次记录采集到的野果数量为___________个： （2）在图2中，求她第二次采集到的野果数量． 【答案】（1）91 （2）471个 【解析】 【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． （1）根据所列公式计算即可； （2）类比可以表示满六进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，即． 【小问1详解】 解：， 故答案为：91； 【小问2详解】 解：依题意，得第二次采集到的野果数量应为个． 20. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 65 96 122 295 484 600 摸到白球的频率 0.64 0.59 （1）完成上表； （2）当很大时，估计摸到白球的频率将会接近___________； （3）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________； （4）估算口袋中黑球、白球的数量． 【答案】（1）0.65，0.61，0.605，0.6 （2）0.6 （3）0.6，0.4 （4）白球约为12个，黑球约为8个 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，解题的关键是正确理解频率和概率之间的关系． （）用摸到白球的次数除以摸球总数可得对应的摸到白球的频率，据此可计算并填写表格； （）观察表格中的统计数据，即可得出结论；  （3）根据摸到白球的频率，可以得出摸到白球的概率，进而可以求出摸到黑球的概率； （4）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少个； 【小问1详解】 解：， 填写表格如下： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 65 96 122 295 484 600 摸到白球的频率 0.64 0.59 【小问2详解】解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率是， ∴摸到黑球的概率是； 故答案为：，； 【小问4详解】 解：摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， ∴（只），（只）， 答：白球约为12个，黑球约为8个． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润＝收入费用﹣支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)： x(人) 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y(元) ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 … (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)观察表中数据可知，每月乘客量达到_______人以上时，该公交车才不会亏损； (3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？ 【答案】(1)x， y；(2)观察表中数据可知，每月乘客量达到2000；(3)每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元． 【解析】 【分析】（1）直接利用常量与变量的定义分析得出答案； （2）直接利用表中数据分析得出答案； （3）利用由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，进而得出答案． 【详解】解：(1)在这个变化过程中，每月的乘车人数x是自变量，每月的利润y是因变量； 故答案为每月的乘车人数x，每月的利润y； (2)观察表中数据可知，每月乘客量达到观察表中数据可知，每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损； 故答案为观察表中数据可知，每月乘客量达到2000； (3)由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元， 当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元． 【点睛】本题考查常量与变量以及函数的表示方法，正确把握函数的定义是解题关键． 22. 在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，甲是边长为的正方形，乙是长为，宽为的长方形，丙是边长为的正方形．现用甲纸片一张，乙纸片两张，丙纸片一张，拼成了如图2所示的大正方形． （1）用含的代数式表示图2中的面积应为___________；根据图1与图2的图形与面积的关系，直接写出等式； （2）利用（1）中的等式计算： ①若，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1）或； （2）①14；②2025 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）①利用完全平方公式的变形求解即可； ②利用完全平方公式的变形求解即可． 【小问1详解】 用含的代数式表示图2中的面积应为，还可以表示为 ∴； 【小问2详解】 ①由（1），得． ． 把 代入上式，得． ． ②根据题意，得 ． 六、（本大题共12分） 23. 如图，在中，，，点在直线上，，点在直线上点的右侧，连接，在上取一点，使． （1）在图1中，当点与点重合时，求证：； （2）在图2中，当点与点不重合时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）取的中点，连接，，当与满足数量关系___________时，． 【答案】（1） 证明：，， ， ，点与点重合， ， ； （2）成立，理由如下： 如图，过点作交于点， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据等腰对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明结论； （2）过点作于点，证明出，即可得到结论； （3）过点作于点，交于点，当是的中点时，，由（2）可得，当时，，证明得出，即可得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：当重合时，由（1）可得． 当不重合时，如图，过点作于点，交于点， ∵， ∴，， 当是的中点时，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $