第一章 特殊平行四边形 单元测试2025-2026学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 第一章　特殊平行四边形 单元测试 一、选择题 1.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AB的中点，点P在边BC上，且BP＝BM．将点M平移到点P，则平移的距离等于（　　） A.AB B.AB C.AC D.BD 2.如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于O点，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（　　） A. B. C. D. 3.如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是(　　) A.AM＝AN B.MN⊥AC C.MN是∠AMC的平分线 D.∠BAD＝120° 4.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为(　　) ①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD. A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③ 5.我们常常在建筑中看到四边形的元素．如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为1米（边框宽度忽略不计），其中较小的内角为60°，则该菱形窗户的采光面积为（　　）平方米． A.4 B. C.1 D. 6.正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角相等 7.在正方形ABCD中，A，C的坐标分别为（1，﹣2），（4，1），AB∥x轴，则B点的坐标是（　　） A.（4，﹣2） B.（1，﹣1） C.（﹣1，1） D.（1，1） 8.如图，把两条足够长的等宽的纸带交叉放置(不重合)，重叠部分形成四边形ABCD，则四边形ABCD是(　　) A.平行四边形或矩形 B.菱形或正方形 C.平行四边形或正方形 D.矩形或菱形 9.如图，正方形木板ABCD的面积是18 dm2，在这个木板上截出面积为8 dm2的正方形CFGE，连接AG，则AG的长度为（　　） A.3 dm B. dm C.2 dm D.4 dm 10.如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于(　　) A.7 B.8 C.9 D.14 11.△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离为(　　) A.2cm，2cm，2cm B.3cm，3cm，3cm C.4cm，4cm，4cm D.2cm，3cm，5cm 12.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝8 cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中正方形对角线AC的长为（　　） A.8 cm B.16 cm C.24 cm D.8 cm 二、填空题 13.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAO＝________. 14.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为____________． 15.如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为______________． 16.如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD，AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形． 17.边长分别为3a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，记图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，则＝　　． 三、解答题 18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点(点D不与点A重合)，点E是AC的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝DE，连接AF，CF. (1)求证：四边形ADCF是平行四边形； (2)当点D是AB的中点时，若AB＝4，求四边形ADCF的周长． 19.学校植物园沿路护栏的纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加d cm，如图所示，已知每个菱形图案的边长为10 cm，其中一个内角为60°. (1)求一个菱形图案水平方向的对角线长． (2)若d＝26，则该纹饰要用231个菱形图案，求纹饰的长度L. 20.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，求∠BOE的度数． 21.如图，在矩形ABCD中，AB＝24 cm，BC＝8 cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？ 22.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，BC上的两个动点(与点A，B，C不重合)且始终保持BP＝BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连接PQ. (1)求证：△APQ≌△QCE； (2)求∠QAE的度数； (3)设BQ＝x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积． 北师大版九年级上册 第一章　特殊平行四边形 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AB的中点，点P在边BC上，且BP＝BM．将点M平移到点P，则平移的距离等于（　　） A.AB B.AB C.AC D.BD 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC， ∵M是边AB的中点，∴AM＝BM＝AB＝BC， ∵BP＝BM，∴BP＝BC，∴点P是BC的中点，∴PM是△ABC的中位线，∴PM＝AC，即平移的距离等于AC. 2.如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于O点，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，连接PD， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，∴AO＝OC＝4，BO＝DO＝3，∴AD=CD==5， ∵S△ACD＝S△APD+S△CPD，PM⊥AD，PN⊥CD，∴×AC×OD＝×AD×PM+×CD×PN，∴8×3＝5（PM+PN）， ∴PM+PN＝. 3.如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是(　　) A.AM＝AN B.MN⊥AC C.MN是∠AMC的平分线 D.∠BAD＝120° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠DCB，AB＝CD，AD＝BC， ∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCN＝∠DCB，∠BAM＝∠BAD，∴∠BAM＝∠DCN， 在△ABM和△CDN中，∠D=∠B，AB=CD，∠DCN=∠BAM，∴△ABM≌△CDN(ASA)，∴AM＝CN，BM＝DN， ∵AD＝BC，∴AN＝CM，∴四边形AMCN是平行四边形， A．∵四边形AMCN是平行四边形，AM＝AN，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误； B．∵MN⊥AC，四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误； C．∵四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥BC，∴∠NAC＝∠ACM， ∵AC平分∠MAN，∴∠NAC＝∠MAC，∴∠MAC＝∠MCA，∴AM＝MC， ∵四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是菱形，故本选项错误； D．根据∠BAD＝120°和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确. 4.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为(　　) ①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD. A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③ 【答案】A 【解析】①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确； ②▱ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误； ③▱ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确； ④▱ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④错误． 5.我们常常在建筑中看到四边形的元素．如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为1米（边框宽度忽略不计），其中较小的内角为60°，则该菱形窗户的采光面积为（　　）平方米． A.4 B. C.1 D. 【答案】B 【解析】∵菱形窗户的边长为1米，较小的内角为60°， ∴菱形的一条对角线为1米，另一条为米， ∴菱形窗户的采光面积＝（平方米）. 6.正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　　) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角相等 【答案】B 【解析】A．菱形和正方形的对角线都互相垂直，故本选项错误； B．菱形的对角线不一定相等，正方形的对角线一定相等，故本选项正确； C．菱形和正方形的对角线都互相平分，故本选项错误； D．菱形和正方形的对角都相等，故本选项错误. 7.在正方形ABCD中，A，C的坐标分别为（1，﹣2），（4，1），AB∥x轴，则B点的坐标是（　　） A.（4，﹣2） B.（1，﹣1） C.（﹣1，1） D.（1，1） 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC， ∵AB∥x轴，∴BC∥y轴， ∵点A，C的坐标分别为（1，﹣2），（4，1），∴B点的纵坐标为﹣2，横坐标为4， ∴B点的坐标是（4，﹣2）． 8.如图，把两条足够长的等宽的纸带交叉放置(不重合)，重叠部分形成四边形ABCD，则四边形ABCD是(　　) A.平行四边形或矩形 B.菱形或正方形 C.平行四边形或正方形 D.矩形或菱形 【答案】B 【解析】①当AB与BC不垂直时，如图所示， 依题意可知，AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，分别作CD，BC边上的高为AE，AF， ∵两纸条相同，∴纸条宽度AE＝AF， ∵平行四边形的面积为AE×CD＝BC×AF，∴CD＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形． ②同理，当AB⊥BC时，菱形ABCD为正方形．综上所述，四边形ABCD是菱形或正方形． 9.如图，正方形木板ABCD的面积是18 dm2，在这个木板上截出面积为8 dm2的正方形CFGE，连接AG，则AG的长度为（　　） A.3 dm B. dm C.2 dm D.4 dm 【答案】C 【解析】延长FG与AB交于点N，延长EG与AD交于点M，如图所示， ∵四边形ABCD和CFGE是正方形，∴BC＝DC，EC＝FC，CF∥GE，CF∥AB， ∴BE＝DF，GE∥AB， 同理可得GF∥AD， ∴四边形BEGN和MGFD为矩形，∴BE＝GN，DF＝MG，∴BE＝GN＝MG， ∵正方形ABCD的面积是18 dm2，正方形CFGE的面积是8 dm2， ∴， . 10.如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于(　　) A.7 B.8 C.9 D.14 【答案】A 【解析】如图，延长AB，DC交于M点，延长CD，FE交于N点，延长EF，HG交于P点，延长GH，BA交于Q点，则MNPQ是矩形， ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝135°，∴△BCM，△DEN，△FGP，△AHQ均为等腰直角三角形． 这个八边形的面积等于＝矩形面积－4个小三角形的面积＝3×3－4×1×1÷2＝7. 11.△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离为(　　) A.2cm，2cm，2cm B.3cm，3cm，3cm C.4cm，4cm，4cm D.2cm，3cm，5cm 【答案】A 【解析】如图，连接OA，OB，OC，则△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO， ∴BD＝BF，CD＝CE，AE＝AF， 又∵∠ACB＝90°，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O为△ABC三条角平分线的交点， ∴四边形OECD是正方形，则点O到三边AB，AC，BC的距离＝CD， ∴AB＝8－CD＋6－CD＝－2CD＋14，即－2CD＋14＝10，∴CD＝2，即点O到三边AB，AC，BC的距离为2 cm. 12.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝8 cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中正方形对角线AC的长为（　　） A.8 cm B.16 cm C.24 cm D.8 cm 【答案】D 【解析】如图1，图2中，连接AC． 图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC， ∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝8 cm， 在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝AB＝8（cm）． 二、填空题 13.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAO＝________. 【答案】45° 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，BO＝DO＝BD，∠BAD＝90°，∴OA＝OB， ∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，∴∠DAE＝67.5°，∠BAE＝22.5°， ∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABO＝90°－22.5°＝67.5°， ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝67.5°，∴∠EAO＝∠OAB－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°. 14.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为____________． 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OB， 又∵AE垂直平分OB，∴OB＝OA＝AB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3. 15.如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为______________． 【答案】4或2 【解析】①如图，当AB＝AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC、△P3BC是等腰直角三角形，△P2BC是等腰三角形(P2B＝P2C)，则AB＝AD＝4； ②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，易知P2是AD的中点，BC＝BP1＝BP2＝CP2＝CP3∴BP2＝＝，又∵BP1＝BC，∴＝4，∴AB＝2； ③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形． 综上所述，AB的长为4或2 16.如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD，AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形． 【答案】AD＝AB 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°. ∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°. 又∵EH⊥EF，FG⊥EF，∴∠GFB＝∠HED＝45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形． 如果四边形EFGH是矩形，则EH＝FG，∴ED＝FB， 又∵AE＝AF，∴AD＝AB. 17.边长分别为3a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，记图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，则＝　　． 【答案】 【解析】根据图形可知，空白部分的面积为S2＝×3a•（3a+2a）＝a2， 阴影部分的面积为S1＝3a•3a+2a•2a﹣S2＝13a2﹣a2＝a2， . 三、解答题 18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点(点D不与点A重合)，点E是AC的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝DE，连接AF，CF. (1)求证：四边形ADCF是平行四边形； (2)当点D是AB的中点时，若AB＝4，求四边形ADCF的周长． 【答案】解：(1)证明：∵点E是AC的中点，∴AE＝EC， ∵EF＝DE， ∴四边形ADCF是平行四边形． (2)∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴CD＝AD＝AB＝2， ∴平行四边形ADCF是菱形， ∴菱形ADCF的周长是8. 【解析】 19.学校植物园沿路护栏的纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加d cm，如图所示，已知每个菱形图案的边长为10 cm，其中一个内角为60°. (1)求一个菱形图案水平方向的对角线长． (2)若d＝26，则该纹饰要用231个菱形图案，求纹饰的长度L. 【答案】解：(1)菱形图案水平方向的对角线长为×2＝30 cm. (2)L＝30＋26×(231－1)＝6010 cm. 【解析】 20.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，求∠BOE的度数． 【答案】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E， ∴∠BAE＝∠AEB＝45°，AB＝BE，OA＝OB＝OC， ∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝60°，∠ACB＝30°， 又∵OA＝OB，∴△BOA是等边三角形，∴OA＝OB＝AB，即OB＝AB＝BE， ∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE＝∠OCB＝30°， ∴∠BOE＝(180°－30°)＝75°. 【解析】 21.如图，在矩形ABCD中，AB＝24 cm，BC＝8 cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4 cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？ 【答案】解：根据题意得CQ＝2t cm，AP＝4t cm，则BP＝(24－4t)cm， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD∥AB，∴只有CQ＝BP时，四边形QPBC是矩形， 即2t＝24－4t，解得t＝4，即当t＝4 s时，四边形QPBC是矩形． 【解析】 22.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，BC上的两个动点(与点A，B，C不重合)且始终保持BP＝BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连接PQ. (1)求证：△APQ≌△QCE； (2)求∠QAE的度数； (3)设BQ＝x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积． 【答案】解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC， ∵BP＝BQ，∴△PBQ是等腰直角三角形，AP＝CQ，∴∠BPQ＝45°， ∵CE为正方形外角的平分线，∴∠APQ＝∠QCE＝135°， ∵AQ⊥QE，∴∠CQE＋∠AQB＝90°， 又∵∠PAQ＋∠AQB＝90°，∴∠PAQ＝∠CQE， 在△APQ和△QCE中，∠PAQ=∠CQE，AP=CQ，∠APQ=∠QCE， ∴△APQ≌△QCE(ASA). (2)∵△APQ≌△QCE，∴AQ＝EQ， ∵AQ⊥QE，∴△AQE是等腰直角三角形，∴∠QAE＝45°. (3)如图，把△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADG， 则AQ＝AG，BQ＝DG，∠BAQ＝∠DAG， ∵∠QAE＝45°，∴∠GAF＝45°，∴∠GAF＝∠QAF， 在△AQF和△AGF中，AQ=AG，∠GAF=∠QAF，AF=AF，∴△AQF≌△AGF(SAS)， ∴QF＝GF， ∵QF∥CE，∴∠CQF＝45°，∴△CQF是等腰直角三角形，∴CQ＝CF， ∵BQ＝x，∴CQ＝CF＝2－x，∴DF＝2－(2－x)＝x，∴QF＝GF＝2x， 在Rt△CQF中，CQ2＋CF2＝QF2，即(2－x)2＋(2－x)2＝(2x)2，解得x＝2－2， ∴△AGF的面积＝×2×(2－2)×2＝4－4， 即△AQF的面积为4－4. 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$