精品解析：　江西省吉安市井冈山市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

2025年上半年期末质量抽测七年级数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列成语所描述的事件中是必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 只手遮天 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑 4. 如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知，请你在下面四个备选条件：①；②；③；④中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明的备选条件是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图像，能近似刻画s与t之间关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 研究表明，语言模型在处理一定复杂程度的逻辑语句时，其单位样本错误概率为0.0000000015．数据0.0000000015用科学记数法表示是______． 8. 一个不透明的口袋中装有五个球，分别标有这五个号码，这些球除号码外其余都相同，从中随机摸出一个球，摸到标号为号的球的概率是_________． 9. 一蜡烛高24厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是__． 10. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， _______． 11. 植物的光合作用受多种因素的影响，小悦在研究某绿色植物光合作用的氧气释放速度v（单位：毫克/小时）与光照强度L（单位：千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置．根据实验结果，绘制了和时，氧气释放速度与光照强度之间的关系图象（如图2），则下列说法正确的是______（填序号）． ①当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的要快． ②当时，环境下的该绿色植物比环境下2小时后多释放20毫克的氧气． ③光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越慢． 12. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，；；当且点E在直线的上方时，线段与三角形的一边平行时，度数为______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 14. 先化简，再求值：，其中，． 15. 下面是嘉淇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． 执“规”矩”等分已知角 《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序．我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规，“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的360°角．要研究等分360°角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的平分线呢？ 办法1 ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点； ③作射线．射线即为的平分线． 办法2 ①两个“矩”如图放置，顶点重合于，一边重合于直线； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③使点在射线上，点在射线上，调整“矩”直至直线经过点． 射线即为的平分线． 经过测量，上述两种办法得到的与相等，验证平分成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证． 任务： （1）嘉淇的“办法1”可由作法判断，因为全等三角形的对应角相等，所以，即平分．请说明； （2）请说明嘉淇的办法2的合理性． 16. “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳计算公式，如图： 排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量=耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量 根据图中信息，解决问题： （1）若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为 ___________． （2）在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加 _____ ；当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从 _____ 增加到 _____ ． （3）小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 17. 在正方形网格上有一个． （1）画关于直线的对称图形（不写画法）； （2）在直线上找一点P，使最短； 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1、2均是一个均匀的可以自由转动的转盘，图1被平均分成8等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8这8个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，图2被涂上红色与绿色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色，小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘. （1）小明转出来的数字是3的倍数的概率是  ； （2）小亮转出的颜色是绿色的概率是  ； （3）小颖认为，小明转出来的数字是偶数的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？ 19. 按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，1张餐桌摆6把椅子，2张餐桌摆10把椅子，3张餐桌摆14把椅子，其中餐桌的数量用x（张）表示，椅子的数量用y（把）表示，椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化． （1）题中自变量是____，因变量是____． （2）请写出y和x之间的关系式；（不要求写自变量的取值范围） （3）按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐80人（一把椅子只坐一个人）？请说明理由． 20. 如图1，，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． （1）直线与平行吗？为什么？ （2）将线段沿着直线平移得到线段，连接．若，如图2，当时，求的度数； 五（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，两个数学研究小组设计了不同的方案．他们在河南岸的点B处，测得河北岸的一棵树底部A点恰好在点B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 观测者从B点向正东走到C点（），此时恰好测得：． 观测者从B点向正东走到E点（），O是的中点，继续从点E沿垂直于的方向走，直到点A，O，F在一条直线上． 测量图 （1）第一小组认为，河宽的长度就是线段的长度，你认为正确吗？说明理由； （2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得的长就是所求河宽的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 22. 综合与实践 【阅读材料】 将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 解：因为，所以． 又因为，，所以． 【探究实践】 （1）若，，求的值； 【拓展应用】 （2）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了劳动教育基地．如图，校园内有两块相邻的正方形场地（，B、C、E三点在一条直线上，边与边在一条直线上），它们的面积和为，边长和（）为，学校计划在阴影部分（和）处摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地，请求出摆放花卉场地的面积． 六、（本大题共12分） 23. 【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． （1）【理解】如图1，在中，，，请求出图中三对等角三角形． （2）【尝试】如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． （3）【应用】在中，，是的等角分割线，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上半年期末质量抽测七年级数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，幂的运算，根据相关运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 3. 下列成语所描述的事件中是必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 只手遮天 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握确定事件和随机事件是解题的关键．根据事件的分类逐项分析即可判断． 【详解】解：A、旭日东升是必然事件，符合题意； B、只手遮天是不可能事件，不符合题意； C、水中捞月是不可能事件，不符合题意； D、刻舟求剑是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，先求出，然后根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 5. 如图，已知，请你在下面四个备选条件：①；②；③；④中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明的备选条件是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：，，， ，①能证明，不符合题意； ，，， ②不能证明，符合题意； ，，， ，③能证明，不符合题意； ，，， ，④能证明，不符合题意； 故选：B． 6. 小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图像，能近似刻画s与t之间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别对每段时间的路程与时间的变化情况进行分析，画出路程与时间图像，再与选项对比判断即可． 【详解】解：对各段时间与路程的关系进行分析如下： 从家到凉亭，用时10分钟，路程600米，s从0增加到600米，t从0到10分，对应图像为 在凉亭休息10分钟，t从10分到20分，s保持600米不变，对应图像为 从凉亭到公园，用时间10分钟，路程600米，t从20分到30分，s从600米增加到1200米，对应图像为 故选：A． 【点睛】本题考查了一次折线图像与实际结合的问题，注意正确理解每段时间与路程的变化情况是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 研究表明，语言模型在处理一定复杂程度的逻辑语句时，其单位样本错误概率为0.0000000015．数据0.0000000015用科学记数法表示是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此进行作答即可． 【详解】； 故答案为：． 8. 一个不透明的口袋中装有五个球，分别标有这五个号码，这些球除号码外其余都相同，从中随机摸出一个球，摸到标号为号的球的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些时间的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 用号球的个数除以球的总数，即为摸到标号为号的球的概率． 【详解】解：∵口袋中装有五个球，分别标有这五个号码， ∴从中摸出一个号球的概率是， 故答案为：． 9. 一蜡烛高24厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据蜡烛点燃后剩余的高度＝蜡烛的高度﹣蜡烛燃烧的高度可列关系式． 【详解】解：由题意得蜡烛点燃后剩余的高度h（cm）与燃烧时间t（时）之间的关系式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数关系式，找准等量关系是解题的关键，属于基础题． 10. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定， 先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 11. 植物的光合作用受多种因素的影响，小悦在研究某绿色植物光合作用的氧气释放速度v（单位：毫克/小时）与光照强度L（单位：千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置．根据实验结果，绘制了和时，氧气释放速度与光照强度之间的关系图象（如图2），则下列说法正确的是______（填序号）． ①当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的要快． ②当时，环境下的该绿色植物比环境下2小时后多释放20毫克的氧气． ③光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越慢． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题主要考查根据函数图象获取相关信息，理解题意，结合函数图象求解是解题关键．根据函数图象获得有用信息，进行解得即可． 【详解】解：①根据函数图象得：当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的要快，正确，符合题意； ②当时，环境下的该绿色植物得氧气释放速度为50毫克/小时，环境下的该绿色植物得氧气释放速度为40毫克/小时，2小时后多释放毫克氧气，正确，符合题意； ③光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度与温度有关系，选项错误，不符合题意； 综上分析可知：正确的是①②． 故答案为：①②． 12. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，；；当且点E在直线的上方时，线段与三角形的一边平行时，度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据线段与三角形的一边平行，且点E在直线的上方时，分为，，三种情况讨论即可． 【详解】解：点E在直线的上方时，， 分为，，三种情况讨论 如图1，当时， ， ； 如图2，当时， ， ， ， ； 如图3，当时，延长到，交于点F， ，， ， , ， ， ， 综上所述，的度数为：或 或 ， 故答案为：或 或 ． 【点睛】本题考查平行线性质求角，解题的关键是分类讨论． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）进行乘方，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先进行幂的乘方，同底数幂的乘除运算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式； ． 14. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，首先利用完全平方公式和单项式乘以多项的法则进行计算，再把，代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 15. 下面是嘉淇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． 执“规”矩”等分已知角 《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序．我是数学爱好者，在我的眼里“规”是圆规，“矩”是直角工具“”，“太阳”是被等分的360°角．要研究等分360°角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的平分线呢？ 办法1 ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点； ③作射线．射线即为的平分线． 办法2 ①两个“矩”如图放置，顶点重合于，一边重合于直线； ②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ③使点在射线上，点在射线上，调整“矩”直至直线经过点． 射线即为的平分线． 经过测量，上述两种办法得到的与相等，验证平分成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证． 任务： （1）嘉淇的“办法1”可由作法判断，因为全等三角形的对应角相等，所以，即平分．请说明； （2）请说明嘉淇的办法2的合理性． 【答案】（1） 解：在和中，由作图可知： ， ； （2） 解：由题意，得，，， ， 即平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）根据作图，利用证明三角形全等即可； （2）证明，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳计算公式，如图： 排碳计算公式 家居用电的二氧化碳排放量=耗电量 开私家车的二氧化碳排放量耗油量 家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量 家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量 根据图中信息，解决问题： （1）若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为 ___________． （2）在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加 _____ ；当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从 _____ 增加到 _____ ． （3）小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 【答案】（1）； （2）2.7；8.1；21.6； （3）小明家这几项二氧化碳排放量的总和为． 【解析】 【分析】本题考查了函数的表示方法，能列出关系式是解题的关键． （1）根据题意可以直接写出开私家车的二氧化碳排放量y与耗油量x之间的关系式； （2）根据（1）的结论解答即可； （3）根据题意可以列式计算出小明家本月这几项的二氧化碳排放总量． 【小问1详解】 解：由题意可得． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由可知，耗油量每增加，二氧化碳排放量增加． 当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量从到． 故答案为：2.7；8.1，21.6； 【小问3详解】 解：． 答：小明家这几项二氧化碳排放量的总和为． 17. 在正方形网格上有一个． （1）画关于直线的对称图形（不写画法）； （2）在直线上找一点P，使最短； 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，点为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题： （1）根据轴对称的性质即可画关于直线的对称图形； （2）根据两点之间线段最短即可在直线上求作一点P，使最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1、2均是一个均匀的可以自由转动的转盘，图1被平均分成8等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8这8个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，图2被涂上红色与绿色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色，小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘. （1）小明转出来的数字是3的倍数的概率是  ； （2）小亮转出的颜色是绿色的概率是  ； （3）小颖认为，小明转出来的数字是偶数的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？ 【答案】（1） （2） （3）小颖的看法是错误的，他们的概率不相同，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）图1的转盘被平均分成8等份，转到每个数字的可能性相等，共有8种可能结果，数字是3的倍数的结果有2种，由概率公式可得； （2）图1的转盘被平均分成8等份，转到每个数字的可能性相等，共有8种可能结果，数字大于5的结果有3种，由概率公式可得； （3）图2的转盘被涂上红色与绿色，绿色部分所占百分比即为所求概率； （4）根据概率公式先求出小明转出来的数字是偶数的概率与小亮转出的颜色是红色的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【小问1详解】 图1的转盘被平均分成8等份，转到每个数字的可能性相等，共有8种可能结果，数字是3的倍数的结果有2种， 转出来的数字是3的倍数的概率是． 故答案为； 【小问2详解】 图2的转盘被涂上红色与绿色，其中绿色部分所在扇形圆心角的度数是， 转出的颜色是绿色的概率是． 故答案为； 【小问3详解】 她的看法错误．理由如下： 小明转出来的数字是偶数的概率是， 小亮转出的颜色是红色的概率是， ， 小颖的看法错误． 19. 按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，1张餐桌摆6把椅子，2张餐桌摆10把椅子，3张餐桌摆14把椅子，其中餐桌的数量用x（张）表示，椅子的数量用y（把）表示，椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化． （1）题中自变量是____，因变量是____． （2）请写出y和x之间的关系式；（不要求写自变量的取值范围） （3）按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐80人（一把椅子只坐一个人）？请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 不能刚好坐80人，理由如下： 将代入得，， 解得， ∵餐桌的数量是整数， ∴不能刚好坐80人． 【解析】 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量的值，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化进行判断即可； （2）根据题干给出的数据，求出函数解析式即可； （3）令，求出自变量的值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意知，题中反映了餐桌的数量和椅子的数量之间的关系，其中餐桌的数量是自变量，椅子的数量是因变量， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； ∴椅子的数量和餐桌的数量之间的关系式为； 【小问3详解】 略 20. 如图1，，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． （1）直线与平行吗？为什么？ （2）将线段沿着直线平移得到线段，连接．若，如图2，当时，求的度数； 【答案】（1） ， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2） 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论； （2）如图2，过点作，根据平行线的性质与周角的性质求出，再根据平行的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，由平移的性质可知， ∴， ∴； 五（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，两个数学研究小组设计了不同的方案．他们在河南岸的点B处，测得河北岸的一棵树底部A点恰好在点B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 观测者从B点向正东走到C点（），此时恰好测得：． 观测者从B点向正东走到E点（），O是的中点，继续从点E沿垂直于的方向走，直到点A，O，F在一条直线上． 测量图 （1）第一小组认为，河宽的长度就是线段的长度，你认为正确吗？说明理由； （2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得的长就是所求河宽的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】（1） 正确，理由： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即河宽的长度就是线段的长度； （2） 可行，证明：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即只要测得的长就是所求河宽的长． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质，理解测量距离的不同方法是解答的关键． （1）先根据三角形的内角和定理得到，再根据等角对等边证明即可； （2）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 综合与实践 【阅读材料】 将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 解：因为，所以． 又因为，，所以． 【探究实践】 （1）若，，求的值； 【拓展应用】 （2）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了劳动教育基地．如图，校园内有两块相邻的正方形场地（，B、C、E三点在一条直线上，边与边在一条直线上），它们的面积和为，边长和（）为，学校计划在阴影部分（和）处摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地，请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】（1）（2）40 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，完全平方公式及平方差公式，根据题意表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）根据题意可得，，再求得，最后根据进行求解即可． 【详解】（1）因为， 所以， 因为，， 所以， ． （2）设正方形、正方形的边长分别为a，b． 由题意得：，， 所以， 即， 得， 因为，又因为， 所以， 六、（本大题共12分） 23. 【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． （1）【理解】如图1，在中，，，请求出图中三对等角三角形． （2）【尝试】如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． （3）【应用】在中，，是的等角分割线，请求出的度数． 【答案】（1）与，与，与 （2） 证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， 在中，， ∴，，， ∴与是等角三角形， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴为的等角分割线； （3）或或或 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等角三角形的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形、等角分割线的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴与，与，与是等角三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当是等腰三角形，如图，时，， ∴， ∴； 当是等腰三角形，如图，时，， ∴， ∴， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形，如图，时， ∴， 当是等腰三角形，如图，时，， 设，则，， 由题意得，， 解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴的度数为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $