12.3一次函数与二元一次方程（3大知识点+巩固练习）2025-2026学年沪科版数学八年级上册

12.3一次函数与二元一次方程 一、主要知识点 知识点1 一次函数与二元一次方程 （1）一次函数图像上点的坐标就是方程的解 （2）以方程的解为坐标的点在一次函数图像上。 【例1】以方程x﹣2y＝4的解为坐标的所有点组成的图象是一条直线，则这条直线对应的一次函数的解析式为（　　） A．y＝x﹣2 B． C．y＝x+2 D．y＝2x﹣8 【解答】解：在方程x﹣2y＝4中， 可得：， 所以这条直线对应的一次函数表达式为； 故选：B． 【例2】已知下面四条直线，则其中直线上的每个点的坐标都是二元一次方程2y﹣x＝﹣2的解是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：由条件可知， ∴当x＝0时，y＝﹣1；当y＝0时，x＝2， ∴直线与y轴交于点（0，﹣1），与x轴交于点（2，0）， ∴直线上每个点的坐标都适合二元一次方程2y﹣x＝﹣2的是A选项中的函数图象． 故选：A． 知识点2 一次函数与二元一次方程组 （1）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点. （2）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. （3）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 【例3】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+3的图象相交于点M（a，6），则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：把点M（a，6）代入y＝x+3得a+3＝6，解得a＝3， 所以M点坐标为（3，6）， 所以关于x，y的二元一次方程组的解是， 故选：A． 【例4】已知二元一次方程组的解为，则在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3与y＝x+1图象的交点坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1） 【解答】解：∵二元一次方程组的解为， ∴在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3与y＝x+1的图象的交点坐标为：（1，2）， 故选：B． 【例5】已知关于x，y的二元一次方程组无解，则一次函数y＝kx﹣7的图象不经过的象限是（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组无解， ∴直线y＝（2k+3）x+4与直线y＝（﹣3k﹣2）x﹣1无交点，即两直线平行， ∴2k+3＝﹣3k﹣2， 解得：k＝﹣1， 当k＝﹣1时， 一次函数y＝﹣x﹣7的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：D． 知识点3 利用一次函数图像解不等式（组） （1）当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【例6】如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（1，0），与y＝﹣x﹣2的图象交于点P（2，﹣4），则下列说法正确的是（　　） A．方程kx+b＞0的解集是x＞1 B．方程kx+b＝﹣x﹣2的解是x＝1 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式kx+b＞﹣x﹣2的解集是x＜2 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（1，0）， ∴不等式kx+b＞0的解集是x＜1，所以A选项不符合题意； ∵一次函数y＝kx+b的图象与y＝﹣x﹣2的图象交于点P（2，﹣4）， ∴方程kx+b＝﹣x﹣2的解是x＝2，所以B选项不符合题意； 关于x，y的方程组的解是，所以C选项不符合题意； 不等式kx+b＞﹣x﹣2的解集是x＜2，所以D选项符合题意． 故选：D． 二、巩固练习 1.如图，直线y＝kx+b（k≠0）与y＝2x交于点A，则不等式kx+b＞2x的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＞1 D．x＜1 【解答】解：在y＝2x中，令y＝2时，则2x＝2， ∴x＝1， ∴A（1，2）， 由图可得：当x＜1时，kx+b＞2x． 故选：D． 2.若不等式ax+b＞1的解集是x＜2，则下列各点可能在一次函数y＝ax+b﹣1图象上的是（　　） A．（3，0） B．（3，1） C．（1，﹣1） D．（1，2） 【解答】解：∵ax+b＞1， ∴ax＞1﹣b， ∵不等式ax+b＞1的解集是x＜2， ∴a＜0， ∴x， 即2， ∴b＝1﹣2a， ∴y＝ax+b﹣1＝ax+1﹣2a﹣1＝ax﹣2a， 当x＝3时，y＝3a﹣2a＝a，即点（3，0）和（3，1）都不在一次函数y＝ax+b﹣1图象上，所以A、B选项不符合题意； 当x＝1时，y＝a﹣2a＝﹣a，即点（1，﹣1）不在一次函数y＝ax+b﹣1图象上，所以C选项不符合题意； 当x＝1时，y＝a﹣2a＝﹣a，则a＝﹣2时，点（1，2）在一次函数y＝ax+b﹣1图象上，所以D选项符合题意． 故选：D． 3.若以二元一次方程2x+y＝6的解为坐标的点P（x，y）恰好在直线上，则点P的位置在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：根据题意，将直线的解析式和二元一次方程联立方程组可得， ， 解得， ∴P（2，2）， ∴点P的位置在第一象限． 故选：A． 4.如果方程组无解，那么直线y＝（﹣2k+1）x﹣2不经过（　　） A．第一象限 B．第四象限 C．第三象限 D．第二象限 【解答】解：∵方程组无解， ∴直线y＝3x+2与直线y＝（k+1）x﹣5平行， ∴k+1＝3， 解得k＝2． 当k＝2时，直线y＝（﹣2k+1）x﹣2为y＝﹣3x﹣2， ∴直线y＝﹣3x﹣2经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故A正确． 故选：A． 5.如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法：①k＜0，b＞0；②y随x的增大而减小；③关于x，y的二元一次方程kx﹣y+b＝0必有一个解为x＝﹣2，y＝0；④当x＞﹣2时y＞0；其中正确的有（　　） A．①② B．①④ C．③④ D．②③ 【解答】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴k＞0，b＞0，y随x的增大而增大，故①②错误； 又∵图象与x轴交于（﹣2，0）， ∴kx﹣y+b＝0的解为x＝﹣2，y＝0，故③正确； 当x＞﹣2时，图象在x轴上方，y＞0，故④正确． 综上可得③④正确，共2个， 故选：C． 6.已知点A（a，p），B（b，q）是一次函数y＝﹣2x+3图象上两点，且满足，若p＞q，则t的取值范围为（　　） A．t＞5 B．t＜5 C．t＞﹣5 D．t＜﹣5 【解答】解：解方程组得：， ∵﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵p＞q， ∴a＜b， ∴2t﹣3＜t+2， 解得：t＜5， 故选：B． 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示，根据图象得到的正确结论是（　　） A．方程组的解为 B．n+b＜0 C．当x＞﹣3时，ax+b＞mx+n D．当x＝0时，ax+b＝﹣1 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象交于点（﹣3，2）， ∴方程组的解为， 故A不符合题意； 由图象可知，b＝﹣2，0＜n＜1， ∴n+b＜0， 故B符合题意； 由图象可知，当x＞﹣3时，ax+b＜mx+n， 故C不符合题意； ∵一次函数y＝ax+b图象过点（0，﹣2）， ∴当x＝0时，ax+b＝﹣2， 故D不符合题意， 故选：B． 8.函数y1＝k1x+b与y2＝k2x的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b≥k2x的解集为（　　） A．x≤﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1 【解答】解：∵当x＜﹣1时，y1＜y2， 所以关于x的不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集为x＜﹣1． 故选：B． 9.如图，一次函数y＝ax+b与y＝x+1的图象交于点P（2，m），则关于x，y的方程组的解为 　 　 ． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b与y＝x+1的图象交于点P（2，m）， ∴m＝2+1＝3， ∴一次函数y＝ax+b与y＝x+1的图象交于点P（2，3）， 则关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 10.已知二元一次方程组的解为，则函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为 　 　 ． 【解答】解：函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标，是二元一次方程组的解， 而二元一次方程组的解为， ∴函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为（﹣3，1）； 故答案为：（﹣3，1）． 11.表1和表2分别给出了两条直线：l1：y＝mx+n，（m≠0）与l2：y＝ax+b，（a≠0）上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值： 表1： x ﹣1 0 1 2 y ﹣1 1 3 5 表2： x ﹣1 0 1 2 y 5 4 3 2 则方程组：的解为　 　 ． 【解答】解：由图表可知，两直线经过点（1，3）， 所以，方程组：的解为：． 故答案为：． 12.如图，直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，﹣2），与直线y＝mx+4交于点B，方程组的解为，若点C是x轴上的动点，且S△ABC＝12，则点C的坐标为　 　 ． 【解答】解：由方程组的解为，可知：点B（3，1）， 设点C（t，0），直线AB与x轴的交点为D，如图， 点A（0，﹣2）、B（3，1）在函数y＝kx+b图象上： ，解得：， ∴y＝x﹣2， 令y＝0，则x＝2， ∴CD＝|t﹣2|， ∴， 解得：t＝﹣6或10， ∴C（﹣6，0）或（10，0）； 故答案为（﹣6，0）或（10，0）． 13.若以二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y上，则常数b＝　　 ． 【解答】解：因为以二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线yx+b﹣1上， 直线解析式乘以2得2y＝﹣x+2b﹣2，变形为：x+2y﹣2b+2＝0 所以﹣b＝﹣2b+2， 解得：b＝2， 故答案为：2． 14.根据一次函数y＝kx+b的图象，写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解是 　 　 ； （2）关于x的方程kx+b＝﹣3的解是 　 　 ； （3）当x≥0时，y的取值范围是 　 　 ． 【解答】解：（1）由图象可得， 当y＝0时，x＝2， 即kx+b＝0时，x＝2， 故答案为：x＝2； （2）由图象可得， 当y＝﹣3时，x＝﹣1， 即kx+b＝﹣3时，x＝﹣1， 故答案为：x＝﹣1； （3）根据图象可知：当x≥0时，y≥﹣2， 故答案为：y≥﹣2． 15.在如图平面直角坐标系中， （1）画出函数y＝x﹣2与y＝﹣x+4的图象； （2）根据图象写出方程组的解； （3）根据图象写出不等式x﹣2≤﹣x+4的解集． 【解答】解：（1）列表如下： x ﹣1 0 1 y＝x﹣2 ﹣3 ﹣2 ﹣1 y＝﹣x+4 5 4 3 描点、连线、画图如下： （2）原方程组可化为：， 所以方程组的解为． （3）∵当x≤3时，函数y＝x﹣2的图象在函数y＝﹣x+4的下方， ∴不等式x﹣2≤﹣x+4的解集为x≤3． 16.如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）． （1）求b的值； （2）①不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解； ②不受原题意条件限制，若n≠1，则当m＝ 　　 时，方程组无解； （3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由． 【解答】解：（1）将P（1，b）代入y＝x+1，得b＝1+1＝2； （2）①由于P点坐标为（1，2）， 所以方程组的解是； ②当m＝1时，方程组无解， 故答案为：1； （3）直线l：y＝nx+m经过点P， 理由：将P（1，2）代入解析式 y＝mx+n 得，m+n＝2， 将 x＝1代入y＝mx+m得y＝m+n， 由于m+n＝2， 所以y＝2， 故P（1，2）也在直线y＝nx+m上． 17.如图，直线l1：y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝kx+b与y轴相交于点C（0，1），与直线l1相交于点D． （1）填空： ①线段AB的长度为 　 　 ； ②方程组的解为 　 　 ； （2）结合图形直接写出kx+b＞﹣x+4＞0的解集； （3）求△BCD的面积． 【解答】解：（1）①由条件可知A（4，0），B（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∴， ∴线段AB的长度为， 故答案为：； ②∵直线l1：y＝﹣x+4与直线l2：y＝kx+b交于点D（1，3）， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）当1＜x＜4时，直线l1：y＝﹣x+4的图象在直线l2：y＝kx+b的下方且在x轴的上方， ∴kx+b＞﹣x+4＞0的解集为1＜x＜4； （3）∵B（0，4），C（0，1），D（1，3）， ∴BC＝4﹣1＝3， ∴， ∴△BCD的面积为． 18.【阅读理解】一般地，在平面直角坐标系中，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．二元一次方程的每一个解都是其图象上的一个点的坐标；反之，二元一次方程的图象上每一个点的坐标都是该方程的一个解．例如：二元一次方程x﹣y＝1的一个解就是其图象上一个点的坐标（3，2），反之，二元一次方程x﹣y＝1的图象上一个点的坐标（3，2）就是该方程的一个解． 【问题解决】在平面直角坐标系中，已知关于x，y的二元一次方程2x+y＝m+2和x﹣y＝2m+1． （1）将点A（2，﹣1）向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，当m＝2时，试判断点B是否在二元一次方程2x+y＝m+2的图象上？并说明理由； （2）若二元一次方程2x+y＝m+2和x﹣y＝2m+1的图象交于点C，且点C在第二象限时，求m的取值范围； （3）点P（2，y1），Q（2，y2）分别在二元一次方程2x+y＝m+2和x﹣y＝2m+1的图象上，且P，Q之间的距离为6，求点P，Q的纵坐标． 【解答】解：（1）当m＝2时，点B在二元一次方程2x+y＝m+2的图象上．理由如下： 由题意，∵点A（2，﹣1）向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B， ∴B（1，2）． 又∵当m＝2时，2x+y＝m+2＝4，即2x+y＝4， ∴当x＝1，y＝2时，满足2x+y＝4． ∴当m＝2时，点B在二元一次方程2x+y＝m+2的图象上． （2）由题意，联列方程组， ∴． ∵二元一次方程2x+y＝m+2和x﹣y＝2m+1的图象交于点C，且点C在第二象限， ∴． ∴． ∴m＜﹣1． （3）由题意，∵点P（2，y1），Q（2，y2）分别在二元一次方程2x+y＝m+2和x﹣y＝2m+1的图象上， ∴y1＝m+2﹣4＝m﹣2，y2＝2﹣2m﹣1＝1﹣2m． 又∵P，Q之间的距离为6， ∴|m﹣2﹣（1﹣2m）|＝6． ∴m＝3或m＝﹣1． ∴当m＝3时，点P，Q的纵坐标分别为1，﹣5；当m＝﹣1时，点P，Q的纵坐标分别为﹣3，3． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.3一次函数与二元一次方程 一、主要知识点 知识点1 一次函数与二元一次方程 （1）一次函数图像上点的坐标就是方程的解 （2）以方程的解为坐标的点在一次函数图像上。 【例1】以方程x﹣2y＝4的解为坐标的所有点组成的图象是一条直线，则这条直线对应的一次函数的解析式为（　　） A．y＝x﹣2 B． C．y＝x+2 D．y＝2x﹣8 【例2】已知下面四条直线，则其中直线上的每个点的坐标都是二元一次方程2y﹣x＝﹣2的解是（　　） A．B．C．D． 知识点2 一次函数与二元一次方程组 （1）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点. （2）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. （3）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 【例3】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+3的图象相交于点M（a，6），则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【例4】已知二元一次方程组的解为，则在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3与y＝x+1图象的交点坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1） 【例5】已知关于x，y的二元一次方程组无解，则一次函数y＝kx﹣7的图象不经过的象限是（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 知识点3 利用一次函数图像解不等式（组） （1）当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【例6】如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（1，0），与y＝﹣x﹣2的图象交于点P（2，﹣4），则下列说法正确的是（　　） A．方程kx+b＞0的解集是x＞1 B．方程kx+b＝﹣x﹣2的解是x＝1 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式kx+b＞﹣x﹣2的解集是x＜2 二、巩固练习 1.如图，直线y＝kx+b（k≠0）与y＝2x交于点A，则不等式kx+b＞2x的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＞1 D．x＜1 2.若不等式ax+b＞1的解集是x＜2，则下列各点可能在一次函数y＝ax+b﹣1图象上的是（　　） A．（3，0） B．（3，1） C．（1，﹣1） D．（1，2） 3.若以二元一次方程2x+y＝6的解为坐标的点P（x，y）恰好在直线上，则点P的位置在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.如果方程组无解，那么直线y＝（﹣2k+1）x﹣2不经过（　　） A．第一象限 B．第四象限 C．第三象限 D．第二象限 5.如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法：①k＜0，b＞0；②y随x的增大而减小；③关于x，y的二元一次方程kx﹣y+b＝0必有一个解为x＝﹣2，y＝0；④当x＞﹣2时y＞0；其中正确的有（　　） A．①② B．①④ C．③④ D．②③ 6.已知点A（a，p），B（b，q）是一次函数y＝﹣2x+3图象上两点，且满足，若p＞q，则t的取值范围为（　　） A．t＞5 B．t＜5 C．t＞﹣5 D．t＜﹣5 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示，根据图象得到的正确结论是（　　） A．方程组的解为 B．n+b＜0 C．当x＞﹣3时，ax+b＞mx+n D．当x＝0时，ax+b＝﹣1 8.函数y1＝k1x+b与y2＝k2x的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b≥k2x的解集为（　　） A．x≤﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1 9.如图，一次函数y＝ax+b与y＝x+1的图象交于点P（2，m），则关于x，y的方程组的解为 　 　 ． 10.已知二元一次方程组的解为，则函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为 　 　 ． 11.表1和表2分别给出了两条直线：l1：y＝mx+n，（m≠0）与l2：y＝ax+b，（a≠0）上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值： 表1： x ﹣1 0 1 2 y ﹣1 1 3 5 表2： x ﹣1 0 1 2 y 5 4 3 2 则方程组：的解为　 　 ． 12.如图，直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，﹣2），与直线y＝mx+4交于点B，方程组的解为，若点C是x轴上的动点，且S△ABC＝12，则点C的坐标为　 　 ． 13.若以二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y上，则常数b＝　　 ． 14.根据一次函数y＝kx+b的图象，写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解是 　 　 ； （2）关于x的方程kx+b＝﹣3的解是 　 　 ； （3）当x≥0时，y的取值范围是 　 　 ． 15.在如图平面直角坐标系中， （1）画出函数y＝x﹣2与y＝﹣x+4的图象； （2）根据图象写出方程组的解； （3）根据图象写出不等式x﹣2≤﹣x+4的解集． 16.如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）． （1）求b的值； （2）①不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解； ②不受原题意条件限制，若n≠1，则当m＝ 　　 时，方程组无解； （3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由． 17.如图，直线l1：y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝kx+b与y轴相交于点C（0，1），与直线l1相交于点D． （1）填空： ①线段AB的长度为 　 　 ； ②方程组的解为 　 　 ； （2）结合图形直接写出kx+b＞﹣x+4＞0的解集； （3）求△BCD的面积． 18.【阅读理解】一般地，在平面直角坐标系中，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．二元一次方程的每一个解都是其图象上的一个点的坐标；反之，二元一次方程的图象上每一个点的坐标都是该方程的一个解．例如：二元一次方程x﹣y＝1的一个解就是其图象上一个点的坐标（3，2），反之，二元一次方程x﹣y＝1的图象上一个点的坐标（3，2）就是该方程的一个解． 【问题解决】在平面直角坐标系中，已知关于x，y的二元一次方程2x+y＝m+2和x﹣y＝2m+1． （1）将点A（2，﹣1）向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，当m＝2时，试判断点B是否在二元一次方程2x+y＝m+2的图象上？并说明理由； （2）若二元一次方程2x+y＝m+2和x﹣y＝2m+1的图象交于点C，且点C在第二象限时，求m的取值范围； （3）点P（2，y1），Q（2，y2）分别在二元一次方程2x+y＝m+2和x﹣y＝2m+1的图象上，且P，Q之间的距离为6，求点P，Q的纵坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$