5.2 一元一次方程的解法 解法 课件 -2025-2026学年北师大版数学七年级上册

一元一次方程的 解法 5.2一元一次方程的解法 知识回顾 方程 一元一次方程的概念 方程的识别 认识方程 方程的解 已知方程的解求字母参数的值 由等量关系列一元一次方程 5.2一元一次方程的解法 5.2一元一次方程的解法 新课导入 方程是含有未知数的等式，解方程自然要研究等式的基本性 质。等式有哪些基本性质呢?我们不难理解下面两个基本事实： (1)如果a=b, 那么b=a; 等式的对称性 (2)如果a=b,b=c, 那么a=c 。 等式的传递性 除此之外，等式还有哪些基本性质呢? 5.2一元一次方程的解法 思考 · 交流 (1)等式的两边都加(减)、乘(除以)同一个数，等式还成立吗? 成立 等式的两边都加(减),乘(除以)同一个数，等式仍成立， 但要注意除以同一个数时，这个数不能为0. 5.2一元一次方程的解法 (2)你能借助图5-1的天平解释自己的发现吗?与同伴进行交流。 0ndnn 图5-1 在天平两端分别放入或拿出相同质量的物品，天平仍保 持平衡。 5.2一元一次方程的解法 等式的基本性质 等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式。 等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得 结果仍是等式。 用字母可以表示为： 如果 a=b, 那么 a+c=b+c, 如果a=b, 那么 ac=bc, a= a—c=b 一c (c≠ 0) O O 5.2一元一次方程的解法 尝试 · 思考 (1)如图5-2,小明用天平解释了方程5x=3x+2 的变形过程， 你能明白他的意思吗? 5x=3x+2 2x=2 x=1 图5-2 5x=3x+2 每个小球代表x, 每个砝码代表1,天平左侧有5个小球，表 示 5x, 右侧有3个小球、2个砝码，表示3x+2. 5.2一元一次方程的解法 2x=2 天平左、右两侧各取出3个小球，天平仍平衡，则有2x=2. 5.2一元一次方程的解法 x=1 x=1. 天平左侧取1个小球，右侧取1个砝码，天平仍平衡，即 5 . 2 一 元 一 次 方 程 的 解 法 5.2一元一次方程的解法 (2)请用等式的基本性质解释方程5x=3x+2 的上述变形过程。 等式5x=3x+2, 等号两边都减3x, 得 2x=2, 等号两 边都除以2,得x=1. 例1 解 方 程 ： (1)x+2=5; 解 ：方程的两边都减2,得 x+2—2=5—2. 于是x=3。 5 . 2 一 元 一 次 方 程 的 解 法 5.2一元一次方程的解法 (2)3=x-5。 解：方程的两边都加5,得 3+5=x-5+5。 于是 8= x 。 解方程是逐步把 习惯上，我们写成x=8。 方程转化为x=a 的形式 。 例如，把x=3 代入方程x+2=5, 左边=3+2=5, 右边=5,左边=右边，所以x=3 是方程x+2=5 的解。 5.2一元一次方程的解法 怎么确定x=a 是否是方程的解? 把求出的解代入原方程，可以检验解方程是否正确。 5.2一元一次方程的解法 例2 解 方 程 ： (1)一3x=15; 解：方程的两边都除以—3,得 3=15。 化简，得 x=—5. 解：方程的两边都加2,得 化 简 ， 得 方 程 的 两 边 都 乘 — 3 , 得 n=-36. 5.2一元一次方程的解法 (2) 1. 解方程： (1)x—9=8; 解：方程两边都加9,得 x-9+9=8+9. 于是 x=17. 随堂练习 5.2一元一次方程的解法 化 简，得 y=-21. 方程两边都乘- 1, 得 y =21. (2)5—y=-16; 解 ： 方 程 两 边 都 减5 ,得5 - y — 5 = - 1 6 - 5 . 5.2一元一次方程的解法 (3)3x+4=-13; 方程两边都除以3,得 解 ：方程两边都减4,得 3x+4-4=-13-4. 化简，得 3x=—17. 5.2一元一次方程的解法 (4) 解：方程两边都加1,得 1+1=5+1. 化简，得 方程两边都除以 , 得 x= 9. 5.2一元一次方程的解法 2.小红编了一道题： “我是4月出生的，我年龄的2倍加6,正好 是我出生那个月的总天数，你猜我有多少岁?”请你求出小红 的 年 龄 。 解： 设 小 红 的 年 龄 是 x 岁 . 由题 意， 得 2x+6=30. 方程的两边都减6,得2x+6-6=30—6. 化简，得 2x=24. 方程的两边都除以2,得 x=12. 因此，小红的年龄是12岁. 5.2一元一次方程的解法 5.2一元一次方程的解法 课堂小结 如果a=b, 那 么a±c=b±c 如果a=b, 那么ac=bc,“=(c≠0) 利用等式的基本性质把方程“化 归”为最简单的形式x =a 基本性质1 基本性质2 利用等式大的基 本性质解方程 等式的基本性质 5.2一元一次方程的解法 5.2一元一次方程的解法 新课导入 等式的基本性质 等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式. 等边的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得 结果仍是等式. 5.2一元一次方程的解法 新课讲解 解 方 程 ：5x—2=8。 方程的两边都加2,得 5x—2+2=8+2, 也就是 5x=8+2. 观察比较 5.2一元一次方程的解法 比较这个方程与原方程，可以发现，这个变形相当于 5x—2=8, 5x=8 +2 即把原方程中的一2改变符号后，从方程的一边移到另一边， 这种变形称为移顶(transposition of terms)。 5.2一元一次方程的解法 用移项的方法解方程：5x-2=8. 因此，解方程的过程可以简化为： 移项，得 5x=8+2。 化简，得 5x=10。 方程的两边都除以5,得 x=2。 5.2一元一次方程的解法 例3 解 方 程 ： (1)2x+6=1; 解：移项，得 2x=1-6。 化 简，得 2x=-5。 方程的两边都除以2,得. 5.2一元一次方程的解法 (2)3x+3=2x+7. 解：移项，得 3x—2x=7—3。 合并同类项，得 x=4。 5.2一元一次方程的解法 例4 解 方 程 ： 解：移项，得 合并同类项，得 方程的两边都除以 , 得 x=4。 5.2一元一次方程的解法 思考 ·交流 在上面解方程的过程中，移项的依据是什么?目的是什么?与 同伴进行交流。 移项的依据是等式的两边都加(减)同一个代数式，所得结果 仍是等式 . 目的是将未知数和数字分别放在“三”两侧. 1. 解 方 程 ： (110x—3=9; 解 ：移项，得 合并同类项，得 方程的两边都除以10, 得 . 10x=9+3. 10x=12. 随堂练习 5.2一元一次方程的解法 (2)5x-2=7x+8; 方程的两边都除以一2,得x=-5. 解 ： 移 项 ， 得 5 x — 7 x = 8 + 2 . 合并同类项，得 —2x= 10. 5.2一元一次方程的解法 (3) 解：移项，得 合并同类项，得 方程的两边都除以 9 得 x=-32. 5.2一元一次方程的解法 (4) 解：移项，得 合并同类项，得 方程的两边都除以 得 5.2一元一次方程的解法 把原方程的某一项改变符号后，从方程 的一边移到另一边，这种变形称为移项 移项 注意：移项一定要变符号 合并同类项 系数化为1 5.2一元一次方程的解法 课堂小结 解一元一次 方程的步骤 移 项 概念 5.2一元一次方程的解法 5.2一元一次方程的解法 新课讲解 小颖在超市买了1袋牛奶和4瓶矿泉水，她付给售货员20元， 售货员找回3元。已知1瓶矿泉水比1袋牛奶贵0.5元，你能算 出1袋牛奶多少钱吗? 你列出了怎样的方程? 如果设1袋牛奶x 元，那么可列出方程 x+4(x+0.5)=20-3。 5.2一元一次方程的解法 尝试 ·思考 (1)上面这个方程列得对吗?为什么?你还能列出不同的方程吗? 对 1袋牛奶价格+4瓶矿泉水价格二总价 1袋牛奶价格+ 4×(1袋牛奶的价格+0.5)=给 付的钱一找回的钱 x + 4(x+0.5=20-3 5.2一元一次方程的解法 你还能列出不同的方程吗? 如果设1瓶矿泉水y元 列出方程：(y—0.5)+4y=20-3 1袋牛奶价格+ 4瓶矿泉水价格三总价 1瓶矿泉水的价格—0.5 + 4瓶矿泉水的价格= 给付的钱一找回的钱 L —0.5 + 4y 20-3 5.2一元一次方程的解法 (2)怎样解所列的方程? 去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1. x+4(x+0.5)=20—3 去括号，得 x+4x+2=20-3 移项，得 x+4x=20-3-2 合并同类项，得 5x=15 方程的两边都除以5, 得 x=3 5.2一元一次方程的解法 通过以上解方程的过程，总结出解含有括号的一元 一次方程的一般步骤。 去括号 移项 合并同类项 未知数的系数化为1 5.2一元一次方程的解法 例5 解方程：1+6x=2(3-x)。 解：去括号，得 1+6x=6—2x, 移项，得 6x+2x=6-1, 合并同类项，得 8x=5, 方程的两边都除以8, 得 5.2一元一次方程的解法 例6 解方程：一2(x-1)=4。 解法一：去括号，得 一2x+2=4。 移项，得 —2x=4-2。 化 简，得 — 2x=2。 方程的两边都除以一2,得 x=-1。 直接去括号求解 5.2一元一次方程的解法 例6 解方程： 一2(x-1)=4。 解法二：方程的两边都除以-2, 得 x—1=—2。 移项，得 x=-2+1。 化 简，得 x=- 1。 把x-1 作为一个整体，把原方程看成关于x-1 的一元一次方程 进行求解。 5.2一元一次方程的解法 思考 · 交流 观察例6两种解方程的方法，说出它们的区别，并与同伴进 行交流 。 解法一是先去括号再求解， 解法二是把方程看成关于x-1 的一元一次方程进行求解. 通过比较两种解法，可知解法二较为简便，且不易出现解法 一中去括号时可能发生的错误. 1. 解 方 程 ： (1)5(x—1)=1; (2)2—(1—x)=-2; (3)11x+1=5(2x+1); (4)4x—3(20—x)=3; (5)5(x+8)一5=0; (6)2(3—x)=9; (7)一3(x+3)=24; (8)一2(x—2)=12。 随堂练习 5.2一元一次方程的解法 (1)5(x-1)=1; 解 ：去括号，得 5x-5=1 移 项， 得 5x=1+5 化 简， 得 5x=6 方程两边都除以5,得 x=6 5.2一元一次方程的解法 (2)2—(1—x)=-2; 解：去括号 ， 得2 - 1 + x = - 2 移项，得 x=-2-2+1 化简，得 x=-3. 5.2一元一次方程的解法 (3)11x+1=5(2x+1); 解 ：去括号，得 11x+1=10x+5 移 项 ， 得 1 1 x — 1 0 x = 5 - 1 化简， 得 x=4 5.2一元一次方程的解法 (4)4x—3(20—x)=3; 解 ： 去 括 号 ， 得 4 x — 6 0 + 3 x = 3 移 项，得 4x+3x=3+60 化 简，得 7x=63 方程两边都除以7,得 x=9 5.2一元一次方程的解法 解：移项，得 化简，得 5(x+8) =5 方程两边都除以5,得 x+8=1 移项、化简，得 x = 一7 ( 5 ) 5 ( x + 8 ) 一 5 = 0 ; 5(x+8)=0+5 5.2 一元一次方程的解法 (6)2(3—x)=9; 解：去括号，得 6—2x=9 移项，得 —2x=9—6 化简，得 一2x=3 方 程 两 边 都 除 以 一 2 , 得 5.2 一元一次方程的解法 ( 7 )一3 ( x + 3 ) = 2 4 ; 解 ：去括号，得 —3x—9=24 移项，得 —3x=24+9 化简，得 —3x=33 方程两边都除以-3, 得 x= 11 5.2一元一次方程的解法 化 简，得 —2x=8 解：去 括 号，得 —2x+4=12 移 项，得 一 2x=12-4 ( 8 )一2 ( x — 2 ) = 1 2。 方程两边都除以一2,得 x=-4 5.2一元一次方程的解法 5.2一元一次方程的解法 课堂小结 去括号解方程的步骤： ①去括号； ② 移 项 ； ③合并同类项； ④系数化为1. 5.2一元一次方程的解法 注 意 去括号时， 一是要看清括号前面的符号；二是括号前 的系数要与括号里的每一项相乘. 5.2一元一次方程的解法 例7 解方程： 观察方程 , 它与 之前求解的方程有什么不同? 括号前面的系数是分数 如何解方程 分数系数 整数系数 新课讲解 5.2一元一次方程的解法 5.2一元一次方程的解法 例7 解 方 程 ： 解法一：去括号，得 移项、合并同类项，得 方程的两边都除以 得 —2x=2。 解法二：去分母，得 4(x+14)=7(x+20)。 去括号，得 4x+56=7x+140。 移项、合并同类项，得 —3x= 84。 方程的两边都除以—3,得 x=-28. 5.2一元一次方程的解法 例7 解 方 程 ： 方程的两边都除以 得 - 2x=2。 方程的两边都除以 3 , 得 x=-28。 两种解法有什么不同? 解法一：按去括号、移项、合并同类项、未知数的系数 化为1的步骤进行求解； 解法二：先去分母，将括号外的分数系数转化为整数系 数，然后再类似解法一的步骤来解. 解法二：去分母，得 4(x+14)=7(x+20)。 去括号，得 4x+56=7x+140。 移项、合并同类项，得 —3x=84。 解法一：去括号，得 移项、合并同类项，得 5.2一元一次方程的解法 5.2一元一次方程的解法 思考 · 交流 解一元一次方程有哪些步骤?与同伴进行交流。 解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合 并同类项、 未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方 程“转化”成x=a 的形式。 解 ：去分母，得 6(x +15)=15-1 0(x-7 ), 去括号，得 6x+90=15—10x+70, 移项、合并同类项，得 1 6 x = - 5 , 方 程 的 两 边 都 除 以 1 6 , 得 解方程： 例8 5 . 2 一 元 一 次 方 程 的 解 法 移项、合并同类项，得 9 解：去括号，得 方程的两边都除以 得 5.2一元一次方程的解法 如 果 先 去 括 号 呢 ? 例 8 解 方 程 ： 解：去分母，得 3(3一x)=2(x+4). 去括号，得 9—3x=2x+8. 移项、合并同类项，得一5x=-1. 方程的两边都除以一5,得 随堂练习 5.2一元一次方程的解法 1. 解 方 程 ： 解：去分母，得 7(x+1)=3(2x—3). 去 括 号， 得 7x+7=6x—9 移项、合并同类项，得 x=-16. 5.2一元一次方程的解法 解：去分母，得 4(x+2)=5x. 去括号，得 4x+8=5x. 移 项 、 合 并 同 类 项 ， 得 一 x = - 8 . 方程的两边都除以- 1,得 x=8. 5.2一元一次方程的解法 解：去分母，得 3(x+1)=4(x-1). 移项、合并同类项，得 —x=-7. 方程的两边都除以一1,得 x=7. 去括号，得 3x+3=4x—4. 5.2一元一次方程的解法 解 ： 去 分 母 ， 得 4(2x-1)=3(x+2) 一 1 2 . 去 括 号 ， 得 8x—4=3x+6-12. 移项、合并同类项，得 5x=-2. 方程的两边都除以5,得 5.2 一元一次方程的解法 解 ： 去 分 母 ， 得 5 ( x - 1 ) = 2 0 — 2 ( x + 2 ) . 去括号，得 5x-5=20 一2x—4. 移项、合并同类项，得 7x=21. 方程的两边都除以7,得 x=3. 5.2一元一次方程的解法 解一元一次方程的步骤 步骤 根据 注意事项 去分母 等式的基本性质2 ①不漏乘不含分母的项； ②注意给分子添括号、去括号 去括号 乘法对加法的分配 律、去括号法则 ①不漏乘括号里的项； ②括号前是“一”号，要变号 移项 移项法则 移项要变号 合并同类项 合并同类项法则 系数相加，不漏项 未知数的系数化为1 等式的基本性质2 乘分数系数的倒数时不要出错 课堂小结 5.2一元一次方程的解法 5.2一元一次方程的解法 》〉知识技能 1.解 方 程 ： (1)x+21=36; 合 并 同 类 项 ， 得 x = 1 5 . 解：移项，得 x=36—21. 5.2一元一次方程的解法 方 程 的 两 边 都 除 以 一 6 , 得 移项、合并同类项，得 一6x 5 . 解 ：去分母，得 2=6x—3. 5 . 2 一 元 一 次 方 程 的 解 法 (2) ● C 5.2一元一次方程的解法 (3)4y-2=3-y; 解：移项、合并同类项，得 5y=5. 方程的两边都除以5,得 y=1. (4) 解：去分母，得 6x-1= 一x+6. 移项、合并同类项，得 7x=7. 方程的两边都除以—6,得x=1. 2.求解由习题5.1第1(1(2)(4)题、第4题列出的方程。 1. (1) ● (2)40+5x=100. (4)3000+1500x=19500. 4.(1)5x+7=7x—9. 2) 5 . 2 一 元 一 次方程的解法 5.2一元一次方程的解法 1.(1) 解：移项、合并同类项，得 方程的两边都除以 , 得 x=84. (2)40+5x=100. 解 ：移项、合并同类项，得5x=60。 方程的两边都除以5,得 x=12. (4)3000+1500x=19500. 解：移项、合并同类 项 ，得1500x=16500 . 方程的两边都除以1500,得 x=11. 解 ： 移 项 、 合 并 同 类 项 ， 得 — 2 x = - 1 6 . 方程的两边都除以 一2 , 得 x=8. 4.(1)5x+7=7x—9. 5 . 2 一 元 一 次 方 程 的 解 法 解：去分母，得 7(y-7)=5(y+9) 去括号，得 7y—49=5y+45. 移项 、合 并同类项，得2y=94. 方程的两边都除以2,得y=47. (2) 5.2一元一次方程的解法 方 程 的 两 边 都 除 以 — 4 0 , 得 移项、合并同类项，得 40x 20. (1)12(2-3x)=4x+4; 3 . 解方程 ： 解 ：去括号， 得 24-36x=4x+4. 5 . 2 一 元 一 次方程的解法 (2) 解：去括号，得 方程的两边都除以—3,得 ● 5.2一元一次方程的解法 移项、 合并 同类项，得 一 去 括 号 ， 得 1 0x+675—15x=475. 移 项、合并同类项，得 一 5x=—200. 4.求解本章第1节中的方程10x+15(45—x)=475 。 方 程 的 两 边 都 除 以 一 5 , 得 x=40. 解：10x+15(45—x)=475. 5 . 2 一 元 一 次方程的解法 解 ：去分母，得2(7x-5)=3 . 去括号，得14x-10=3. 移项、合并同类项，得14x=13. 5.解方程： (1) 方 程 的 两 边 都 除 以 1 4 , 得 5 . 2 一 元 一 次 方 程 的 解 法 移项、合并同类项，得 —7x=7. 方程的两边都除以一7,得 x=-1. 去括号，得 8x—4=15x+3. 解：去分母，得 4(2x—1)=3(5x+1). 5.2一元一次方程的解法 (2) 移项、合并同类项，得 方程的两边都除以 , 得 5.2一元一次方程的解法 解：去分母，得 (6) 5.2一元一次方程的解法 》〉数学理解 6.设 “● ”表示三种不同的物体，现用天平称了 两次，情况如图所示： 99 66 99 66 5.2一元一次方程的解法 》〉问题解决 8.地球上的海洋面积约为陆地面积的2.4倍，地球的表面积约为 5.1亿km², 求地球上的海洋面积和陆地面积。 解 ：设地球上的陆地面积为x 亿 km², 则海洋面积为2.4x 亿 km². 由题意，得 x+2.4x=5.1, 即3.4x=5.1. 成的，黑、白皮块的数量比为3:5。 一个足球的表面一共有32 个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少? 解：设黑色皮块有3x 个，白色皮块有5x 个 . 根据题意，得3x+5x=32, 解这个方程，得x=4. 则3x=3×4=12,5x=5×4=20. 因此，黑色皮块有12个，白色皮块有20个。 5.2一元一次方程的解法 9.如图，足球的表面是由若干黑色五边形和白色六边形皮块围 5.2一元一次方程的解法 10. 某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托 运 20 kg 行李，超出部分每千克按经济舱全票价的1.5%计 费。一名经济舱旅客托运了35 kg 行李，行李费连同八折机 票共付1107元，求该旅客机票的全票价。 解：设该旅客机票的全票价为x 元 . 由题意，得(35—20)×1.5%x+0.8x=1107. 解这个方程，得x=1080. 因此，该旅客机票的全票价为1080元。 5.2一元一次方程的解法 11.一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将这两个数字对 调后得到的两位数比原来的两位数小36,求原来的两位数。 解：设原两位数的个位数字为x, 则十位数字为 由题意，得(10×2x+x) 一(10x+2x)=36. 解这个方程，得x=4, 则 2x=8, 原两位数为8×10+4=84. 因此，原来的两位数为84. 父 年 龄 的 由 出 题 意 ， 得 6 十 解这个方程，得 x=16 因 此 ， 1 6 年 后 小 川 的 年 龄 是 他 祖 父 年 龄 的 解：设x 年后小川的年龄是他祖父年龄的 12.小 川今年6岁，他的祖父72岁。几年后小川的年龄是他祖 5 . 2 一 元 一 次 方 程 的 解 法 5.2一元一次方程的解法 13.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿。现有蜘蛛、蜻蜓若干只，它 们共有120条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍。蜘蛛、蜻蜓 各有多少只? 解 ：设有x 只蜘蛛，则有2x 只蜻蜓。 由题意，得8x+6×2x=120. 解这个方程，得 x=6, 则 2x=12. 因此，蜘蛛有6只，蜻蜓有12只。 等式的基本性质 解方程 去分母 去括号 一般步骤 移项 合并同类项 未知数的系数化为1 5 . 2 一 元 一 次 方 程 的 解 法 一元一次方程 的解法 $$