3.8 三元一次方程组 课件 2025—2026学年湘教版数学七年级上册

湘教版数学七年级上册 第3章 一次方程（组） 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 3.8 三元一次方程组 目录 壹 学习目标 贰 新课导入 叁 新知探究 肆 随堂练习 伍 课堂小结 第壹章节 学习目标 学习目标 1.知道三元一次方程组的概念. 2.会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会“消元”的思想，发展运算能力. 3.会列三元一次方程组解决简单的实际问题，发展模型观念和应用意识. 第贰章节 新课导入 新课导入 代入消元法 加减消元法 解一元一次方程 二元一次方 程组的解法 “多元” “一元” 消元 化归转化的思想 第叁章节 新知探究 新知探究 已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的 2 倍，百位数字是十位数字的 3 倍，三位数字之和为 12，这个三位数是什么？ 问题1：题中有未知量？你能找出哪些等量关系？ 三元一次方程（组）的概念 未知量： 个位数字 十位数字 百位数字 每一个未知量都用一个字母表示 x 岁 y 岁 z 岁 三个未知数(元) 等量关系： (1) 个位数字＝2(十位数字＋百位数字) (2) 百位数字＝3×十位数字 (3) 个位数字 + 十位数字 + 百位数字＝12 用方程表示等量关系. x＋y＋z＝12 ③ x＝2(y＋z) ① z＝3y ② 问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？ 二元一次方程 含两个未知数 未知数的次数都是 1 含三个未知数 未知数的次数都是 1 三元一次方程 x＋y＋z＝12 ③ x＝2(y＋z) ① z＝3y ② 因这个三位数各位上的数字必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起. 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作三元一次方程组. 一般地，三元一次方程组含有三个方程. 总结 x＋y＋z＝12. ③ x＝2(y＋z)， ① z＝3y， ② 对于未知数为 x， y，z 的三元一次方程组，若 x， y，z 分别用数 c1，c2，c3 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把 (c1，c2，c3 ) 叫作这个方程组的一个解. z＝c3 . x＝c1， y＝c2， 记作 1. 下列方程组不是三元一次方程组的是 ( ) C 判断关键：①整式方程；②共含三个未知数；③含有未知数的项的系数都是1. 总结 问题3：如何解这个方程呢？ 可以消元求解！ x＋2y－4z＝－5 ③ x＋y＋2z＝3， ① －x－y＋z＝－3，② 解三元一次方程组 将方程①两边同乘 2，得 2x＋2y＋4z＝6. ④＋②，得 y＋5z＝3. ⑤ ①－③，得 －y＋6z＝8. ⑥ 解由方程⑤和⑥组成的二元一次方程组，得 y＝－2，z＝1. 把 y＝－2，z＝1 代入方程①，得 x＝3. 因此， 是原三元一次方程组的解. z＝1 x＝3， y＝－2， x＋2y－4z＝－5 ③ x＋y＋2z＝3， ① －x－y＋z＝－3，② x＋y＋z＝－2 5x＋4y＋z＝0， 3x＋y－4z＝1， ① ② ③ 例1 解三元一次方程组： 解 ③×5－①，得 y＋z＝－10. ④ ③×3－②，得 2y＋7z＝－7. ⑤ ④×2－⑤，得 z＝－13. 把 z 用－13 代入方程④，得 y＝42. 把 y 用42，z 用－13 代入方程③，得 x＝－31. 因此， 是原三元一次方程组的解. z＝－13 x＝－31， y＝42， 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 解三元一次方程的基本思路： 消元的方法仍是代入消元法或加减消元法. 3x＋y－5z＝－14. 5x－3y＋2z＝－15， 2x－y＋3z＝－9， ① ② ③ 例2 解三元一次方程组： 解 ②×3－①，得 x＋7z＝－12. ④ ②＋③，得 5x－2z＝－23. ⑤ ④×5－⑤，得 37z＝－37. 把 z 用－1 代入方程④，得 z＝－1. 把 x 用 －5，z 用－1 代人方程②，得 y＝－4. 因此， 是原三元一次方程组的解. z＝－1 x＝－5， y＝－4， 两边都除以 37，得 x＝－5. 已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的 2 倍，百位数字是十位数字的 3 倍，三位数字之和为 12，这个三位数是什么？ 自己动手求出开篇的三位数，并将结果与同学进行对比. 解：设个位数字为 x，十位数字为 y，百位数字为 z. 根据题意，所求方程组为 x＋y＋z＝12. ③ x＝2(y＋z)， ① z＝3y， ② 将②代入①，得 x = 8y ④ 将②、④代入③，得 y = 1. 把 y 用 1 代入方程②，得 z = 3. 把 y 用 1 代入方程④，得 x = 8. 因此， 是原三元一次方程组的解. z＝3 x＝8， y＝1， 所以这个三位数为 318. 根据题意，所求方程组为 x＋y＋z＝12. ③ x＝2(y＋z)， ① z＝3y， ② 2. 今年小新一家三口的岁数总和是 80 岁，爸爸比妈妈大 3 岁，妈妈的岁数恰好是小新岁数的 5 倍. 问：今年爸爸、妈妈和小新分别几岁? 等量关系: (1) 爸爸年龄 + 妈妈年龄 + 小新年龄 = 80； (2) 爸爸年龄 = 妈妈年龄 + 3； (3) 妈妈年龄 = 小新年龄×5. 解：设爸爸年龄 x 岁、妈妈年龄 y 岁、小新 年龄 z 岁. 将③代入②，得 x = 5z + 3； ④ 将③④代入①，得 z = 7； 将 z = 7 代入③④得 ① ② ③ 由题意，得 第肆章节 随堂练习 随堂练习 1.解下列三元一次方程组： ① ② ③ 解：(1) ②+③，得 ④-①，得 把y用6代入方程①，得 把x用1代入方程③，得 因此，是原三元一次方程组的解. x+2y=13. ④ y=6. x=1. z=-6. 【课本P132 练习】 1.解下列三元一次方程组： ① ② ③ (2) ③×2-①，得 ③×3-②，得 ⑤-④，得 把y用-5代入方程④，得 因此，是原三元一次方程组的解. y+7z=-19. ④ 11y+7z=-69. x=8. z=-2. ⑤ 10y=-50， 两边同时除以10，得 y=-5. 把z用-2，y用-5代入方程③，得 2. 有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为15岁，乙、丙的年龄之和为16岁，丙、甲的年龄之和为17岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？ 解得 解：设甲、乙、丙三人的年龄分别为 x 岁，y 岁，z 岁， 则 答：甲、乙、丙三人的年龄分别为8岁，7岁，9岁. 第伍章节 课堂小结 课堂小结 三元一次方程组 定义 含未知数的项的次数都是 1 含有 3 个未知数 解答思路 化“三元”为“二元” 一般有三个方程 湘教版数学七年级上册 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 谢谢观看 $$