3.1 等量关系与方程 课件-2025-2026学年湘教版数学七年级上册

湘教版数学七年级上册 第3章 一次方程（组） 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 3.1 等量关系和方程 目录 壹 学习目标 贰 新课导入 叁 新知探究 肆 随堂练习 伍 课堂小结 第壹章节 学习目标 学习目标 1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义. 2.通过观察、思考，归纳出一元一次方程的概念，发展抽象能力. 3.理解方程的解的意义，经历估计方程的解的过程，会检验一个数是不是方程的解. 第贰章节 新课导入 新课导入 《九章算术》是我国现存最古老的数学经典著作之一. “程，课程也，群物总杂，各列有数，总言其实. 令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.” ——刘徽 请试着列式解决下列问题： (1) 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛.比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分. 若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，赢了12场，问篮球队一共得了多少分？ 2×12+1×(14-2) =26 (分) (2) 如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2 m，宽为1 m，高为1 m，这个长方体的表面积是多少？ 长方体的表面积=(长×宽+宽×高+长×高)×2 (1.2×1+1×1+1.2×1)×2 =6.8 (m²) 第叁章节 新知探究 新知探究 问：(1) 其中蕴含怎样的等量关系? 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年 9 月举办了一次中学生篮球联赛. 比赛规则为：胜一场得 2 分，输一场得 1 分. 若某校初中男子篮球队参加了 14 场比赛，共得 26 分. 胜的场数得分＋输的场数得分＝总得分. 2×胜/输的场数 胜的场数＋输的场数＝14. 1×输的场数 等量关系和方程 （2）如果设该队胜了 x，则该队输了 场.又由于胜一场得 2 分，输一场得 1 分，因此可得以下等式： 2x + (14 - x) = 26 (14－x) 下图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为 1.2 m， 高为 1 m，表面积为 6.8 m2. 1 m 1.2 m (1) 这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ (2) 若设包装盒底面的宽是 y m，则根据题意可得以下等式： 表面积＝(长×宽＋宽×高＋长×高)×2 (1.2×y＋y×1＋1.2×1)×2＝6.8 2.4y＋2y＋2.4＝6.8 2x + (14 - x) = 26 2.4y＋2y＋2.4＝6.8 1. 上式中的 x，y 叫作未知数，含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程. 2. 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程. 观察下列两式，这两个式子有什么样的特点？ ①2x2－5＝4；②－m＋8＝1；③x＝1；④x＋y＝1； ⑤x＋3>0；⑥2x2－2(x2－x)＝1；⑦ ；⑧πx＝12. ①只含有一个未知数； ②未知数的指数是 1； ③方程中的代数式都是整式. 判断一个方程是一元一次方程，化简后必须满足三个条件： √ √ √ √ 例1 判断下列各式是不是一元一次方程： 1. 是一元一次方程，则 k = ________. 3. 是一元一次方程，k =_____. 2. 是一元一次方程，则 k =_____. 1 或 -1 -1 -2 注意：未知数的次数为 1，且系数不等于 0. 5.（福州·期末）“x 的 5 倍与 2 的和等于 x 的 与 4 的差”， 用等式表示为 . 4.（厦门·期中）已知长方形的长与宽分别为 16、x，周长为 40，根据条件，列出方程为 . 2(16 + x) = 40 探究2：填写下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 … 3x - 6 2x + 1 -3 3 0 5 3 7 6 9 9 11 12 13 15 15 18 17 … … 观察表格，当 x = 1 时， 3x - 6 = ； 当 2x + 1 = 11 时，x = ；当 x = 时，3x - 6 = 2x + 1. -3 5 7 方程的解 总结 把方程的左边和右边分别看成多项式，找到一个数，将这个数代入方程，能使左、右两边的多项式的值相等，则这个数就是方程中未知数的一个值. x 1 2 3 4 5 6 7 8 … 3x - 6 2x + 1 -3 3 0 5 3 7 6 9 9 11 12 13 15 15 18 17 … … 当 x = 7 时，3x - 6 = 2x + 1. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元 400 年前后，传本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第 31 题就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔? (1) 找出，上述趣题中的等量关系； 兔的只数＋鸡的只数＝35； 兔的脚数＋鸡的脚数＝94. 设免有 x 只，则鸡有 (35－x) 只. 由于每只兔有 4 只脚，每只鸡有 2 只脚，并且笼子里总共有 94 只脚， 因此，可得如下一元一次方程： 4x + 2(35 - x) = 94 将方程左边的多项式整理得 4x + 2(35 - x) = 4x + (70 - 2x) = 2x + 70 (2) 适当设未知数，列出一元一次方程. 从而方程变成 2x + 70 = 94 怎么求出 x 的值？ 估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值94比较 第1次估算 10 第2次估算 15 第3次估算 13 第4次估算 12 第5次估算 11 2x + 70 = 94 90 小了 100 大了 96 大了 94 相等 92 小了 由上可知，12 是方程的唯一解. 于是上述趣题中兔有 12 只，鸡有 23 只. 对于含有一个未知数 x 的方程，若 x 用一个数 c 代人能使方程左、右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解。习惯上记作 x = c. 2x + 70 = 94 x = 12 例2 分别检验 x 的下列值是否是方程 2.5x + 318 = 1068 的解. (1) x = 300； (2) x = 330. 解：(1) 把 x 用 300 代入原方程得， 左边 = 2.5×300＋318= 1 068， 左边 = 右边， 所以 x = 300 是方程 2.5x＋318 = 1068 的解. (2) 把 x 用 330 代人原方程得， 左边 = 2.5×330 + 318 = 1 143， 左边 ≠ 右边， 所以 x = 330 不是方程 2.5x＋318 = 1 068 的解. 6. 下列方程中，解为 x＝－2 的是(　　) A. 3x－2＝2x B. 4x－1＝2x＋3 C. 3x＋1＝2x－1 D. 5x－3＝6x－2 C 7. 若 x＝4 是关于 x 的方程 ax＝8 的解，则 a 的值为______. 2 第肆章节 随堂练习 随堂练习 1.排球场的长比宽多9 m，周长是54 m，排球场的 宽为多少？列出方程. 【课本P98 练习 第1题】 解：设排球场的宽为 x m. (9+x +x)×2=54 2.估计方程4x+1=61的解. 【课本P98 练习 第2题】 估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值61比较 第1次估算 第2次估算 10 41 小了 20 81 大了 第3次估算 15 61 相等 解：经过估计和代入，x=15 是方程 4x+1=61的解. 3.判断下列方程是不是一元一次方程： （1）23 – x = –7 （2）2a – b =3 （3）y+3=6y – 9 （4）0.32m – （3+0.02m）=0.7 （5）x2 = 1 （6） √ × √ √ × √ 第伍章节 课堂小结 课堂小结 实际问题 一元一次方程 找等量关系 设未知数列方程 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程. 能使方程左、右两边相等的未知数的值，是这个方程的一个解. 湘教版数学七年级上册 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 谢谢观看 $$