精品解析：北京市延庆区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

延庆区2024-2025学年第二学期期末试卷 八年级数学 2025.06 考生须知 1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 3. 如果是关于的方程的一个根，那么实数的值为（ ） A. B. 4 C. 1 D. 2 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 六边形的外角和是 （ ） A. 360° B. 540° C. 720° D. 900° 6. 当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根时，的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 下列命题中，假命题是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 8. 如图，在平面直角坐标系中，关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，的取值范围是； ②当时，取值范围是； ③将该函数图象向左平移3个单位长度后，得到的函数图象经过原点； ④该函数图象上有且只有一个横坐标与纵坐标之和是的点． 其中正确的结论有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 函数中，自变量的取值范围是______． 10. 一元二次方程的解为_____． 11. 一组数据“，，，”的方差为，则_____． 12. 如图，在中，，则_____． 13. 写一个图象经过第二、四象限的正比例函数的表达式：_________ 14. 已知点和是一次函数的图象上的两点，则_____（填“>”或“<”）． 15. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是_____． 16. 一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． ．．． ．．． ．．． ．．． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的不等式的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（共68分，17-21题，每小题6分；22-26题，每小题5分；27题8分；28题5分） 17. 解方程： x2﹣2x﹣3＝0． 18. 解方程：． 19. 如图，在中，，垂足为E，点F在CD上，且． 求证：四边形是矩形． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，，且与轴交于点． （1）求该一次函数的表达式； （2）求的面积． 21. 已知关于x一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m>0，且该方程的两个实数根的差为6，求m的值． 22. 如图，矩形的对角线，交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 23. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求和的值； （2）点在函数的图象上，轴交函数的图象于点，点的纵坐标为．若，直接写出的取值范围． 24. 某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率． 25. 为了提升学生的数学核心素养，激发学生学习数学的兴趣，某校组织了“数学节”活动，设置了数学小游戏、作品展示、数学知识竞赛三个主题．在活动中，学校有200名学生参加了数学知识竞赛，从中随机抽取40名学生的成绩（百分制）数据，整理并绘制了如下统计图表： 40名学生成绩的频数分布表 成绩（分） 频数 频率 合计 40名学生成绩的频数分布直方图 根据以上信息，回答下列问题： （1）表1中的值为_____，的值为_____； （2）补全频数分布直方图； （3）若对成绩不低于80分学生进行奖励，估计参加数学知识竞赛的200名学生中获得奖励的学生有_____名． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，且平行于直线． （1）求一次函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 27. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，过点作，交的延长线于点，交于点． （1）求大小（用含的式子表示）； （2）求证：； （3）连接，点是的中点，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义： 如果存在点，使得以为对角线的四边形是平行四边形，则称点是点关于线段的“关联点”．已知，，，，，，． （1）在点，，中，点_____是点关于线段的“关联点”； （2）求点关于线段的“关联点”的坐标； （3）若点关于线段的“关联点”在的内部，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延庆区2024-2025学年第二学期期末试卷 八年级数学 2025.06 考生须知 1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式写出一次项系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：B． 3. 如果是关于的方程的一个根，那么实数的值为（ ） A. B. 4 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键．把代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标特点，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是， 故选：B． 5. 六边形的外角和是 （ ） A. 360° B. 540° C. 720° D. 900° 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形外角和都是360°即可得出答案． 【详解】∵多边形的外角和都是360°， ∴六边形的外角和是360°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查多边形外角和，掌握多边形外角和都是360°是解题的关键． 6. 当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根时，的取值范围是（ ） A B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 7. 下列命题中，假命题是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定即可进行解答． 【详解】解：A、B、C均是真命题，不符合题意； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形或等腰梯形，故D是假命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键是熟练掌握相关判定定理． 8. 如图，在平面直角坐标系中，关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，的取值范围是； ②当时，的取值范围是； ③将该函数图象向左平移3个单位长度后，得到的函数图象经过原点； ④该函数图象上有且只有一个横坐标与纵坐标之和是的点． 其中正确的结论有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，平移的性质，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键．通过观察可判断①②③，通过点得到所在的直线表达式，作出图象后，可判断④． 【详解】解：①当时，的取值范围是，故①正确； ②由图象可知，当时，或，故②错误； ③由图象可知，函数图象经过点，将该函数图象左平移3个单位长度后，得到的函数图象经过原点，故③正确；； ④令，， ∴， ∴点在直线的函数图象上，如图所示： 由图象可得，它们有三个交点， 则该函数图象上有三个横坐标与纵坐标之和是的点，故④错误； ∴正确的有①③，共2个， 故选：B． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得； 解得， ∴函数中，自变量的取值范围是． 故答案为：． 10. 一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．直接提取公因式求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， 故答案：，． 11. 一组数据“，，，”的方差为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差的有关计算，熟练掌握方差计算公式是解题关键，若一组数据、……，为平均数，那么该组数据的方差为：．先求出该组数据的平均数，再利用方差公式计算求解即可． 【详解】解：∵平均数为 ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，，，可求出的度数，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 写一个图象经过第二、四象限的正比例函数的表达式：_________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数图象经过第二、四象限可得，由此即可得解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：写一个图象经过第二、四象限的正比例函数的表达式为：， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知点和是一次函数的图象上的两点，则_____（填“>”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据k值得到一次函数的增减性是解题的关键． 先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的值即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．根据所给函数图象，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：∵中， ∴随的增大而增大， 在中， ∴随的增大而减小， ∵函数与的图象交于点 ∴关于的不等式的解集是， 故答案为：． 16. 一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． ．．． ．．． ．．． ．．． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于方程的解是； ④关于的不等式的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先求出该一次函数解析式为，再根据一次函数的图象和性质，可判断①、②、③，又，随的增大而减小，当时，，即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当时，，当时，， ∴方程的解为，故③错误； ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴，随的增大而减小，图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故①错误、②正确； ∵，随的增大而减小，当时，， ∴关于的不等式的解集是，故④正确， 故答案为：②④ 三、解答题（共68分，17-21题，每小题6分；22-26题，每小题5分；27题8分；28题5分） 17. 解方程： x2﹣2x﹣3＝0． 【答案】x1＝﹣1，x2＝3 【解析】 【分析】用因式分解法解方程即可． 【详解】解：x2﹣2x﹣3＝0， （x+1）（x﹣3）＝0， x+1=0或x﹣3＝0， x1＝﹣1，x2＝3． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式．对于一元二次方程，可以先计算判别式的值，再根据求根公式求出方程的解． 【详解】解：， ， ． ． 方程的解为． 19. 如图，在中，，垂足为E，点F在CD上，且． 求证：四边形是矩形． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论． 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：四边形是平行四边形 ， ，即 又， ∴四边形是平行四边形 ， 矩形． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，，且与轴交于点． （1）求该一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）令，可得点．再由，即可求解． 【小问1详解】 解：把点，代入得： ，解得：； ∴ 【小问2详解】 解∶由（1）可知：， 令，， ∴点． ∴． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m>0，且该方程的两个实数根的差为6，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）先求出一元二次方程的两个根为，再由m>0，且该方程的两个实数根的差为6，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解： ∴， 解得：， ∵m>0， ∴， ∵该方程的两个实数根的差为6， ∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． 22. 如图，矩形的对角线，交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，掌握相关判定和性质，是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的对角线相等且平分，得到，即可得证； （2）连接，证明四边形是平行四边形，进而得到，勾股定理求得，利用菱形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）知四边形是菱形， ∴． ∵， ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵ ∴ 在中， ∴． ∴菱形的面积是． 23. 在平面直角坐标系中，函数与图象交于点． （1）求和的值； （2）点在函数的图象上，轴交函数的图象于点，点的纵坐标为．若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题、一次函数与几何的综合、，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将代入求得，再将代入，即可求解； （2）根据题意画出函数图象，结合函数图象分析，即可求解． 【小问1详解】 解：∵与的图象交于点 ∴， ∴， 将代入得， 解得： 【小问2详解】 由（1）可得在上， 当时， 当重合时， 根据函数图象可得时， 24. 某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率． 【答案】单台服务器运行成本的月平均降低率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的意义，设单台服务器运行成本的月平均降低率为，根据题意列出方程解方程，即可求解． 【详解】解：设单台服务器运行成本的月平均降低率为，根据题意得， 解得：（舍去） 答：单台服务器运行成本的月平均降低率为． 25. 为了提升学生的数学核心素养，激发学生学习数学的兴趣，某校组织了“数学节”活动，设置了数学小游戏、作品展示、数学知识竞赛三个主题．在活动中，学校有200名学生参加了数学知识竞赛，从中随机抽取40名学生的成绩（百分制）数据，整理并绘制了如下统计图表： 40名学生成绩的频数分布表 成绩（分） 频数 频率 合计 40名学生成绩的频数分布直方图 根据以上信息，回答下列问题： （1）表1中的值为_____，的值为_____； （2）补全频数分布直方图； （3）若对成绩不低于80分的学生进行奖励，估计参加数学知识竞赛的200名学生中获得奖励的学生有_____名． 【答案】（1）， （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出所求问题的答案． （1）利用乘以得，利用求得，进而求得的值； （2）先求出对应的频数，即可补全频数分布直方图； （3）用乘以不低于分的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，则对应的频数为，对应的频数为， 补全频数分布直方图如图： 【小问3详解】 解：（人， ∴估计学校名学生中获得奖励的学生有名． 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，且平行于直线． （1）求一次函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】本题考查利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）先根据一次函数的图象平行于直线得出，再把点代入求出的值即可； （2）可判断经过定点，再由当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，得出函数夹在和之间，且在右边，即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象平行于直线． ∴，即 代入得， 解得： ∴； 【小问2详解】 ∵经过定点， 如图，对于的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，且小于函数的值， ∴且 27. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，过点作，交的延长线于点，交于点． （1）求的大小（用含的式子表示）； （2）求证：； （3）连接，点是的中点，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据正方形的性质以及已知条件，得出三角形的外角的性质即可求解； （2）连接，证明得出，，进而可得，等量代换，即可得证； （3）①根据题意补全图形，即可求解； ②连接，延长交于点，连接，证明是的中位线，得出，进而证明得出，即可得证． 【小问1详解】 解：如图， ∵正方形中，为对角线上一点， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 【小问2详解】 连接， ∵正方形中，为对角线上一点， ∴ 在中， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 ①补全图形如图， ②如图，连接，延长交于点，连接， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵是的中点， ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵是正方形，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义： 如果存在点，使得以为对角线的四边形是平行四边形，则称点是点关于线段的“关联点”．已知，，，，，，． （1）在点，，中，点_____是点关于线段的“关联点”； （2）求点关于线段的“关联点”的坐标； （3）若点关于线段的“关联点”在的内部，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，一次函数的应用，理解新定义是解题的关键； （1）在坐标系中描点，根据平行四边形的性质，即可求解； （2）先求得的中点为，根据新定义得出的中点为关于线段的“关联点”的中点，即可求解； （3）当为平行四边形的对角线时，点关于线段的“关联点”在上，进而找到时的临界点，求得直线的解析式，进而令，求得的最小值，进而根据坐标系可得的横坐标为的最大值，排除重合的情形，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 根据定义可得点是点关于线段的“关联点”； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ， ∴的中点为 ∵平行四边形的对角线为， ∴的中点为关于线段的“关联点”的中点， ∵ ∴点关于线段的“关联点”的坐标为 【小问3详解】 解：如图， ∵在直线上， 当为平行四边形的对角线时， ∴点关于线段的“关联点”在上， 连接， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得， ∴直线的解析式为 当时，，则 设直线的解析式为 代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ 根据坐标系可得的中点为，则 ∴当时，点关于线段“关联点”在的内部， 当重合不符合题意，此时， 综上所述，且，点关于线段的“关联点”在的内部， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $