精品解析：河北省沧州市2024-2025学年高二下学期7月期末教学质量监测数学试题

沧州市2024～2025学年第二学期期末教学质量监测 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数（且）的图象恒过的点为（ ）． A. B. C. D. 2. 已知幂函数的定义域为R，则的值为（ ）． A. B. 3 C. 或3 D. 2 3. 已知一个袋子中有3个红球和2个白球（这些球除颜色外都一样），现不放回地抽取小球3次，则抽取的红球个数为2的概率为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知随机变量，若，，则a的值为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 现安排6名大学生到4所学校去实习，要求每名大学生去且只能去一所学校实习，每所学校都有大学生去实习，则不同的安排方法共有（ ）． A. 480种 B. 1080种 C. 1560种 D. 2640种 6. 已知正实数m，n满足，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知某人每次投篮命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为（ ）． A. B. 0 C. D. 1 8. 已知函数，若关于x的方程有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（ ）． A. B. C. D. 11. 已知定义域为R的函数满足，且，则下列选项正确的是（ ）． A. B. 函数是偶函数 C. 函数是周期为3的周期函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某工厂为了研究某种产品的产量y（吨）与某种催化剂x（吨）之间的相关关系，在生产过程中，得到数据如下表，通过分析可得，这两个变量满足经验回归方程，则的值为______． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 13. 已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为______． 14. 张同学计划某天晚上的三节自习课都用来学习数学或物理这两个学科（每节自习课只学习一个学科），如果上一节自习课学习了数学学科，那么下一节自习课学习数学学科的概率为；如果上一节自习课学习了物理学科，那么下一节自习课学习物理学科的概率为．若张同学第一节自习课选择学习哪一个学科是随机的，则张同学第三节自习课学习数学的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在某次考试中，某学校要对某年级的学习总评成绩（满分100分）和体育成绩（满分100分）进行统计分析，为研究方便，现抽取出了其中各100名学生的成绩（分为优秀和一般）进行统计． 优秀 一般 合计 学习总评成绩 体育成绩 合计 （1）若统计的数据中学习总评成绩在前十名的成绩分别为99，98，98，97，96，96，96，94，94，93，求这十个成绩的平均数和第70百分位数； （2）统计可得，学习总评成绩优秀60人，体育成绩一般30人，填写如下列联表，依据的独立性检验，能否认为学习总评成绩优秀与体育成绩优秀有关？ 参考公式：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知二项展开式． （1）求的值； （2）求的值． 17. 某地区进行了一次数学联考，现分析成绩，我们假定90分（含90分）以上算及格，对甲、乙两所学校进行统计，甲学校及格率为80％，乙学校及格率为90％．若将两所学校的学生成绩混合放在一起，则及格率为88％． （1）求甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比； （2）从甲、乙两所学校及格的学生成绩中抽取一份，求该份成绩来自乙学校的概率； （3）从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取3份，用频率估计概率，记这3份成绩来自甲学校的份数为X，求X的分布列和数学期望． 18. 已知定义域为的函数为奇函数，把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象． （1）求的值． （2）若函数． （ⅰ）求出函数的值域，并证明函数为中心对称函数； （ⅱ）当时，，若，，都有成立，求实数的取值范围． 19. 某箱子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的大小与形状都相同的小球，现由A，B二人轮流从该箱子中不放回地取出小球，并记下小球的编号，若A先取小球． （1）求B前两次取得的小球编号之和为13的概率． （2）当有一人所取出的小球编号之和为13时，游戏结束，并判定此人胜利． （ⅰ）求A取了3次小球并获得胜利的概率； （ⅱ）求A获得胜利的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沧州市2024～2025学年第二学期期末教学质量监测 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数（且）的图象恒过的点为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的定点计算求解. 【详解】在函数中，当时，恒有， 即函数的图象恒过的点为， 故选:C． 2. 已知幂函数的定义域为R，则的值为（ ）． A. B. 3 C. 或3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数为幂函数，所以， 计算可得或， 当时，，定义域为，所以舍去，所以. 故选：B． 3. 已知一个袋子中有3个红球和2个白球（这些球除颜色外都一样），现不放回地抽取小球3次，则抽取的红球个数为2的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用古典概型结合排列及组合公式计算求解. 【详解】不放回地抽取小球3次有种情况，抽取的红球个数为2，白球个数为1有种情况， 抽取的红球个数为2的概率为． 故选:C． 4. 已知随机变量，若，，则a的值为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得，故，求出a的值. 【详解】因为，， 所以，即，所以. 故选：B． 5. 现安排6名大学生到4所学校去实习，要求每名大学生去且只能去一所学校实习，每所学校都有大学生去实习，则不同的安排方法共有（ ）． A. 480种 B. 1080种 C. 1560种 D. 2640种 【答案】C 【解析】 【分析】首先将6名大学生分组，使得每所学校都有大学生去实习，然后对每一组利用排列数和组合数求出安排方法种数，然后它们的和即是答案. 【详解】为满足题意，将6名大学生分为3，1，1，1或2，2，1，1四组， 所以不同的安排方法共有种. 故选：C． 6. 已知正实数m，n满足，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将等式转化为等式右边为常数的形式，然后根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】可以转化为， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，此时的最小值为. 故选：A． 7. 已知某人每次投篮命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为（ ）． A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由两点分布得，，，代入目标式子转换成二次函数最值来做即可. 【详解】由题意可得，X服从两点分布，可得，，， 则， 当，即时取得最大值为0， 故选：B． 8. 已知函数，若关于x的方程有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用一元二次方程解得或，再结合分段函数图象应用7个不相等的实数根得出不等式计算即可求解. 【详解】由可得， 故或，画出函数的图象，如图所示， 要使方程共有7个不相等的实数根， 因为与有3个交点，所以与有4个交点, 所以，即． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 因为，且，所以，故选项A正确； 对于选项B： 若，则，故选项B错误； 对于选项C： 因为，所以，又因为，所以，故选项C正确； 对于选项D： 若，则，不等式两边同时除以得，故选项D错误． 故选：AC． 10. 已知，分别为随机事件A，B的对立事件，若，，，则下列选项正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式求解判断AC；利用概率的基本性质及概率加法公式求解判断BD. 【详解】对于A，由，，得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD. 11. 已知定义域为R的函数满足，且，则下列选项正确的是（ ）． A. B. 函数是偶函数 C. 函数是周期为3的周期函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，代入等式可求得，A错误；代入等式可得，B正确；令可得、，联立并化简可得即可推出周期判断C；利用周期性及奇偶性进行求解，判断D. 【详解】根据题意，令，，则． 因为，所以，故选项A不正确； 令，则， 因为，所以，即， 所以函数是偶函数，故选项B正确； 令，则， 即①，所以②， 联立①②可得，所以， 所以， 所以函数是周期为3的周期函数，故选项C正确； ， 因为， 令，得，所以， 因为为偶函数，所以，故选项D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某工厂为了研究某种产品的产量y（吨）与某种催化剂x（吨）之间的相关关系，在生产过程中，得到数据如下表，通过分析可得，这两个变量满足经验回归方程，则的值为______． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 【答案】0.35## 【解析】 【分析】首先根据表格里面的数据求出的平均值，然后代入回归方程求出参数的值. 【详解】根据表格中的数据可得：，， 又因为在直线上，所以，可得． 故答案为：. 13. 已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用三项式展开式原理，可得含的项为含的项的系数，即可求解参数. 【详解】由展开式中， 所以， 解得或（舍）． 故答案为： 14. 张同学计划某天晚上的三节自习课都用来学习数学或物理这两个学科（每节自习课只学习一个学科），如果上一节自习课学习了数学学科，那么下一节自习课学习数学学科的概率为；如果上一节自习课学习了物理学科，那么下一节自习课学习物理学科的概率为．若张同学第一节自习课选择学习哪一个学科是随机的，则张同学第三节自习课学习数学的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式即可求解. 【详解】解析：设表示事件：第i节自习课学习数学，表示事件：第i节自习课学习物理， 则，，，， 则，， 故， ， 则． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在某次考试中，某学校要对某年级的学习总评成绩（满分100分）和体育成绩（满分100分）进行统计分析，为研究方便，现抽取出了其中各100名学生的成绩（分为优秀和一般）进行统计． 优秀 一般 合计 学习总评成绩 体育成绩 合计 （1）若统计的数据中学习总评成绩在前十名的成绩分别为99，98，98，97，96，96，96，94，94，93，求这十个成绩的平均数和第70百分位数； （2）统计可得，学习总评成绩优秀60人，体育成绩一般30人，填写如下列联表，依据的独立性检验，能否认为学习总评成绩优秀与体育成绩优秀有关？ 参考公式：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）平均数为96.1，第70百分位数为97.5 （2）表格如下： 优秀 一般 合计 学习总评成绩 60 40 100 体育成绩 70 30 100 合计 130 70 200 认为学习总评成绩优秀与体育成绩优秀无关． 【解析】 【分析】（1）把成绩按照小到大排列，可算出第70百分位数和平均数； （2）梳理成表格，找到的对应值，带入公式，找到对应判定区间，得到答案 【小问1详解】 把学习总评成绩在前十名的成绩从小到大排列为93，94，94，96，96，96，97，98，98，99， 所以平均数为， 因为％＝7，所以第70百分位数为． 【小问2详解】 根据题意，填表可得， 优秀 一般 合计 学习总评成绩 60 40 100 体育成绩 70 30 100 合计 130 70 200 零假设为：学习总评成绩优秀与体育成绩优秀无关， 由表中数据可知，， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为学习总评成绩优秀与体育成绩优秀无关． 16. 已知二项展开式． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可得系数和的值，即可求解； （2）先构造二项式展开，再得相应系数的正负，然后去绝对值,即可用赋值法求对应系数和. 【小问1详解】 已知， 令，可得， 令，可得， 所以． 【小问2详解】 展开式的通项为． 当r为偶数时，； 当r为奇数时，． 所以． 令，则， 即． 17. 某地区进行了一次数学联考，现分析成绩，我们假定90分（含90分）以上算及格，对甲、乙两所学校进行统计，甲学校及格率为80％，乙学校及格率为90％．若将两所学校的学生成绩混合放在一起，则及格率为88％． （1）求甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比； （2）从甲、乙两所学校及格的学生成绩中抽取一份，求该份成绩来自乙学校的概率； （3）从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取3份，用频率估计概率，记这3份成绩来自甲学校的份数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2） （3）X的分布列为 X 0 1 2 3 P 期望为【解析】 【分析】（1）设甲学校参加考试的人数为m，乙学校参加考试的人数为n，根据及格率得到方程，求出； （2）设出事件，利用条件概率求解； （3）得到，进而利用二项分布的相关知识求出相应的概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 设甲学校参加考试的人数为m，因为及格率为80％，所以甲学校及格的人数为， 设乙学校参加考试的人数为n，因为及格率为90％，所以乙学校及格的人数为， 当两所学校参加考试的学生混合在一起后，总人数为，及格率为88％， 所以甲、乙两所学校及格人数为， 根据题意，， 化简得，即， 所以甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比为． 【小问2详解】 设事件“任取一份成绩，该成绩来自乙学校”， 事件“任取一份成绩，该成绩为及格”， 由（1）知，，％，％， 所以所求概率． 【小问3详解】 由（1）知，从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取一份成绩，该成绩来自甲学校的概率是， 根据题意，X的可能取值为0，1，2，3，且， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望． 18. 已知定义域为的函数为奇函数，把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象． （1）求的值． （2）若函数． （ⅰ）求出函数的值域，并证明函数为中心对称函数； （ⅱ）当时，，若，，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）值域为，证明:函数，定义域为，， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数的值域为， 由值域猜测函数的对称中心的纵坐标为， 代入函数可得，解得， 所以函数的对称中心为， 证明如下：因为， 所以可得，即， 所以函数是中心对称函数，它的一个对称中心为． （ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据函数平移和奇函数性质求解； （2）（i）先求值域，再通过计算证明中心对称； （ii），根据条件转化为在上的最大值大于等于的最大值，进而求解的取值范围. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，所以的图象关于原点对称， 因为把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象， 所以函数的图象关于点中心对称， 可得． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，则， 由题意可得在上的最大值大于等于． 又由（1）知，函数的图象关于点中心对称， 当时，函数在上的最小值为， 所以函数在上的最大值为，计算可得； 当时，函数在上的最小值为， 所以函数在上的最大值为， 计算可得或，无解； 当时，函数在上的最小值为， 所以函数在上的最大值为，无解； 综上可得． 19. 某箱子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的大小与形状都相同的小球，现由A，B二人轮流从该箱子中不放回地取出小球，并记下小球的编号，若A先取小球． （1）求B前两次取得的小球编号之和为13的概率． （2）当有一人所取出的小球编号之和为13时，游戏结束，并判定此人胜利． （ⅰ）求A取了3次小球并获得胜利的概率； （ⅱ）求A获得胜利的概率． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求出B取得的小球编号为6，7时的概率，和为5，8时的概率可得答案； （2）（ⅰ）求出A抽取的小球编号为1，5，7；2，5，6时的概率、小球编号为1，4，8；2，3，8时的概率、小球编号为2，4，7；3，4，6时的概率可得答案；（ⅱ）求出A抽取2次小球获胜的概率、抽取3次小球获胜的概率、抽取4次小球获胜的概率可得答案． 【小问1详解】 分析可得B前两次取得的小球编号之和为13时， 取得的小球编号分别为6，7或5，8，只需要分析前4次抽取的情况， 一共有种取法， 当B取得的小球编号为6，7时，概率为， 当B取得的小球编号为5，8时，概率为， 所以B前两次取得的小球编号之和为13的概率为； 【小问2详解】 （ⅰ）A取了3次小球并获得胜利，说明A取了3次小球编号之和为13， B取了2次小球编号之和不为13，A，B取球的总情况一共有种取法， 其中3次小球编号之和为13的组合有1，4，8；1，5，7；2，3，8；2，4，7； 2，5，6；3，4，6共6种情况． 当A抽取的小球编号为1，5，7；2，5，6时，共有种； 当A抽取的小球编号为1，4，8；2，3，8时，要排除B抽取6，7， 此时共有种； 当A抽取的小球编号为2，4，7；3，4，6时，要排除B抽取5，8， 此时共有种； 所以A取了3次小球并获得胜利的取法为种， 可得所求概率为． （ⅱ）A可以抽取2次小球获胜，概率为， A可以抽取3次小球获胜，概率为， A可以抽取4次小球获胜，A可取小球编号为1，2，3，7；1，2，4，6；1，3，4，5． 当A抽取4次小球时，获胜的概率为， 所以可得A获得胜利的概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $