精品解析：四川省达州市经开区2024--2025学年下学期期末考试七年级数学试卷

2025年春季义务教育教学质量检测七年级数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． A卷（共100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 中国传统文化博大精深，源远流长．剪纸艺术更是闻名中外，巧妙地利用轴对称的性质进行剪纸，会使操作更加容易，图案更加美观．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，掌握轴对称的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断即可求解． 【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，直线，则的度数为（　　） A. 53° B. 90° C. 127° D. 137° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解本题的关键． 根据两直线平行，同位角相等即可求出的度数． 【详解】， （两直线平行，同位角相等） 故选A． 3. 直角三角形中的一个锐角的度数为，则另一个锐角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求解． 本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中两个锐角互余是解题的关键． 【详解】解：在一个直角三角形中，一个锐角等于， ∴另一个锐角的度数是：． 故选：B． 4. 若，则的值为（　　） A. B. 6 C. 10 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的平方，掌握有理数的平方是解本题的关键． 根据指数运算的性质，将已知条件转化为和的值，再代入求解． 【详解】已知，因为，所以， 又已知，因为，所以， 因此，，则． 故选：D． 5. 下列说法正确的是（　　） A. “守株待兔”是必然事件 B. “射击运动员射击一次，命中八环”是随机事件 C. “翻开七年级下册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D. “太阳从西方升起”是必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查必然事件、不可能事件和随机事件的判断．根据各事件的定义逐一分析即可． 【详解】解：A． “守株待兔”是随机事件，因为兔子撞树是偶然发生的，并非必然，故A错误． B． 射击运动员射击一次，命中八环的结果受多种因素影响，可能发生也可能不发生，属于随机事件，故B正确． C． 课本存在第38页，因此“恰好是第38页”是可能发生的，属于随机事件，而非不可能事件，故C错误． D． 太阳从西方升起违背自然规律，属于不可能事件，而非必然事件，故D错误． 故选B． 6. 周六早上，晓蕾从家出发走了到达离家的书店买书，在书店选书用了，再用回到家中．下列图象能表示晓蕾离家距离（单位）与外出时间（单位）之间的关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图象法表示实际问题的变量关系，数形结合是解决问题的关键． 根据题意，结合选项逐项判断即可得到答案． 【详解】解：根据题意晓蕾从家出发走了到达离家的书店买书，随着时间增加，晓蕾离家距离（单位）在增加；在书店选书用了，晓蕾离家距离（单位）在不变；再用回到家中，晓蕾离家距离（单位）在减少； 综上所述，能表示晓蕾离家距离（单位）与外出时间（单位）之间的关系的是： 故选：D． 7. 如图，在和中，点在同一条直线上，，则的度数为（　　） A. 28° B. 54° C. D. 82° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 证明得到，则可由三角形内角和定理求出． 【详解】 即 在和中， 故选C． 8. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数次幂、零次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据负整数次幂、零次幂化简，然后再比较即可． 【详解】解∶ ∵，，，， ∴． 故选B． 9. 图，已知直线与相交于点于点平分．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差、角平分线的定义、对顶角的性质等知识点，掌握垂直的定义、角的和差、角平分线的定义、对顶角的性质等是解本题的关键． 由垂直的定义可得，易得，再根据角平分线的定义可得，然后运用角的和差可得，最后根据对顶角相等即可解答． 【详解】解： 平分 故选：A． 10. 如图，，，在同一直线上，的平分线与的平分线交于点，，分别交于点，交于点，连接，．有以下结论：①；②是等腰三角形；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的性质和平行线的性质可得∠BAE＝∠AEF，可得AF＝EF，故①正确；由“SAS”可证△BCE≌△BDE，可得CE＝DE，即△CDE是等腰三角形，故②正确；由角平分线的性质可得EN＝EH＝EM，可证∠ECN＝∠ECB，由平行线的性质可得∠CEF＝∠ECB，可得GC＝GE，故③正确；由CE不平行AB，可得∠CEF与∠EFD不相等，可得EF与ED不相等，即EC与EF不相等，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵AE平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠BAE， ∵EF∥AC， ∴∠CAE＝∠AEF， ∴∠BAE＝∠AEF， ∴AF＝EF，故①正确； ∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE＝∠DBE， 又∵BC＝BD，BE＝BE， ∴△BCE≌△BDE（SAS）， ∴CE＝DE， ∴△CDE是等腰三角形，故②正确； 如图，过点E作EM⊥AD于点M，EN⊥AC，交AC的延长线于点N，EH⊥BC于点H， ∵AE平分∠CAB，BE平分∠CBD，EM⊥AD，EN⊥AC，EH⊥BC， ∴EN＝EH＝EM， 又∵EN⊥AC，EH⊥BC， ∴CE平分∠BCN， ∴∠ECN＝∠ECB， 又∵EF∥AC， ∴∠ECN＝∠CEF， ∴∠CEG＝∠ECG，故③正确； ∵CE与AF不平行， ∴∠CEF与∠EFD不相等， ∵△BCE≌△BDE， ∴∠EDB＝∠ECB＝∠CEG， ∴∠EDB与∠EFD不相等， ∴ED与EF不相等，即EC与EF不相等，故④错误， 故选C 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握常规辅助线的添加是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 某校生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．这个兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据如下表： 种子总颗数 种子发芽的颗数 种子发芽的频率 根据上表，估计这种植物种子在该试验条件下发芽的概率是___________．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概． 【详解】解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率 ∴这种种子在此条件下发芽的概率约为． 故答案为 12. 如图，∠ACB＝∠DBC，那么要得到△ABC≌△DCB，可以添加一个条件是_____（填一个即可）． 【答案】∠A＝∠D （不唯一） 【解析】 【分析】本题已经给了∠ACB＝∠DBC和BC=CB（隐藏条件），所以添加∠A＝∠D即可用AAS来判定． 【详解】解：∵∠ACB＝∠DBC，BC=CB， ∴当添加∠A＝∠D时， 可以用AAS来判定△ABC≌△DCB； 故答案为：∠A＝∠D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定有5种方法，选择哪一种方法，取决于题目中的已知条件，本题中给到了一边一角，所以我们可以再找一组角或者找这个角的另一组对应邻边． 13. 扬州是中国历史文化名城，瘦西湖的湖水清澈见底．经检测，湖水中某种有益微生物的直径约为米，数据用科学记数法表示为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是40，则的周长是_____． 【答案】56 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的周长，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线，交于点E， ∴，， ∵， ∴，， ∵的周长是40， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案：56． 15. 如图，已知，，，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，连接，设，，则，，再利用平行线的性质得出，代入计算即可得解． 【详解】解：连接， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）利用乘法公式计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，熟练掌握运算法则和平方差公式是解题关键． （1）根据同底数幂的乘法，积的乘方以及单项式除以单项式进行计算即可求解； （2）利用平方差公式计算即可得． 【详解】解：（1） （2） 17. 如图，直线分别与直线，交于点，，，射线，分别与直线交于点，，且，，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 由得，则，由得，结合求出，即可得的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 18. 一个弹簧的长度（单位：）与所挂物体的质量（单位：）之间的关系如下表： 所挂物体的质量 弹簧的长度 （1）该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是___________，因变量是___________． （2）在弹性限度内，若所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与之间的关系式． （3）当所挂物体的质量由变化到时，这个弹簧的长度是如何变化的？ 【答案】（1）所挂物体的质量；弹簧的长度 （2） （3）弹簧的长度从变长为 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的概念，求函数关系式和自变量的值： （1）根据弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长即可得到答案； （2）观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长，据此列出对应的关系式即可； （3）将，分别代入（2）中的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长， ∴自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度； 【小问2详解】 解：观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长， ∴； 【小问3详解】 解：当所挂物体的质量由变化到时， 当时，， 当时，． ∴弹簧的长度从变长为． 19. 如下图，现有一个可以自由转动的圆形转盘被平均分成8份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）． （1）转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是多少？ （2）若小明转动两次后转出的数字分别是3和6，小明再转动一次，求转出的数字大于3且小于9的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是明确题意，利用概率的知识解答． （1）利用概率公式求解即可； （2）利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是． 【小问2详解】 转盘中大于3且小于9的数字有4，5，6，7，8， 所以转出的数字大于3且小于9的概率为． 20. 如图，是内一点，的延长线交于点，连接，，且，． （1）请判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）试说明垂直平分线段． 【答案】（1） ，证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴； （2） 证明：∵ ∴垂直平分线段． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）根据，得到，，进而得出结论 （2）根据垂直平分线的判定定理，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 B卷 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 21. 三角形的三边长分别为5，x，8，则x的取值范围是_____． 【答案】3＜x＜13 【解析】 【分析】由三角形的两边的长分别为8和5，根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求得答案． 【详解】根据三角形的三边关系，得：8﹣5＜x＜8+5， 即：3＜x＜13． 故答案为3＜x＜13 【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形． 22. 如图，要在河岸上建一个水泵房引水到处，图中有4处（即处）可供选择，为节省水管材料，应选择将水泵房建在___________处． 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查点到直线的距离，掌握直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短是解题关键． 利用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”解题即可． 【详解】解：由题意得 ∴由垂线度最短可得最短， ∴应选择将水泵房建在处， 故答案为：． 23. 有一座小山，现要在小山的两端开一条隧道．如图，施工队要知道两点之间的距离（无法直接测量），于是先在平地上取可以直接到达点和点的点，连接，并延长到点，使，连接，并延长到点，使，连接．经测量，，，则两点之间的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．利用“”证明，然后根据全等三角形的性质得． 【详解】解：在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 24. 如图，正方形的边长分别为，点在边上，连接，若阴影部分的面积为，则正方形与正方形的差为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据阴影部分的面积和图形特征，可得，，即可得解． 【详解】解：由题意知， ， ，， ， 故答案为：． 25. 如图，在等边三角形中，是边的中点，是的中线上的动点，且，则的最小值是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键．要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化的值为，从而找出其最小值求解即可． 【详解】连接，交于点，连接，如图所示． 是等边三角形，是边上的中线， ， 是的垂直平分线， ， ． 当三点共线时，最小，有最小值， 当点在点处时，有最小值，且最小值为的长． 是边的中点， 是的中线， ， ， ， 即的最小值为9． 五、解答题（本大题共3小题，共30分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或预算步骤） 26. 大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析如何能让班上同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图1，为方便研究，定义两手手心位置分别为两点，两脚脚跟位置分别为两点，定义平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． （1）如图1，三点在同一条直线上，两点重合，，求的度数； （2）如图2，三点在同一条直线上，且，平分，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平角和求解即可； （2）首先根据平角和求出，，然后有由平分线得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：三点在同一条直线上 ∴ ∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分 ∴ ∴． 27. 阅读材料：我们知道，完全平方公式有：．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，下列两种变形用途较广：①；②． 例：已知，求的值． 解：因为， 所以． 根据上述材料，解答下列问题： （1）已知，则的值为___________； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式. （1）根据完全平方公式进行变形求解即可； （2）设，则，进而根据完全平方公式进行变形，即可求解． （3）设，则，，进而根据完全平方公式进行变形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设 ∴ ∴ 【小问3详解】 解：设 ∴，， ∴ 28. 如图，在中，，，为上一动点，连接，，垂足为．过点作于点． （1）如图1，连接，试说明． （2）如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若的面积为2，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， ∵ ， ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ， ， ， ， 即； （2） 全等，理由如下： ，， ， 在和中， ， ； （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等．熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键． （1）根据已知证明，，即得； （2）根据，，得，结合，证明； （3）由（2）可得，，得出，由（1）得，即得的面积为4． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ， ， ∴ ∵ ∴ 由（1） ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季义务教育教学质量检测七年级数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． A卷（共100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 中国传统文化博大精深，源远流长．剪纸艺术更是闻名中外，巧妙地利用轴对称的性质进行剪纸，会使操作更加容易，图案更加美观．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，直线，则的度数为（　　） A. 53° B. 90° C. 127° D. 137° 3. 直角三角形中的一个锐角的度数为，则另一个锐角的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（　　） A. B. 6 C. 10 D. 16 5. 下列说法正确的是（　　） A. “守株待兔”是必然事件 B. “射击运动员射击一次，命中八环”是随机事件 C. “翻开七年级下册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D. “太阳从西方升起”是必然事件 6. 周六早上，晓蕾从家出发走了到达离家的书店买书，在书店选书用了，再用回到家中．下列图象能表示晓蕾离家距离（单位）与外出时间（单位）之间的关系的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在和中，点在同一条直线上，，则的度数为（　　） A. 28° B. 54° C. D. 82° 8. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 9. 图，已知直线与相交于点于点平分．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，，，在同一直线上，的平分线与的平分线交于点，，分别交于点，交于点，连接，．有以下结论：①；②是等腰三角形；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 某校生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．这个兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据如下表： 种子总颗数 种子发芽的颗数 种子发芽的频率 根据上表，估计这种植物种子在该试验条件下发芽的概率是___________．（结果精确到） 12. 如图，∠ACB＝∠DBC，那么要得到△ABC≌△DCB，可以添加一个条件是_____（填一个即可）． 13. 扬州是中国历史文化名城，瘦西湖的湖水清澈见底．经检测，湖水中某种有益微生物的直径约为米，数据用科学记数法表示为_________ ． 14. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是40，则的周长是_____． 15. 如图，已知，，，若，则的度数为______． 三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）利用乘法公式计算：． 17. 如图，直线分别与直线，交于点，，，射线，分别与直线交于点，，且，，求的度数． 18. 一个弹簧的长度（单位：）与所挂物体的质量（单位：）之间的关系如下表： 所挂物体的质量 弹簧的长度 （1）该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是___________，因变量是___________． （2）在弹性限度内，若所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与之间的关系式． （3）当所挂物体的质量由变化到时，这个弹簧的长度是如何变化的？ 19. 如下图，现有一个可以自由转动的圆形转盘被平均分成8份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）． （1）转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是多少？ （2）若小明转动两次后转出的数字分别是3和6，小明再转动一次，求转出的数字大于3且小于9的概率． 20. 如图，是内一点，的延长线交于点，连接，，且，． （1）请判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）试说明垂直平分线段． B卷 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 21. 三角形的三边长分别为5，x，8，则x的取值范围是_____． 22. 如图，要在河岸上建一个水泵房引水到处，图中有4处（即处）可供选择，为节省水管材料，应选择将水泵房建在___________处． 23. 有一座小山，现要在小山的两端开一条隧道．如图，施工队要知道两点之间的距离（无法直接测量），于是先在平地上取可以直接到达点和点的点，连接，并延长到点，使，连接，并延长到点，使，连接．经测量，，，则两点之间的距离为___________． 24. 如图，正方形的边长分别为，点在边上，连接，若阴影部分的面积为，则正方形与正方形的差为___________． 25. 如图，在等边三角形中，是边的中点，是的中线上的动点，且，则的最小值是_______． 五、解答题（本大题共3小题，共30分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或预算步骤） 26. 大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析如何能让班上同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图1，为方便研究，定义两手手心位置分别为两点，两脚脚跟位置分别为两点，定义平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． （1）如图1，三点在同一条直线上，两点重合，，求的度数； （2）如图2，三点在同一条直线上，且，平分，求的度数． 27. 阅读材料：我们知道，完全平方公式有：．在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，下列两种变形用途较广：①；②． 例：已知，求的值． 解：因为， 所以． 根据上述材料，解答下列问题： （1）已知，则的值为___________； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 28. 如图，在中，，，为上一动点，连接，，垂足为．过点作于点． （1）如图1，连接，试说明． （2）如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若的面积为2，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $