精品解析：山东省青岛第三十九中学2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

2024—2025学年度第二学期期末质量检测七年级数学试题 一、选择题（3分×8=24分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（　　） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 2. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的有（ ）个 ①同位角相等；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③如果，，则；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是钝角三角形；⑥三角形的高都在三角形内． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，，，，则（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等边中，和分别是和边上的高，且相交于点，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 如图，某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（ ） A. 从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 B. 抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C. 掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D. 一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 8. 如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（ ） A. 2或3 B. 3或5.5 C. 2或 D. 2或 二、填空题（3分×8=24分） 9. 某种花粉颗粒直径约为，将用科学记数法表示为______． 10. 如图，是水平线，有一条细线，其中一端系着一个小球，另一端固定在点，将小球从左向右摆动，当垂直时，小球到水平线的距离最近，数学依据是_______． 11. 在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度（）与加热时间（分钟）之间的关系如下表所示，则加热22分钟时水的温度是______． 时间/分钟 2 6 10 14 … 温度 16 28 40 52 … 12. 如图，点D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠A=64°，则∠D=_________°． 13. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的大小是____． 14. 某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为立方米，应交煤气费为元．写出与之间的关系式______． 15. 如图，在中，，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，是射线上一动点，则周长的最小值为__________． 16. 如图，在中，和的平分线相交于点交于交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是__________．（填序号） 三、尺规作图题（4分） 17. 已知：线段a，，求作：等腰，使得点、分别在、上，且底边上的高长为． 四、解答题（共68分） 18. 计算： （1） （2）简便运算： （3）用乘法公式计算：． （4）先化简，再求值：，其中，． 19. 填空，完成下列证明过程： 已知：，，，问：与平行吗？为什么？ 证明：平行． ， （____________） 又，， ________=________（_____________）． （______________）． 20. 如图是计算机“扫雷”游戏画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）． （1）小明如果踩在图中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ． （2）若小明在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是 ． （3）为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上？并说明理由． 21. 定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： （1）求的值． （2），，，求值． （3）若运算的结果为，则的值是多少？ 22. 周末，小明坐公交车到中山公园游玩，他从家出发0.8小时后到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到中山公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往中山公园，如图是他们离家的路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： （1）爸爸比小明晚出发_____； （2）小明在书城停留的时间为______，小明从家到中山公园的平均速度为_____； （3）图中的B点表示爸爸出发_____小时到达离家_____的中山公园； （4）爸爸驾车经过多久追上小明？此时距离中山公园多远？ 23. 已知，点中点，点是延长线上一点，连接，过作，交延长线于点，连接、． （1）求证：． （2）判断线段与的位置关系，并说明理由． （3）若，，则_____． 24. 【方法引导】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题． 【问题】 （1）用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式：________； （2）用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________； 根据上面的解题思路与方法，解决下面问题： （3）直接写出下列问题答案： ①若，，则________； ②若，则________． （4）如图3，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积． 25. 如图，AB CD，垂足为 O，点 P、Q 分别在射线 OC、OA 上运动（点 P、Q 都不与点 O 重合），QE 是∠AQP 的平分线． （1）如图 1，在点 P、Q 的运动过程中，若直线 QE 交∠DPQ 的平分线于点H． ①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °； ②随着点 P、Q 分别在 OC、OA 的运动，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE 的度数；如果不是定值，请说明理由； （2）如图 2，若 QE 所在直线交∠QPC 的平分线于点 E 时,将△EFG 沿 FG 折叠，使点 E 落在四边形PFGQ 内点E′ 的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′ 之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期末质量检测七年级数学试题 一、选择题（3分×8=24分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（　　） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D． 该曲线所表示的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法运算、乘法公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 运用整式的乘法运算、乘法公式逐项判断即可． 【详解】A．，结果与选项中的不符，故A错误； B．，结果与选项中的不符，故B错误； C．，结果与选项完全一致，故C正确． D．=，结果与选项中的不符，故D错误． 故选C． 3. 下列说法正确的有（ ）个 ①同位角相等；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③如果，，则；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是钝角三角形；⑥三角形的高都在三角形内． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，三角形内角和定理，三角形高的定义，根据平行线的性质与判定定理可判断①③④；根据垂线的定义可判断②；根据三角形内角和定理可判断⑤；根据三角形的高的定义可判断⑥． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，原说法错误； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确； ③如果，，则，原说法正确； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ⑤若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形的最大的内角的度数为，则这个三角形是锐角三角形，原说法错误； ⑥三角形的高不一定在三角形内，例如钝角三角形的高可以在三角形外，原说法错误． ∴说法正确的有2个， 故选；B． 4. 如图，，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由知，由知，结合得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和垂线的定义，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补的性质． 5. 如图，已知，，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．根据题目中的条件可以得到，，然后添加选项中的条件，写出能判断三角形全等的依据即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴添加时，无法证明，故选项A符合题意； 添加时，可得，故选项B不符合题意； 添加时，可得，故选项C不符合题意； 添加时，可得，故选项D不符合题意， 故选：A． 6. 如图，在等边中，和分别是和边上的高，且相交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是是正确解答本题的关键．根据等边三角形的性质以及三角形的高得到，然后根据四边形的内角和是解出的度数，根据对顶角相等即可得出的度数． 【详解】解：∵为等边三角形，分别是边高， ， ∵在四边形中，， ， ∵对顶角相等， ． 故选：B． 7. 如图，某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（ ） A. 从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 B. 抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C. 掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D. 一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频率估算概率，理解图示，掌握概率的计算是关键． 根据图示信息，根据频率估算概率，概率的计算进行判定即可． 【详解】解：根据题意，大量试验中，频数稳定在之间， A、从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》的概率为，不符合题意； B、抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上的概率是，不符合题意； C、掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数的概率是，符合题意； D、一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球，不符合题意； 故选：C ． 8. 如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（ ） A. 2或3 B. 3或5.5 C. 2或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况进行讨论：①当时，；②当时，，然后分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， 依题意，得，， ， ， ∵四边形是矩形， ， 如果与全等，那么可分两种情况： ①当时，， ， ； ②当时，， ，， ，， 的值为2或， 故选：D． 二、填空题（3分×8=24分） 9. 某种花粉颗粒的直径约为，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．将一个数表示为的形式，其中, 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如图，是水平线，有一条细线，其中一端系着一个小球，另一端固定在点，将小球从左向右摆动，当垂直时，小球到水平线的距离最近，数学依据是_______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案． 【详解】解：由垂线段最短，得 当垂直l时，小球C到水平线l的距离最近，依据是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 11. 在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度（）与加热时间（分钟）之间的关系如下表所示，则加热22分钟时水的温度是______． 时间/分钟 2 6 10 14 … 温度 16 28 40 52 … 【答案】76 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，设y与x的解析式为，知：当时，； 当时，，将两组数据分别代入解析式得到关于k，b二元一次方程组，求解可得y与x的解析式，然后将代入解析式求解即可．掌握用待定系数法确定y与x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：设y与x解析式为， 由表格数据知：当时，； 当时，． ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为，经检验符合题意； 当时， ， ∴加热22分钟时水的温度是． 故答案为：． 12. 如图，点D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠A=64°，则∠D=_________°． 【答案】128° 【解析】 【分析】连接AD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等看得到AD=BD=CD，根据等边对等角可得∠ABD=∠BAD，∠ACD=∠CAD，然后求出∠ABD+∠ACD+∠BAC，再根据三角形的内角和等于180°求出∠DBC+∠DCB，再次利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，连接AD， ∵点D是△ABC三边垂直平分线的交点， ∴AD=BD=CD， ∴∠ABD=∠BAD，∠ACD=∠CAD， ∴∠ABD+∠ACD+∠BAC=2∠BAC=2×64°=128°， 在△ABC中，根据三角形的内角和定理得，∠DBC+∠DCB=180°﹣128°=52°， 在△DBC中，根据三角形的内角和定理得，∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣52°=128°． 故答案为：128°． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键． 13. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的大小是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是平行线的性质，邻补角的性质，三角形的外角的性质，先求解，，再利用三角形的外角的性质求解即可. 【详解】解：如图，∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为立方米，应交煤气费为元．写出与之间的关系式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列解析式，根据不超过部分费用加上超过部分的费用进行计算即可． 【详解】解：∵设小丽家每月用气量为立方米，应交煤气费为元 根据题意得，． 故答案：． 15. 如图，在中，，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，是射线上一动点，则周长的最小值为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】设与的交点为点F，连接，先根据折叠的性质可得，，DE=AE，，再根据两点之间线段最短可得当点E与点F重合时，周长最小，进而求解即可． 【详解】解：如图，设与的交点为点F，连接， 由折叠的性质得：，，DE=AE，， ， 的周长， 要使周长最小，只需最小， 由两点之间线段最短可知，当点E与点F重合时，取最小值，最小值为， 的周长=． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 16. 如图，在中，和的平分线相交于点交于交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵和是和的平分线， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于，连接， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∴正确的序号为①②； 故答案为①②． 三、尺规作图题（4分） 17. 已知：线段a，，求作：等腰，使得点、分别在、上，且底边上的高长为． 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，过直线上一点作直线的垂线，作线段等于已知线段，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，先作的平分线，再在角平分线上截取，再过作角平分线的垂线，交于即可. 【详解】解：如图，即为所求； 理由：由作图可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求. 四、解答题（共68分） 18. 计算： （1） （2）简便运算： （3）用乘法公式计算：． （4）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）6 （2）195 （3） （4）； 【解析】 【分析】本题主要考查了零次幂，负整数指数幂的含义和整式的混合运算，理解运算法则是解答关键． （1）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再合并即可； （2）把原式化为，再利用乘法公式计算即可； （3）把原式化为，再利用乘法公式计算即可； （4）根据整理式的混合运算进行化简，再将，代入求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： 当，时， 原式． 19. 填空，完成下列证明过程： 已知：，，，问：与平行吗？为什么？ 证明：平行． ， （____________） 又，， ________=________（_____________）． （______________）． 【答案】垂直的定义；；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练运用垂线的定义和余角的性质是解题的关键． 利用垂线的定义，结合余角的性质得到，根据平行线的判定求解即可． 【详解】解：平行．理由如下： ， （垂直的定义） 又，， （等角的余角相等）． （同位角相等，两直线平行）． 20. 如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）． （1）小明如果踩在图中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ． （2）若小明在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是 ． （3）为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域内的小方格上还是应踩在A区域外的小方格上？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）小明的第二步应踩在A区域外的小方格上 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可； （3）分别计算出小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域内的小方格上踩中地雷的概率和小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域外的小方格上踩中地雷的概率，再比较即可； 【小问1详解】 解：根据题意，总共有个小方格，其中藏着10颗地雷， 故踩中地雷的概率， 故答案为：． 【小问2详解】 解：在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，其中藏着2颗地雷， 故踩中地雷的概率， 故答案为：． 【小问3详解】 解：小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域内的小方格上踩中地雷的概率， 小明点完第一步之后，小明的第二步踩在A区域外的小方格上踩中地雷的概率， ∵， 故为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在A区域外的小方格上． 21. 定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： （1）求值． （2），，，求的值． （3）若运算的结果为，则的值是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）结合幂的乘方及同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （3）根据新定义的运算，结合同底数幂的乘法与有理数的乘方的法则进行运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 当，，时， ； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 【点睛】本题考查新定义，幂的乘方，同底数幂的乘法，有理数的乘方，求代数式的值，解题的关键是正确理解新定义，掌握相应的运算法则． 22. 周末，小明坐公交车到中山公园游玩，他从家出发0.8小时后到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到中山公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往中山公园，如图是他们离家的路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： （1）爸爸比小明晚出发_____； （2）小明在书城停留的时间为______，小明从家到中山公园的平均速度为_____； （3）图中的B点表示爸爸出发_____小时到达离家_____的中山公园； （4）爸爸驾车经过多久追上小明？此时距离中山公园多远？ 【答案】（1）2.5 （2）1.7；7.5 （3）1；30 （4）小时； 【解析】 【分析】本题考查了函数的图像，以及行程问题的数量关系的运用，解题关键是正确理解清楚函数图像的意义． （1）由图象求解即可； （2）由图象可得小明在书城停留的时间，然后利用速度等于路程除以时间求解即可； （3）由图象求解即可； （4）根据相应的路程除以时间，即可得出两人速度，再根据追及问题关系式即可解答． 【小问1详解】 解：由图像可得，爸爸比小明晚出发； 【小问2详解】 解：由图像可得，小明在书城停留的时间为； ∴小明从家到中山公园的平均速度为； 小问3详解】 解：， ∴图中的B点表示爸爸出发1小时到达离家的中山公园； 【小问4详解】 解：由图像可得，小明从书城到公园的平均速度为， 小明爸爸驾车的平均速度为， 爸爸驾车经过追上小明， ； ∴爸爸驾车经过小时追上小明，此时距离中山公园． 23. 已知，点是中点，点是延长线上一点，连接，过作，交延长线于点，连接、． （1）求证：． （2）判断线段与的位置关系，并说明理由． （3）若，，则_____． 【答案】（1）证明见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中线的性质，平行线的判定； （1）先证明，，，从而可得结论； （2）先证明，结合，，可得，可得，从而可得结论； （3）由，，可得，，进一步可得，，从而可得答案. 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵点是中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 24. 【方法引导】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题． 【问题】 （1）用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式：________； （2）用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________； 根据上面的解题思路与方法，解决下面问题： （3）直接写出下列问题答案： ①若，，则________； ②若，则________． （4）如图3，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）（3）①1 ②13 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 对于（1），根据大正方形的面积等于两个正方形的面积加上两个长方形的面积； 对于（2），根据大正方形的面积等于一个小正方形的面积加上四个长方形的面积可得答案； 对于（3），①根据（2）可得，再代入数值计算即可； ②根据，可得答案； 对于（4），根据解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得； 故答案为：； （2），， ∴． 故答案为：； （3）①∵， ∴； ② ； 故答案为：1；13； （4）如图所示，延长交于点K，可知四边形和四边形的面积相等，四边形是正方形， ∴， 解得． 25. 如图，AB CD，垂足为 O，点 P、Q 分别在射线 OC、OA 上运动（点 P、Q 都不与点 O 重合），QE 是∠AQP 的平分线． （1）如图 1，在点 P、Q 的运动过程中，若直线 QE 交∠DPQ 的平分线于点H． ①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °； ②随着点 P、Q 分别在 OC、OA 的运动，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE 的度数；如果不是定值，请说明理由； （2）如图 2，若 QE 所在直线交∠QPC 的平分线于点 E 时,将△EFG 沿 FG 折叠，使点 E 落在四边形PFGQ 内点E′ 的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′ 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①45°；②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①先根据垂直的定义求出∠POQ=90°，即可利用三角形内角和定理和邻补角的定义求出∠QPO=30°，∠AQP=120°，再由角平分线的定义分别求出，，最后根据三角形外角的性质求解即可；②同①方法求解即可； （2）如图所示，连接， 先求出∠CPQ+∠PQA=270°，再由角平分线的定义求出，则∠PEQ=45°，由折叠的性质可知，进而推出即可得到答案． 【小问1详解】 解：①∵AB⊥CD， ∴∠POQ=90°， ∴∠PQO+∠QPO=90°， ∵∠PQB=60°， ∴∠QPO=30°，∠AQP=120°， ∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO， ∴，， ∴， 故答案为：45； ②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由如下： ∵AB⊥CD， ∴∠POQ=90°， ∴∠PQO+∠QPO=90°， ∴∠QPO=90°-∠PQO，∠AQP=180°-∠PQO， ∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵AB⊥CD， ∴∠POQ=90°， ∴∠PQO+∠QPO=90°， ∵∠CPQ+∠QPO=180°，∠PQA+∠PQO=180°， ∴180°-∠CPQ+180°-∠PQA=90°， ∴∠CPQ+∠PQA=270°， ∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ， ∴， ∴， ∴∠PEQ=180°-∠EPQ-∠EQP=45°， 由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，邻补角，熟知三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$