精品解析：安徽省亳州市涡阳县2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试卷

高一数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部是（ ） A. i B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法、除法公式可求，再根据复数的概念可确定复数的虚部. 【详解】，虚部是. 故选：D. 2. 设，是两个非零向量，则“与的夹角为钝角”是“·<0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合平面向量数量积的定义，根据充分必要条件的定义判断. 【详解】当与的夹角为钝角时，，充分性满足， 但当与的夹角时，，必要性不满足， 因此是充分不必要条件， 故选：A. 3. 设a，b，c是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A. 若c⊥α，且c⊥β，则 B. 若b⊂α，且b⊥β，则α⊥β C. 若b⊂α，且c是a在α内的射影，b⊥c，则a⊥b D. 若b⊂α，且 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】由面面平行的推论可判断A，根据面面垂直的判定即可判断B；利用三垂线定理可判断C，由直线与平面平行，直线与平面内的直线可以平行或异面，即可判断D. 【详解】对于A，同一直线垂直于两个平面，则这两平面平行，故A正确； 对于B，面面垂直定理，一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直， 即b⊂α，且b⊥β，则α⊥β，故B正确； 对于C，由线面垂直判定定理和性质定理可知，b⊂α，且c是a在α内的射影，b⊥c，则a⊥b，故C正确； 对于D，直线平行平面，直线与平面内的直线可以平行也可以异面，故D错误； 4. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，.若，则实数（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示得出和，再结合向量线性运算的坐标表示得出，利用两向量垂直，数量积为0，即可解出实数的值. 【详解】因为，， 所以. 因为， 所以， 即， 解得. 故选：B. 5. 如图，在某个位置A处测得一旗杆ED的仰角为，对着旗杆在平行地面上前进60米到达点B，测得旗杆ED的仰角为原来的2倍.继续在平行地面上前进a米到达点C，测得旗杆ED的仰角为原来的4倍，其中A，B，C，D四点共线.若旗杆ED的高度为30米，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，在三角形EBC中，利用余弦定理可求. 【详解】如图，在直角三角形EBD中，，，所以， 在三角形EBC中，由余弦定理得，，解得. 故选：B. 6. 函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得函数为偶函数，可排除CD，然后根据时的函数值可排除B. 【详解】因为，定义域为R， 又， 所以偶函数，图象关于轴对称，故排除CD， 又当时，，，故排除B. 故选：A. 7. 已知平面向量，满足：，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据投影向量公式求解. 【详解】由题意得，在方向上的投影向量. 故选：C 8. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：，m是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，m是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据4，，，5，6的平均数为4，则（ ） A. B. 该组数据的方差是2.8 C. 该组数据的中位数是 D. 该组数据的极差是5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平均数、方差的计算公式和中位数、极差的概念逐项判断即可. 【详解】由题意可得，解得，A说法正确； 该组数据是1，4，4，5，6， 则该组数据的方差为，B说法正确； 该组数据的中位数是4，C说法错误； 该组数据的极差是，D说法正确； 故选：ABD 10. 将一颗质地均匀的正方体骰子抛掷1次，记试验的样本空间是，事件，，则（ ） A. M与N是互斥事件 B. M与N是相互独立事件 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件与独立事件定义可判断A，B选项，由独立事件的乘法公式可验证C，利用对立事件计算和事件的概率可判断D. 【详解】M与N可能同时发生（出现4），所以M与N不是互斥事件，A错. 因为，，，所以，M与N是相互独立事件，B对. 因为，， 所以，C对. 因为，D对， 故选：BCD. 11. 在平面四边形ABCD中，，.将该四边形沿着对角线AC折叠，得到空间四边形ABCD，E为棱BD的中点，则（ ） A. 异面直线AC，BD所成的角是 B. 平面 C. 平面平面AEC D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】取线段的中点，连接，利用线面垂直的判定定理可得平面AEC，从而证出，平面平面AEC；再利用三棱锥等体积法结合求可判断D. 【详解】取线段的中点，连接. 因为，，所以，. 因为平面，所以平面，故B正确； 因为平面，所以，即异面直线,所成的角是，故A不正确； 因为平面，所以平面平面.故C正确； 因为，且都垂直于平面， 所以.故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆柱的外接球半径为，高为2，则该圆柱的表面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出圆柱的底面半径，再由表面积公式计算可得答案. 【详解】圆柱的底面半径是. 故该圆柱的表面积是. 故答案为：. 13. 函数的最小正周期是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据周期公式和诱导公式求解即可. 【详解】因为， 且， 所以的最小值正周期是， 故答案为：. 14. 在平面四边形中，，，，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量减法的法则和定义法求解数量积可得，再结合余弦定理即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设a是实数，复数（i是虚数单位）的模是2. （1）求a的值； （2）若，且复数满足，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的四则运算直接化简复数，由模长运算可求得a的值； （2）因，由（1）得到复数，设，将复数代入等式化简，根据复数相等得到方程组求得，求解即得. 【小问1详解】 因为，的模是2， 所以，解得. 【小问2详解】 因为， 由（1）得，所以. 设，，则. 代入得，， 即， 因此，解得. 故. 16. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得，再由即可求解； （2）由（1）知为等腰三角形，再结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得.因为，所以. 又因，所以. 而，故. 【小问2详解】 由（1）可得. 因为，所以. 所以. 故的面积为. 17. 如图，在三棱柱中，，平面ABC，，E是棱上的动点，D是棱BC的中点. （1）证明：； （2）若E是棱的中点，，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先由线面垂直证明平面平面，再根据线面垂直的性质推出平面，即可证明线线垂直； （2）将三棱锥看作以A为顶点的三棱锥，由（1）知高为AD，求出，代入三棱锥的体积公式即可得解. 【小问1详解】 因为平面ABC，所以平面ABC， 而平面，所以平面平面. 因为棱BC的中点为D，且是等腰三角形，所以. 而平面ABC，平面平面，所以平面. 又因为平面，所以. 【小问2详解】 在直角△中，，，所以. 同理在直角△中，得到， 直角△BDE中，，，所以， 在等腰△中：，，， 因此. 18. 已知向量，，，.设的最小值为. （1）求的值； （2）在中，为其中线，且，.设，，求关于的函数关系式，并求的最小值. 【答案】（1） （2），其中， 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算求出的表达式，结合三角恒等变换和二次函数的性质求出其最小值； （2）利用向量的平行四边形法则和余弦定理求出关于的函数关系式，最后根据函数性质求出的最小值. 【小问1详解】 因为， 所以 . 当时，的最小值. 【小问2详解】 由（1）知，，. 在中，，，，则. 在中，，，，则. 因为，所以. 整理得，，，其中. 因为，所以当时，y取最小值. 19. 给定常数，若存在实数，使得，则称为的t倍伸缩点.已知函数，. （1）若函数的t倍伸缩点是，求t的值； （2）已知函数在区间内存在两个相异的t倍伸缩点. （ⅰ）求t的取值范围； （ⅱ）取t的最小整数值.求方程的解集. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，得，代入求解的方程即可； （2）（ⅰ）根据给定的定义，得有两个不等的正实根，列不等式求解即得t的取值范围；. （ⅱ）利用三角恒等变换化简得到，由（ⅰ）得，代入求解即可. 【小问1详解】 因为函数的t倍伸缩点是，所以， 即，，解得 【小问2详解】 （ⅰ）由，得有两个不等的正实根. 因此，解得. 故t的取值范围是. （ⅱ）因为，且， 所以就是， 即，，或，， 所以，或，. 故方程的解集是或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z满足（i是虚数单位），则z虚部是（ ） A. i B. C. 1 D. 2. 设，是两个非零向量，则“与的夹角为钝角”是“·<0”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 设a，b，c是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A. 若c⊥α，且c⊥β，则 B. 若b⊂α，且b⊥β，则α⊥β C. 若b⊂α，且c是a在α内的射影，b⊥c，则a⊥b D. 若b⊂α，且 ，则 4. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，.若，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在某个位置A处测得一旗杆ED的仰角为，对着旗杆在平行地面上前进60米到达点B，测得旗杆ED的仰角为原来的2倍.继续在平行地面上前进a米到达点C，测得旗杆ED的仰角为原来的4倍，其中A，B，C，D四点共线.若旗杆ED的高度为30米，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，满足：，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据4，，，5，6的平均数为4，则（ ） A. B. 该组数据的方差是2.8 C. 该组数据的中位数是 D. 该组数据的极差是5 10. 将一颗质地均匀的正方体骰子抛掷1次，记试验的样本空间是，事件，，则（ ） A. M与N是互斥事件 B. M与N是相互独立事件 C. D. 11. 在平面四边形ABCD中，，.将该四边形沿着对角线AC折叠，得到空间四边形ABCD，E为棱BD的中点，则（ ） A. 异面直线AC，BD所成角是 B. 平面 C. 平面平面AEC D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆柱的外接球半径为，高为2，则该圆柱的表面积是______. 13. 函数的最小正周期是______. 14. 在平面四边形中，，，，，则的值为______. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设a是实数，复数（i是虚数单位）的模是2. （1）求a值； （2）若，且复数满足，求. 16. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 17. 如图，在三棱柱中，，平面ABC，，E是棱上动点，D是棱BC的中点. （1）证明：； （2）若E是棱的中点，，求三棱锥的体积. 18. 已知向量，，，.设的最小值为. （1）求的值； （2）在中，为其中线，且，.设，，求关于的函数关系式，并求的最小值. 19. 给定常数，若存在实数，使得，则称为的t倍伸缩点.已知函数，. （1）若函数的t倍伸缩点是，求t的值； （2）已知函数在区间内存在两个相异的t倍伸缩点. （ⅰ）求t的取值范围； （ⅱ）取t的最小整数值.求方程的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $