广东省中山市烟洲中学2024-2025学年高二下学期4月段考数学试题

一、单选题 1.在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值 班，则不同的排班方法有（ ） A．12种 B．24种 C．64种 D．81种 2.已知函数 在 上可导，且满足 ，则曲线 在点 处的切 线方程为（ ） A． B． C． D． 3.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的 涂法有（ ） A．72种 B．48种 C．24种 D．12种 4.已知函数 在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A．1 B．3 C．1或3 D．2或 5.二项式 的展开式中第 项是常数项，则 的值是（ ） A． B． C． D． 6.已知 ，过 作曲线 的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（ ） A． B． C． D． 7.我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的.算筹实际上是一根根相同长 度的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法有两种，即“纵式”和“横式”，规定个位数用纵式，十 位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式……依此类推，交替使用纵横两式. 例如：27可以表示为“ ”.如果用算筹表示一个不含“0”的两位数，现有7根小木棍，能表示多 少个不同的两位数 A．54 B．57 C．65 D．69 8.已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9.如果 ，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 10.下列说法正确的是（ ） A． 可表示为 B．若把英文“hero”的字母顺序写错 2025年广东省中山市西区烟洲中学高二下学期4月段考 了，则可能出现的错误共有23种 C．10个朋友聚会，见面后每两个人握 手一次，一共握手45次 D．老师手里有3张参观游园的门票分 给7人中的3人，则分法有 11.已知函数 有两个极值点 ，则下列说法正确的是 （ ） A． B．曲线 在点 处的切线可能与直线 垂直 C． D． 三、填空题 12. 的展开式中常数项为 ．（用数字作答） 13.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙 等6名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有 种． 14.若函数 的 小值为0，则实数a的 大值为 ． 四、解答题 15.已知函数 ，若 是 的极值点． (1)求 在 上的 小值和 大值． (2)是否存在实数 ，使得函数 的图象与函数 的图象恰有3个交点？若存在，试求出实 数 的取值范围；若不存在，试说明理由． 16.已知 的展开式中，前3项的二项式系数之和等于56． (1)求 的值： (2)若展开式中的常数项为 ， ①求 的值； ②第 项的系数是第 项系数的6倍，求 的值． 17.已知两曲线 和 都经过点 ，且在点P处有公切线． (1)求a，b，c的值； (2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积； (3)若曲线 上的点M到直线 的距离 短，求点M的坐标和 短距离． 18.已知函数 ． (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)求 的单调区间和极值； (3)若对于任意 ，都有 ，求实数a的取值范围． 19.已知函数 (1)讨论 的单调性； (2)若函数 恰有两个极值点 、 ． ①求 的取值范围； ②证明： 【答案】 1.C 2.A 3.A 4.B 5.B 6.C 7.B 8.A 9.B,D 10.A,B,C 11.A,C,D 12. 13.450 14. / 15.(1) (2) 16.(1) (2) 17.(1) (2) (3) 18.(1) (2) (3) 19.(1) (2) 【解析】 1.根据题意，第一天值班可以安排4名职员中的任意1人，有4种排班方法， 同理第二天和第三天也有4种排班方法， 根据分步计数原理可知，不同的排班方法有 种， 故选：C 2.由 可得： ，即 ， 2025年广东省中山市西区烟洲中学高二下学期4月段考 参考答案 ， 存在， 且 ． 10 ① ；② ， ； 见详解； ． 答案见解析 ① ；②证明见解析． 根据导数的定义可知： ， 又根据导数的几何意义可知：在点 处的切线斜率 ， 所以过点 处的切线方程为： ，即 ， 故选：A. 3.试题分析：先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的 话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4x3x2x3=72种，故选A． 4.由题意得： ，因为在x=1处取得极大值， 所以 ，解得 或 ， 当 时， ， 令 ，解得 或 ， 当 时， ， 为增函数， 当 时， ， 为减函数， 所以在 处取得极小值，不符合题意，故舍去， 当 时， ， 令 ，解得 或 ， 当 时， ， 为增函数， 当 时， ， 为减函数， 所以在 处取得极大值，故 满足题意 综上 . 故选：B 5. 的展开式的通项公式为 ， 即 ， 第 项是常数项， ， ， ， 故选 ． 6.由 ，得 ， 设切点坐标为 ，则切线方程为 ， 把点 代入并整理，得 ， 解得 或 （舍去）， 故切线斜率为 ． 故选：C． 7.当十位为 时，个位可以是 ，共 种； 当十位为 时，个位可以是 ，共 种； 当十位为 时，个位可以是 ，共 种； 当十位为 时，个位可以是 ，共 种； 当十位为 时，个位可以是 ，共 种； 当十位为 时，个位可以是 ，共 种； 当十位为 时，个位可以是 ，共 种； 当十位为 时，个位可以是 ，共 种； 当十位为 时，个位可以是 ，共 种； 所以总的有 种. 故选：B 8.根据指数函数 为单调递增函数可得， ， 即 ； 再由指数函数 为单调递减函数可知， ， 结合指数函数值域可得 ； 根据对数函数 在 上为单调递增可知， ， 即 ； 所以 . 故选：A 9. ，A错误； CD选项， ，C错误，D正确； B选项， ，B正确． 故选：BD． 10.A项， ，正确； B项，h，e，r，o的全排列为 （种），正确的有1种，故可能出现的错误共有 （种），正确； C项，10个朋友，两个人握手一次，共握手 （次），正确； D项，3张门票属于相同元素，故应有 种分法，D不正确． 故选：ABC. 11.对于A， ，令 ，则 ，令 ，解得： ， 当 时， ；当 时， ； 在 上单调递增，在 上单调递减， ； 有两个极值点， 有两个变号零点， ， 即 ， ，A正确； 对于B，曲线 在点 处的切线斜率 ， 若该切线与直线 垂直，则 ，即 ，与 矛盾，B错误； 对于C，由题意知： ，即 ， 则 ，由A知： ， 由二次函数性质知： ，C正确； 对于D，由题意知： ，即 ，又 ， ，即 ； 要证 ，只需证 ，即证 ， 即证 ， 设 ，则只需证 ， 令 ，则 ， 在 上单调递增， ， ， 则 ，D正确. 故选：ACD． 12. 的展开式的通项公式 当 和 时，可得展开式中常数项为 ， 故答案为： . 13.若6名航天员三个实验舱，三个实验舱每个至少一人至多三人， 若每组人数分别为 ，共有 种， 若每组人数分别为 ，共有 种， 综上所有不同的安排方法共有 . 故答案为：450 14.由题意知 ， 令 ，原函数变为 . 令 ，则 ，易知当 ， ，当 时， ，所以 在 上 单调递减，在 上单调递增， 即对于 ， ，即 ，当且仅当 时取最小值， 所以当 ， 取得最小值0，即只需方程 有解即可； 也即函数 与函数 图象有交点即可； 令 ，则 ， 当 时， ；当 时， ， 故 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ， 在同一坐标系下画出两函数图象如下图所示：    即 即满足题意； 所以 . 故答案为： 15.(1) (2) 16.(1) (2) 17.(1) (2) (3) 18.(1) ，因为 是 的极值点， 所以， ∴ ， ； 当 ， ；当 时， ， 即 在 单调减，在 单调增,且 ， ， 所以 ， ． 设 ，由题意可得： 有三个零点， 又由于0是 的一个零点，所以，只要再有两个零点且都不相同即可； 因此，方程 有两个不等实根且无零根，所以 ， 所以，存在实数 使得函数 的图像与函数 的图象恰有3个交点， 此时 且 ． 依题意， ，即 ，整理得 ，而 ， 所以 ． ①由（1）知，二项式 展开式的通项为 ， 由 ，得 ，因此 ，即 ，而 ， 所以 ． ②由①知， ，依题意， ， 即 ，则 ，解得 ， 所以 ． 两函数 和 的导数分别为 和 ， 由题意 ，解得 ； 由（1）知公切线方程为 ，即 ， 令 得 ，令 得 ， 所以所求面积为 ； 由（1）函数为 ， ，由 得 ， , 所以 ，最短距离为 ． 由题意可知 ， 所以 ，故曲线 在点 处的切线方程为 ； (2) (3) 19.(1) (2) 由（1）知 ， 令 可得 ，即 在 上单调递增； 令 可得 ，即 在 上单调递减， 令 可得 ，函数 在 上取得极小值，极小值为 ，无极大值； 综上函数 在 上单调递增，在 上单调递减，无极大值，极小值为 ； 原式 对 恒成立， 令 ， 当 时， ，即 ，在 上单调递减， 当 时， ，即 ，在 上单调递增， 所以 ，即 ， 故 ． 由题意知 ． 当 时， ，所以 的增区间为 ，无减区间； 当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 此时，函数 的减区间为 ，增区间为 ． 综上所述，当 时，函数 的增区间为 ，无减区间； 当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ． ①由题意知 ， 所以 ， 因 恰有两个极值点 、 ，所以方程 ，即方程 有两不等正根， 所以 ，解得 ，即 的取值范围为 ； ②由①知 ， ， 所以 ， 所以 ， 令 ，其中 ，所以 ， 因为函数 、 在 上均为增函数， 则函数 在 上单调递增， 又 ， ， 所以 ，使得 ，即 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 又 在 上单调递增，则 ， 所以 ，所以 ，所以 ．