精品解析：河北省石家庄市裕华区石家庄市第四十中学2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024－2025学年第二学期期末考试 初二数学试题 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 3. 已知点在第三象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. 处可填 B. 处可填 C. 处可填 D. 处可填 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程 用下面选项中的数替换k，使方程没有实数根的是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知函数的部分函数值如下表所示，则该函数的图象不经过（ ） … -2 -1 0 1 2 … … 8 6 4 2 0 … A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，在平行四边形中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从点向点的运动的过程中，的长度（ ） A. 保持不变 B. 逐渐增加 C. 先增加再减小 D. 先减小再增加 9. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （4，2） 10. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 11. 如图， 在平面直角坐标系中， 矩形的边，， 直线经过B、D两点．将直线平移，当它与矩形有公共点时，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之左右移动，已知是边的中点，连接，．下列判断正确的是　　 结论Ⅰ：在移动过程中，的长度不变； 结论Ⅱ：当时，四边形是平行四边形． A. 结论Ⅰ、Ⅱ都对 B. 结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C. 只有结论Ⅰ对 D. 只有结论Ⅱ对 二、填空题（共4空，每题2分，共8分） 13. 2025年4月在北京亦庄，全球首场人形机器人半程马拉松震撼上演．如图是本次马拉松的宣传，将其放在平面直角坐标系中，若B，C两点的坐标分别为，，则点A的坐标为______． 14. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 15. 如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，，，则__________________ 16. 用五个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，若点的坐标为，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共7题， 17－18题每题6分， 19题9分， 20题7分， 21题8分， 22－23题每题10分，共56分） 17. 正方形网格中每个小正方形的边长为1个单位长度，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）的面积为 （2）将先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，点A的对应点为点，则点的坐标为 （3）若点P是x轴上一动点，当点P到A、C的距离之和最小时，点 P 的坐标为 ， 此时的最小值为 ． 18. 解方程 （1）（限定配方法） （2）（不限方法）； 19. 在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF． （1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形； （2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）． 20. 如图， 在中， 点P是的边上的一点． （1）请判断三人的说法的对错：小星 ，小红 ， 小亮 ． （填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法， 求证： ； （3）在（2）的条件下，， 若， ， 求的长． 21. 如图1， 直线的解析式为， 直线经过点，，且，交于点A， （1）求直线的表达式；观察图像，当直线在x轴上方时，直接写出自变量x的取值范围 （2）直线，的交点A的坐标 （3）若直线 与线段有交点，直接写出比例系数k满足的取值范围 （4）若直线上存在一动点E，使得，直接写出点E的坐标 22. 【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保 约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）； ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． （1）用含x的代数式表示y，则 ；并写出总收益 W（元）关于x的函数关系式； 【问题探究】（2）求满足所有条件的自变量x的取值范围； 【优化决策】（3）为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？此时最大收益是多少？ 23. 如图，矩形 的顶点A、C分别在y轴、 x轴的正半轴上，点 B的坐标为，直线的图象与边分别交于点 D、E， 并且满足， 点P 是线段上的一个动点． （1）直接写出点E的坐标 ；直线l的表达式 ； （2）若点P在 平分线上，则点 P 的坐标为 ； （3）连接，若把四边形面积分成两部分，求点P 的坐标； （4）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期期末考试 初二数学试题 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：有意义， 故， 故， 故选：C. 2. 已知，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据“”得出“”，再把要求的式子化成，然后进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 3. 已知点在第三象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据第三象限内点的坐标特征，横坐标和纵坐标均小于0，建立不等式组求解． 本题考查了坐标与象限，解不等式组，熟练掌握坐标与象限的关系，建立正确的 【详解】点A在第三象限，则其横坐标，纵坐标， 解得，， 故不等式组的解集为， 故选：B． 4. 在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. 处可填 B. 处可填 C. 处可填 D. 处可填 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的判定，解题的关键是熟练掌握常见四边形之间的关系． 菱形、矩形、正方形的判定，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：∵一组对边相等是平行四边形的性质， ∴选项符合题意， ∵一组邻边互相垂直的菱形是正方形， ∴选项不符合题意， ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴选项不符合题意， ∵一组邻边相等的矩形是正方形， ∴选项不符合题意， 故选：． 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，列方程，即可作答． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 6. 若关于x的一元二次方程 用下面选项中的数替换k，使方程没有实数根的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式小于0时，方程无实数根，计算判别式并解不等式即可确定k的范围，进而选择符合的选项． 本题考查了根的判别式的应用，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程， ∴， 当时，方程无实数根，即， 当时，符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 故选：A． 7. 已知函数的部分函数值如下表所示，则该函数的图象不经过（ ） … -2 -1 0 1 2 … … 8 6 4 2 0 … A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像过，，求出函数解析式即可得解； 【详解】∵函数图像经过，， ∴， ∴， ∴，函数图像经过一、二、四象限，故函数不经过第三象限； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 8. 如图，在平行四边形中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从点向点的运动的过程中，的长度（ ） A. 保持不变 B. 逐渐增加 C. 先增加再减小 D. 先减小再增加 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，解题关键是掌握中位线定理．先根据中位线定理得出，再由此判断． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴点从点向点的运动的过程中，的值先减小再增加， ∴的值先减小再增加． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （4，2） 【答案】A 【解析】 【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴=， ∵BG=6， ∴AD=BC=2， ∵AD//BG， ∴△OAD∽△OBG， ∴=， ∴=， 解得：OA=1， ∴OB=3， ∴C点坐标为：（3，2）， 故选：A． 10. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，直接根据一次函数的图象即可得出的取值范围，然后在数轴上表示即可，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象下方， ∴不等式的解集是， 在数轴上表示的解集为 ， 故选：． 11. 如图， 在平面直角坐标系中， 矩形的边，， 直线经过B、D两点．将直线平移，当它与矩形有公共点时，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图像的平移、矩形的性质等知识，准确找到直线与矩形有公共点的两个临界点A与C是解此题的关键． 先利用矩形性质得点C、D坐标，用待定系数法求出k的值，再分别把A、C两点坐标代入中，求得b的值即可得到答案． 【详解】解：∵矩形的边， ∴， ∵， ∴点， 当直线经过B、D两点时， ∴， 解得：， ∴平移后的直线的解析式为， 当经过点时，， 解得：， 当经过点时，， 解得：， ∴当它与矩形有公共点时，则b的取值范围是． 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之左右移动，已知是边的中点，连接，．下列判断正确的是　　 结论Ⅰ：在移动过程中，的长度不变； 结论Ⅱ：当时，四边形是平行四边形． A. 结论Ⅰ、Ⅱ都对 B. 结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C. 只有结论Ⅰ对 D. 只有结论Ⅱ对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以判断结论Ⅰ；根据，证明，，即可判断结论Ⅱ，进而可以解决问题． 【详解】解：是边的中点，， ，故结论Ⅰ正确； ， 四边形是矩形， ， ，， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形，故结论Ⅱ正确， 故选：A 二、填空题（共4空，每题2分，共8分） 13. 2025年4月在北京亦庄，全球首场人形机器人半程马拉松震撼上演．如图是本次马拉松的宣传，将其放在平面直角坐标系中，若B，C两点的坐标分别为，，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据点B和点C的位置可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可建立如下坐标系，则点A的坐标为， 故答案为：． 14. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 15. 如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，，，则__________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，先读数得到，，再证明四边形是平行四边形，得到，，证明，利用相似三角形的性质得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 故答案为：． 16. 用五个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设每个长方形的长为，宽为．根据图中得到等量关系列方程方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设每个长方形的长为，宽为． 依题意得 解得 点的坐标为． 故答案为： 三、解答题（本大题共7题， 17－18题每题6分， 19题9分， 20题7分， 21题8分， 22－23题每题10分，共56分） 17. 正方形网格中每个小正方形的边长为1个单位长度，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）的面积为 （2）将先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，点A的对应点为点，则点的坐标为 （3）若点P是x轴上一动点，当点P到A、C的距离之和最小时，点 P 的坐标为 ， 此时的最小值为 ． 【答案】（1）2 （2）图见解析， （3）； 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移与轴对称，熟练掌握平移和轴对称的性质，是解题的关键： （1）分割法求三角形的面积即可； （2）根据平移规则，画出平移后的图形，进而写出点的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，则当在线段上时，最小为的长，求出的解析式，进而求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 如图，即为所求； 由图可知：； 【小问3详解】 作点关于轴的对称点，连接，则当在线段上时，最小为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴， ∴当时，， ∴； 综上：，的最小值为． 18. 解方程 （1）（限定配方法） （2）（不限方法）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法计算即可； （2）根据因式分解法计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 解得：，． 19. 在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF． （1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形； （2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）． 【答案】（1）见解析；（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形． （2）根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定即可找出图中的所有平行四边形． 【详解】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠EDC， ∵E是AC中点， ∴AE＝EC， 在△AEF和△CED中， ， ∴△AEF≌△CED， ∴EF＝DE，∵AE＝EC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是矩形． （2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC， ∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC， ∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 20. 如图， 在中， 点P是的边上的一点． （1）请判断三人的说法的对错：小星 ，小红 ， 小亮 ． （填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法， 求证： ； （3）在（2）的条件下，， 若， ， 求的长． 【答案】（1）对，对，错 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）； （3）利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错． 故答案为：对，对，错 【小问2详解】 证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， 解得．负值舍去 21. 如图1， 直线的解析式为， 直线经过点，，且，交于点A， （1）求直线的表达式；观察图像，当直线在x轴上方时，直接写出自变量x的取值范围 （2）直线，的交点A的坐标 （3）若直线 与线段有交点，直接写出比例系数k满足的取值范围 （4）若直线上存在一动点E，使得，直接写出点E的坐标 【答案】（1）直线：； （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，勾股定理，利用平方根解方程． （1）设直线表达式为，将点，代入即可求出的表达式为：；当时，，结合图像即可判断自变量x的取值范围； （2）联立两方程求解即可； （3）先求出，再分两种情况讨论即可； （4）分两种情况根据勾股定理列一元二次方程计算即可． 【小问1详解】 解：设直线表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得： ∴的表达式为：； 当时，， 即 观察图象可知，当直线在x轴上方时，； 【小问2详解】 解：∵，交于点A， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在直线：中，当时，，即 当时， 当经过A时，即， 解得， 当经过C时，， 即； 当时，直线 与y轴负半轴相交，不符合题意； 综上所述，； 【小问4详解】 解：当E在线段上时， ∵，， ∴ ∵， ∴， 设点E的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去）， 即点E的坐标为； 当E在线段的延长线上时， ∵，， ∴ ∵， ∴， 设点E的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去）， 即点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或． 22. 【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保 约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）； ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． （1）用含x的代数式表示y，则 ；并写出总收益 W（元）关于x的函数关系式； 【问题探究】（2）求满足所有条件的自变量x的取值范围； 【优化决策】（3）为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？此时最大收益是多少？ 【答案】（1）；；（2）；（3）处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨，最大收益650元． 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和一次函数解析式是解题的关键． （1）根据区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨可得；然后根据处理可回收垃圾：每吨收益50元，处理厨余垃圾：每吨收益30元可表示出W； （2）根据可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍，厨余垃圾每天至少处理4吨列不等式组求解即可； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）∵区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨， ∴； ∵处理可回收垃圾：每吨收益50元，处理厨余垃圾：每吨收益30元 ∴； （2）∵可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍，厨余垃圾每天至少处理4吨 ∴ 解得； （3）∵， ∴W随x的增大而增大 ∴当时，W有最大值，最大值为 ∴ ∴处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨，最大收益650元． 23. 如图，矩形 的顶点A、C分别在y轴、 x轴的正半轴上，点 B的坐标为，直线的图象与边分别交于点 D、E， 并且满足， 点P 是线段上的一个动点． （1）直接写出点E的坐标 ；直线l的表达式 ； （2）若点P在 平分线上，则点 P 的坐标为 ； （3）连接，若把四边形面积分成两部分，求点P 的坐标； （4）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）先求出点D的坐标，再结合矩形的性质可得点E的坐标，然后把点E的坐标代入解析式，即可求解； （2）点P在直线上，然后联立解方程组，即可求解； （3）设点P的坐标为，可得，再由把四边形面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）分两种情况讨论，结合菱形的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴，， ∵点 B的坐标为， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 把点代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点P在 平分线上，即点P在 第一、三象限的平分线上， ∴点P在直线上， 联立得：， 解得：， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为，则， ∴， 根据题意得：四边形面积为， ∵把四边形面积分成两部分， ∴或， ∴或， ∴或， 解得：或， ∴点P的坐标为或； 【小问4详解】 解：如图，若以为对角线，设交于点G，此时点P，Q关于y轴对称，，， ∴点P，Q的纵坐标为3， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴点Q的坐标为； 如图，若以为对角线，设交于点G，则， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为，即 ∴，解得：或0（舍去）， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，正方形的判定与性质，坐标与图形的性质，菱形的性质，以及勾股定理等知识，正确根据菱形的性质求得Q的坐标是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $