精品解析：河南省平顶山市2024---2025学年下学期八年级数学期末试题卷

河南省平顶山市2024-2025学年下学期八年级数学期末试题卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分、共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若分式无意义，则的值为（ ） A. 0 B. C. -1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分母为时分式无意义这一知识点是解题的关键．根据分式无意义的条件，即分母为时分式无意义，据此列出关于的方程求解 ． 【详解】解：分式无意义时，分母， 解方程，移项可得， 两边同时除以，得 ． 故选： ． 2. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意， B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意， C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意， D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选C． 3. 下列代数式变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了分式的基本性质和因式分解，根据分式的基本性质和因式分解的方法，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：选项A：，分子分母同乘，但若，变形后的分式无意义，而原分式在时仍有意义（仅需），此变形改变了分式的定义域，故错误． 选项B：，左边为，应分解为，右边展开为，结果为，与左边符号相反，故错误． 选项C：，左边为，需通分得，显然不等于（除非），故错误． 选项D：，左边整理为，提取负号得，因，故左边等于，与右边一致，正确． 故选：D． 4. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案. 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴正边形的一个外角为， ∴的值为； 故选A 5. 如图，的对角线，相交于点，点是的中点，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质及三角形的中位线性质，熟练平行四边形的性质及三角形的中位线性质是解题的关键，取的中点，连，取的中点，连接，证明是的中位线，得，，再证四边形是平行四边形，即可得解． 【详解】解：取的中点，连，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点是的中点，是的中点 ∴，， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 故选：． 6. 若是一个完全平方式，则的值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ， 故选：D． 7. 小明板书解方程的过程如下：方程两边都乘以，得，解这个方程，得．所以原方程的根为．同学们都认为小明的解法不对，他错误的原因是（ ） A. 去分母时，常数项没有乘以公分母 B. 去括号移项时，没有变号 C. 求出整式方程的根没有检验 D. 解整式方程得到的根不正确 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．根据解分式方程的步骤重新解题中的方程，注意解分式方程时要检验所求根是否使分母为零，即可判断． 【详解】解：， 方程两边都乘以，得，此步骤正确． 去括号得， 移项得， 解得，此步骤正确． 检验根：当时，分母，导致原方程无意义，因此是增根，应舍去． 故错误原因为小明未检验根是否使分母为零，直接认为是原方程的根， 故选：C． 8. 如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东的方向上；小明向东走20米到达点处，测得建筑物在北偏东方向上．则建筑物到公路的距离为（ ） A. 10米 B. 米 C. 15米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，解决此题的关键是弄清直角三角形的三边与其锐角的关系，进而列出有关的等式，解之即可． 分别在两个直角三角形中由锐角三角函数的定义用分别表示出、，利用两线段的差等于20 列出关于线段的式子，求得即可． 【详解】解：过点C作，， ∵在中，， ， ∵在 中，， ， ∵米， 米， 解得：米． 故选：B． 9. 如图，平行四边形的两条对角线，相交于点，点E，F分别是，上的点，连接，，，，添加下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是添加条件判断平行四边形，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 根据平行四边形的性质与全等三角形的性质逐一分析，结合平行四边形的判定方法可得结论． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意； ， ， ， ∵， ， ∴四边形是平行四边形，故C不符合题意； ∵， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，故D不符合题意； 当，此时不能判定四边形是平行四边形，故B符合题意； 故选：B． 10. 如图，点为平面直角坐标系的原点，等边的顶点在轴上，且点的坐标为．将绕点O以60度／秒的速度顺时针旋转，第2025秒时点对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转以及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质（旋转前后图形的对应关系、旋转角度的计算 ）和等边三角形的边长与角度关系是解题的关键．先确定等边三角形的相关边长和角度，再根据旋转速度和时间算出旋转的总角度，进而确定旋转的圈数和剩余角度，从而判断点旋转后的位置，求出其坐标． 【详解】解：∵点，是等边三角形， ， ． ∵绕点O旋转速度是/秒，旋转秒， ∴旋转的总角度为 ． ∵旋转一周是，， ∴旋转周后又额外旋转了 ． ∴绕点顺时针旋转后，点旋转到与初始位置关于原点对称的位置． 过作轴于， 是等边三角形，， ，， ∴初始点坐标为 ． ∴旋转后，对应点坐标为 ． 综上，第2025秒时点对应点的坐标为， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键． 利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 12 一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲、乙两人一起做，则需要___________天完成． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的应用，根据题意得出甲每天完成，乙每天完成，设工作总量为，进而根据工作总量除以工作效率，即可求解． 【详解】解：甲单独做天完成，乙单独做天完成，设工作总量为， ∴甲每天完成，乙每天完成 ∴两人合作一共需要天 故答案为：． 13. 已知，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解题的关键，然后整体代值计算．只要把所求代数式因式分解，然后把已知代入即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 14. 如图，在中，，点是延长线上一点，的平分线交于点，平分，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的应用，根据角平分线的定义得，进而根据邻补角的定义求得，根据等边对等角，可得，根据角平分的定义得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵是平分线 ∴ ∴ 故答案为：． 15. 如图，已知，点是射线上一动点，连接，作的垂直平分线，与射线交于点设，当时，线段的最大值为___________，最小值为___________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键；分两种情况求得的长，即可求解． 详解】解：当时， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵垂直平分，设交于点， ∴， 当时，是等腰直角三角形， ∴ ∴ 当， 如图，过点作于点， ∴， ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，线段的最大值为，最小值为 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8道小题，满分75分） 16. （1）解不等式组： （2）求证：当为自然数时，能被24整除． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，平方差公式因式分解，掌握平方差公式以及不等式组的求解是解题的关键； （1）先分别解出不等式①和②的解集，然后求公共部分，即可求解； （2）把原式按照平方差公式因式分解后再变形即可得到解答； 【详解】（1）解： 解不等式①，得：． 解不等式②，得：． 原不等式组的解集为：． （2）证明： 为自然数， 能被整除． 17. 先化简，再求值：，其中值取中的一个数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件得出，将代入求解． 【详解】解：原式 由题意知，， 即， 故取． 当时，原式． 18. 已知：如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点． （1）求证：； （2）设与的延长线相交于点，若，直接写出点到的距离为___________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，根据平行四边形的性质得，即可得证； （2）根据角平分线的定义，平行四边形的性质得出，，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，根据等面积法即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形ABCD是平行四边形， ． ． 平分平分， ， ， ， ， ，即． 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∴ 平分平分， ∴， ∴ ∵，平分， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设点到的距离为 ∴ ∴ 故答案为：． 19. 小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义． （1）如图1，小明把左侧两个正方形和两个长方形，拼接为右边的一个大正方形，计算发现：左侧四个图形的面积和为___________，右侧大正方形的面积为___________，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：___________； （2）按照小明的思路，图2的四个图形也可以拼成一个大长方形． ①拼成的大长方形的长为___________，宽为___________； ②根据图2的拼接，写出该多项式的因式分解． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积，因式分解的应用； （1）观察图象可知大正方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论； （2）观察图象可知大长方形面积等于1个正方形面积加上3个长方形面积，即可得到结论； 【小问1详解】 左侧四个图形的面积和为，右侧大正方形的面积为，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：； 故答案为：； 小问2详解】 解：①拼成的大长方形的长为，宽为， 故答案为： ； ②依题意，． 20. 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑，哥哥每秒跑．设哥哥出发秒后，哥哥所跑的路程为，弟弟所跑的路程为． （1）直接写出关于的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； （2）根据图象回答下列问题： ①当秒时，___________跑在前面(填“哥哥”或“弟弟”)；当___________秒时，哥哥追赶上弟弟； ②当哥哥跑在弟弟的前面时，时间的取值范围为___________； ③___________先跑过20m，___________先跑过100m．(填“哥哥”或“弟弟”) 【答案】（1）图见解析 （2）①弟弟，9；②；③弟弟，哥哥 【解析】 【分析】本题考查了列函数关系式，画函数图象，根据函数图象获取信息，数形结合是解题的关键； （1）根据题意列出函数关系式，即可求解； （2）①根据函数图象，时，弟弟的路程大于哥哥的路程，则弟弟跑在哥哥的前面，根据函数图象可得两人路程相等时，； ②根据①的结论，即可求解； ③根据函数图象可得时，两人路程为米，哥哥追赶上弟弟，则米之前是弟弟在前面，米后是哥哥在前面，即可求解． 【小问1详解】 解：哥哥每秒跑．设哥哥出发秒后，哥哥所跑的路程为， ∴ 哥哥先让弟弟跑，然后自己才开始跑．弟弟每秒跑，哥哥出发秒后，弟弟所跑路程为． ∴ 如图， 【小问2详解】 ①根据图象可知：当秒时，弟弟跑在前面，当9秒时，哥哥追赶上弟弟；； ②当哥哥跑在弟弟的前面时，时间的取值范围为； ③弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m． 故答案为：①弟弟，9；②；③弟弟，哥哥． 21. 如图1，点为的边的中点，连接并延长到点，使得，延长到点，使得，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，在图1的基础上，当为等腰直角三角形，，且时，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理，中位线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意得为的中位线， 则，进而得出，结合，即可得证； （2）根据为等腰直角三角形，得出，则，即，由（1）知，四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：， 为的中位线， 为BC的中点， ． ， 四边形BCDE为平行四边形． 【小问2详解】 ， ． 为等腰直角三角形， ， ，即． 即， ， 由（1）知，四边形BCDE是平行四边形， ． 22. 某商店甲品牌每盒方便面的标价是乙品牌每盒方便面标价的倍，已知用40元购买甲品牌方便面的盒数比用40元购买乙品牌方便面的盒数少3盒． （1）求甲、乙两种品牌方便面每盒的标价； （2）小明准备购买这两种方便面共15盒，设需要总费用元，其中购买甲品牌方便面盒． ①写出与之间的函数关系式； ②若购买两种品牌方便面的总费用不超过100元，则小明最多可以购买多少盒甲品牌方便面？ 【答案】（1）8元，5元 （2）①；②8 【解析】 【分析】本题考查分式方程和列函数关系式，不等式的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键； （1）设乙品牌方便面的标价为元／盒，则甲品牌方便面的标价为元／盒 （2）①小明购买甲品牌方便面 盒，则购买乙品牌方便面  盒，根据题意可得，化简即可求解； ②根据题意得出，解不等式，求得最大整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设乙品牌方便面的标价为元／盒，则甲品牌方便面的标价为元／盒， 由题意得：，解得：． 经检验，是原方程的根． ． 答：甲、乙两种品牌方便面的标价分别为8元、5元． 【小问2详解】 ①小明购买甲品牌方便面 盒，则购买乙品牌方便面  盒． 甲品牌每盒 元，乙品牌每盒 元，总费用  为： 简化： ∴． ②由题意知，， 解得， 为整数， 的最大整数值为8． 他最多能购买8盒甲品牌方便面 23. (1)已知四边形是正方形，点是射线上一动点，点在射线上，，连接． ①观察猜想：如图1，当点与点重合时，易得与的数量关系为___________，___________°． ②探究证明：当点不与，两点重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立请仅就图的情况进行证明；若不成立，请说明理由； （2）拓展延伸：如图，是等腰直角三角形，直线经过点，且．点为射线上一动点．将线段绕点逆时针旋转到，过点作，垂足为．当，时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）①根据题意得出是等腰直角三角形，即可求解； ②则进而得出 （2）分两种情况讨论，当在延长线上时，作正方形，连接，证明，四边形是矩形，得出，进而在中，勾股定理，即可求解；当在上时，同理可得，，，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：①当点与点重合时，是等腰直角三角形 ∴， 故答案为：；． ②中的结论仍然成立，理由如下： 四边形为正方形， ， ， ，又， ， ， （2）∵线段绕点逆时针旋转到， ∴是等腰直角三角形 如图，当在的延长线上时，作正方形，连接， ∴， ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴三点共线， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵，则 ∵ ∴，，， 在中， 当在上时，如图， ∵， ∴， 同理可得，四边形是矩形， ∴，， 在中， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省平顶山市2024-2025学年下学期八年级数学期末试题卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分、共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若分式无意义，则的值为（ ） A. 0 B. C. -1 D. 2. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列代数式变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 5. 如图，的对角线，相交于点，点是的中点，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 6. 若是一个完全平方式，则的值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 7. 小明板书解方程的过程如下：方程两边都乘以，得，解这个方程，得．所以原方程的根为．同学们都认为小明的解法不对，他错误的原因是（ ） A. 去分母时，常数项没有乘以公分母 B. 去括号移项时，没有变号 C. 求出整式方程的根没有检验 D. 解整式方程得到的根不正确 8. 如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东的方向上；小明向东走20米到达点处，测得建筑物在北偏东方向上．则建筑物到公路的距离为（ ） A. 10米 B. 米 C. 15米 D. 米 9. 如图，平行四边形两条对角线，相交于点，点E，F分别是，上的点，连接，，，，添加下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点为平面直角坐标系原点，等边的顶点在轴上，且点的坐标为．将绕点O以60度／秒的速度顺时针旋转，第2025秒时点对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：____________． 12. 一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲、乙两人一起做，则需要___________天完成． 13 已知，则___________ 14. 如图，在中，，点是延长线上一点，的平分线交于点，平分，若，则___________． 15. 如图，已知，点是射线上一动点，连接，作的垂直平分线，与射线交于点设，当时，线段的最大值为___________，最小值为___________． 三、解答题（本大题共8道小题，满分75分） 16. （1）解不等式组： （2）求证：当为自然数时，能被24整除． 17. 先化简，再求值：，其中值取中的一个数． 18. 已知：如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点． （1）求证：； （2）设与的延长线相交于点，若，直接写出点到的距离为___________． 19. 小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义． （1）如图1，小明把左侧两个正方形和两个长方形，拼接为右边的一个大正方形，计算发现：左侧四个图形的面积和为___________，右侧大正方形的面积为___________，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：___________； （2）按照小明的思路，图2的四个图形也可以拼成一个大长方形． ①拼成的大长方形的长为___________，宽为___________； ②根据图2的拼接，写出该多项式的因式分解． 20. 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑，哥哥每秒跑．设哥哥出发秒后，哥哥所跑路程为，弟弟所跑的路程为． （1）直接写出关于的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； （2）根据图象回答下列问题： ①当秒时，___________跑在前面(填“哥哥”或“弟弟”)；当___________秒时，哥哥追赶上弟弟； ②当哥哥跑在弟弟的前面时，时间的取值范围为___________； ③___________先跑过20m，___________先跑过100m．(填“哥哥”或“弟弟”) 21. 如图1，点为的边的中点，连接并延长到点，使得，延长到点，使得，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，在图1的基础上，当为等腰直角三角形，，且时，求四边形的面积． 22. 某商店甲品牌每盒方便面的标价是乙品牌每盒方便面标价的倍，已知用40元购买甲品牌方便面的盒数比用40元购买乙品牌方便面的盒数少3盒． （1）求甲、乙两种品牌方便面每盒的标价； （2）小明准备购买这两种方便面共15盒，设需要总费用元，其中购买甲品牌方便面盒． ①写出与之间的函数关系式； ②若购买两种品牌方便面的总费用不超过100元，则小明最多可以购买多少盒甲品牌方便面？ 23. (1)已知四边形是正方形，点是射线上一动点，点在射线上，，连接． ①观察猜想：如图1，当点与点重合时，易得与数量关系为___________，___________°． ②探究证明：当点不与，两点重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立请仅就图的情况进行证明；若不成立，请说明理由； （2）拓展延伸：如图，是等腰直角三角形，直线经过点，且．点为射线上一动点．将线段绕点逆时针旋转到，过点作，垂足为．当，时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$