专题6.3 等比数列 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题6.3 等比数列 1．等比数列的有关概念 ⑴等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示(). 用递推公式表示为：. 注意：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列. ⑵等比中项：如果组成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，由等比数列的定义可知. 即只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项. ⑶等比数列的通项公式及其变形： ① 等比数列中， 则， 当时，也成立，故； ② ，两式相除可得 ⑷等比数列中的函数关系 等比数列中，，若设，则： I.当时，，等比数列是非零常数列. 它的图象是在直线上均匀排列的一些孤立的点. II.当且时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线(且)上的一些孤立的点. ①当且时，等比数列是递增数列； ②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列； ④当且时，等比数列是递增数列. III.当时，等比数列是摆动数列. 2．等比数列的前项和 错位相减法求等比数列的前和： ① ② ①-②得： 得(为常数). 3．等比数列的性质 ⑴等比数列的常用性质： ①在等比数列中，若且，则； ②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项，即； ③在等比数列中，相隔相等项组成的数列是等比数列； ④若数列是等差数列，则等仍为等比数列． ⑤数列为各项均为正数的等比数列，则数列是公差为的等差数列． ⑵ 等比数列的前和的性质 ①连续项和(不为零)仍是等比数列.即成等差数列； ②数列项数为项，则，数列项数为,则. ③若是公比为的等比数列，则. 4.等差数列与等比数列的区分与联系 ⑴如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列． ⑵如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列． ⑶如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件． ⑷如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列． 1.【人教A版选择性必修二 4.3.2 例8 P36】已知等比数列中，，，前项和为，则与的大小关系为          ． 2.【人教A版选择性必修二 习题4.3 第10题 P41】(多选)已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则下列命题正确的是(    ) A. B. 当且仅当时，取得最大值 C. D. 考点一 等比数列中的基本量运算 【典例精讲】 例1.(2023·江西省吉安市月考)(多选)在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是(    ) A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为的等差数列 例2.(2023·广东省自主招生) 已知等比数列的前项和是，若，，则(    ) A. 或 B. 或 C. D. 例3.(2023·浙江省杭州市月考) 已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可求解. 要抓住基本量，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． 2.等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论， 当时，的前项和；当时，的前项和. 【拓展提升】 练1-1(2024·辽宁省沈阳市期末)(多选) 棋盘上标有第、、、站，棋子开始位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第站时，游戏结束．设棋子位于第站的概率为，设，则下列结论正确的有(    ) A. ，， B. 数列是公比为的等比数列 C. D. 练1-2(2024·湖北省恩施市月考)已知数列中，，． 求证：是等比数列，并求的通项公式； 若不等式对于恒成立，求实数的最小值． 考点二 等比数列的判定与证明 【典例精讲】  例4.(2023·北京市市辖区月考) 设，数列满足，． 若，，证明是等比数列，并求的通项公式； 若，证明：． 例5. (2024·广东省广州市模拟)函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意实数，满足： ，，， 考查下列结论：；为奇函数：数列为等差数列；数列为等比数列． 以上结论正确的是          ． 【方法储备】 等比数列的判定与证明方法： 1.定义法：当时，证明对任意正整数都有等于同一个常数． 2.等比中项法：证明对任意正整数都有. 3.通项公式：是以为首项，为公比的等比数列． 4.前项和公式法： (为非零常数,)⇔前的系数和常数项是互为相反数，则数列是以为公比的等比数列． 说明：⑴证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. ⑵在利用递推关系判定等比数列时，要注意对的情形进行验证. 【拓展提升】 练2-1. (2023·广东省阳江市月考) 数列中，已知对任意，，则等于(    ) A. B. C. D. 练2-2(2023·江西省南昌市期中) 已知数列的首项，函数有唯一零点，则通项(    ) A. B. C. D. 练2-3(2024·广东省广州市期末)已知数列为等差数列，，其前项和为，数列满足：． 求证：数列为等差数列； 试探究数列中是否存在三项构成等比数列？若存在，请求出这三项；若不存在，请说明理由． 考点三 等比数列的性质及应用 【典例精讲】 例6.(2024·湖北省黄冈市月考)正项等比数列的前项和为，若成等差数列，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 例7.(2023·辽宁省沈阳市期中)(多选) 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是                                                  (    ) A. B. C. 是数列中的最大值 D. 若，则最大为． 例8.(2023·山东省青岛市模拟)(多选) 年，李政道博土给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“只猴子分一堆桃子怎么也不能分成等份，只好先去睡觉准备第二天再分夜里只猴子偷偷爬起来，先吃个桃子然后将其分成等份，藏起自己的一份就去睡觉了第只猴子又爬起来，吃掉个桃子后也将桃子分成等份，藏起自己的一份睡觉去了：以后的只猴子都先后照此办理问最初至少有多少个桃子最后至少剩下多少个桃子”下列说法正确的是．(    ) A. 若第只猴子分得个桃子不含吃的，则 B. 若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则为等比数列 C. 若最初有个桃子，则第只猴子分得个桃子不含吃的 D. 若最初有个桃子，则必为的倍数 【方法储备】 1.等比数列性质的应用可以分为三类：通项公式的变形、等比中项的变形、前项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 说明：⑴在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若，则”，可以减少运算量，提高解题速度. ⑵在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用. 2.等比数列最值有关问题的解题思路 求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量的函数关系进行求解，有时也注意基本不等式的应用． 3.等比数列的实际应用 ⑴抓住数量关系，建立数学模型, 明确问题所求量()； ⑵在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确； ⑶在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系． 【拓展提升】 练3-1(2024·湖北省黄冈市月考)在等比数列中，，，则           ． 练3-2(2024·湖北省咸宁市月考) 等差数列的公差满足成等比数列，若，是数列的前项和，则的最小值为          ． 练3-3(2024·湖南省长沙市月考)(多选) 已知红箱内有个红球、个白球，白箱内有个红球、个白球，所有小球大小、形状完全相同第一次从红箱内取出一球后再放回原袋，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回原袋，依次类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回去记第次取出的球是红球的概率为，数列前项和记为，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. 当无限增大，将趋近于 D. 考点四 等差数列与等比数列的综合应用 【典例精讲】 例9.(2023·湖北省孝感市月考) 已知等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列．令，则数列的前项和(    ) A. B. C. D. 例10.(2024·广东省广州市月考) 公差不为的等差数列的前项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则(    ) A. B. C. D. 例11.(2024·天津市月考) 已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则          ． 【方法储备】 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解． 【拓展提升】 练4-1(2024·四川省成都市月考)已知等比数列 的前项和为，且，，成等差数列，则(    ) A. B. C. D. 练4-2(2023·湖北省武汉市月考)已知数列满足，． 求的通项公式； 若，数列满足，，，，求的前项和． 1.(2024·山东省烟台市期末) 南京大学年的本科生录取通知书用科赫曲线的数学规律鼓励新生成为独一无二的自己，还附赠“科赫雪花”徽章，意在有限的生命中，创造无限可能科赫曲线的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程下图展示的分别是阶、阶、阶、阶科赫曲线，设阶科赫曲线的周长为，则阶科赫曲线的周长为          若阶科赫曲线围成的平面图形的面积为，且满足，则的最小值为          ． 2.(2024·江苏省南京市月考)(多选)已知满足中的，分别是等比数列的第项与第项，则下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 3.(2024·山东省东营市月考)森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥重要的作用．为了实现“到年，中国的森林蓄积量比年增加亿立方米”的目标，地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划．经统计，地年底的森林蓄积量为万立方米，森林每年以的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要杴伐掉万立方米的森林．设为自年开始，第年末的森林蓄积量例如． 试写出数列的一个递推公式； 设，证明：数列是等比数列； 若到年末，地要实现“森林蓄积量要超过万立方米”这一目标，那么每年的砍伐量最多是多少万立方米？精确到万立方米 【答案解析】 教材改编1 【人教A版选择性必修二 4.3.2 例8 P36】 解：当时，，，所以； 当且时，，所以； 综上可知：． 故答案为：． 教材改编2 【人教A版选择性必修二 习题4.3 第10题 P41】 解：等比数列的公比为，则，前项积为， 由，得，而，则，故A正确； 又，，得，故C正确； 由已知可得，可知当或时，取得最大值，故B错误； ， ． ，故D正确． 故选：． 例1 解：项，因为，，为整数， 联立解得，项正确； 项，，，所以，， 所以数列是公比为的等比数列，故B项正确； 项，，故C项正确； 项，因为，，所以 所以数列是公差为的等差数列，故D项错误． 故选ABC． 例2 解：等比数列的前项和是，，， 当公比时，，无解， 当公比时，，解得，，． 故选：． 例3 解：设等比数列的公比为， 因为，，所以，解得， 所以 当为正整数且奇数时，函数单调递减， 当为正整数且偶数时，函数单调递增， 所以时，取得最大值 ；当时，取得最小值，所以，解得． 故选：． 练1-1 解：棋子从第站到第站，只能向前走一步，所以； 棋子到第站，有两种方式：直接从第站到第站，或者分两步到第站，所以； 棋子到第站，有三种方式：先到第站再到第站，先到第站再到第站，分三步到第站，所以，所以A正确； B.棋子到第站分两种情形：从第站，掷出反面，其概率为； 从第站，掷出正面，其概率为， 所以，即， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，即B正确； C.由知，数列是公比为的等比数列， 所以，， 所以， 又，则， 因为若跳到第站时，游戏自动停止，故． 所以即C错误； D.，即D正确． 故选：． 练1-2 证明：由，可得，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； 解：不等式对于恒成立， 即对于恒成立，即对于恒成立， 设，由， 当时，，即，即， 当时，，即，即 所以最大，，所以， 故的最小值为．  例4 解：当，时，， 所以，由，可得， 两边取常用对数得， 又因为， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以，所以， 所以的通项公式为，； 当时，， 所以，故为递增数列， 所以时，， 因此，则， 所以有，所以， 又，所以，从而当时，， 当时，，上式也成立， 所以． 例5 解：因为函数对定义域内任意，，满足， 令，得，故错误； 令，得，令，得， 令，有，代入得， 故是上的奇函数，故正确； 若，， 则为常数， 故数列为等差数列，故正确， ，， 当时，，则， ， ，，， ，，， 数列不是等比数列，故错误． 故答案为． 练2-1 解：，①， ，②， 得：，． 当时，，符合上式， ，，， 是以为首项，为公比的等比数列， ． 故选B． 练2-2 解：函数的定义域为， 且， 为偶函数，图象关于轴对称， 的零点关于轴对称， 又有唯一零点，的零点为， 即，，即， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，则． 故选C． 练2-3 解：由数列为等差数列，则其公差， 故， 故， 则，， ，即相邻两项差为常数， 故数列为首项为，公差为的等差数列； 假设存在，且为三项构成等比数列，则有， 即有， 即有， 由、、均为整数，则有 即有，化简得， 即，其与矛盾，故数列中不存在三项构成等比数列． 例6 解：，，成等差数列，，． 由数列为等比数列可知，，，成等比数列， ， ，当且仅当时上式“”成立． 则的最小值为． 故选D． 例7 解：，且数列为等比数列， ，，， 因为， ，故A正确； ，，故B正确； 因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列， 因为，，所以是数列中的最大项，故C错误； ，即，即，故最大为，故D正确． 故选ABD．   例8 解：对于，第二只猴子分的桃子为： 第三只猴子分得的桃子为数为： 第四只猴子分得的桃子为数为： 第五只猴子分得的桃子为数为： 可得，即，故A正确； 对于，由得，又，故， 则为等比数列，故B正确； 对于，由得，则， 则， 若不含吃的，故第只猴子分得个桃子，故C错误； 对于，设最初的桃子数为，且，五只猴子分剩的桃子数依次为，，，，， 由题意，得，， 设，即， 对照式，得，解得，即， 所以数列为等比数列，首项为，公比为，所以， 因此． 由题意知，为整数，故必是的倍数，故D正确． 故选ABD． 练3-1 解：设  ， 则  ， 所以． 故答案为：． 练3-2 解：因为，，成等比数列，所以， 又因为，所以，解得或舍去， 所以，， 则， 当且仅当时取等号，此时，且取到最小值， 故答案为：． 练3-3 解：第次取到红球的概率为则取到白球的率为， 对于第次，取到红球的情况有两种， 从红箱取到，其概率为；从白箱取到，其概率为， 故第次，取到红球的概率为   ， 则，又， 故是首项为，公比为的等比数列． 故，故，故，即A正确； 对于，，， 所以，即，故B正确； 对于，由， 所以当无限增大，将趋近于，故C错误； 对于，， 故D正确． 例9 解：由题意，可知，，， ，，成等比数列， ，即，解得， ， ， ． 故选：． 例10 解：当时，； 当时，， 而时的情况也满足上式， 所以，所以， 而，，，，依次成等比数列，记该数列的公比为，则． 则． 又因为，所以，则． 故选C． 例11 解：等比数列的各项都是正数，即，设公比为，， 由成等差数列，可得， 即，化为，解得舍去， 则． 故答案为：． 练4-1 解：设等比数列的公比为  ，由  ，  ，  成等差数列可得，      即 ，化简得  ，解得  ， 所以 ． 故选：． 练4-2 解：由，得，． 因为，所以，解得． 又由，得， 而，所以数列为首项为，公比为的等比数列， 所以，故． 由已知得数列的各项依次为，，，，，，，，， 所以 因为， ， 所以．  练1 解：记第个图形为，三角形边长为，边数为，周长为，面积为， 有条边，边长；有条边，边长； 有条边，边长 分析可知，即；，即， 当第个图中的三角形的周长为时，即，， 所以； 由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，即， 即，，，， 利用累加法可得， 因为数列是以为公比的等比数列，数列是以为公比的等比数列， 故是以为公比的等比数列， 因为阶科赫曲线的周长为，所以， 因为，，有条边， 则， 所以， 所以， 若满足，则， 所以的最小值为． 故答案为：；． 练2 解：设，则，，， 于是，即，解得， 故，，A错误；，B正确 因为，所以，C错误 由条件知等比数列的偶数项构成首项为，公比为的等比数列， 于是，故D正确． 故选BD． 练3 解：由题意得：， ； ， 因为，所以，即， 当时，， 故是以为首项，为公比的等比数列． 由知：是以为首项，为公比的等比数列， 所以其通项公式为， 所以， 年底的森林蓄积量为数列的第项为， 由题意可知：森林蓄积量到年底要达到超过万立方米的目标， 所以，即， 即，解得：． 所以每年的砍伐量最多为万立方米．  共20页/第19页 学科网（北京）股份有限公司 $$