14 简单几何体的表面积与体积-2024-2025学年高一数学暑假作业

2024—2025学年高一年级暑假作业——巩固篇 14 简单几何体的表面积与体积 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知圆柱的底面半径和高相等，若该圆柱的表面积与某球的表面积相等，则圆柱与球的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱底面半径、球的半径分别为,由圆柱与球的表面积公式和体积公式列比例式求解． 【详解】设圆柱底面半径、球的半径分别为,则， 所以，所以． 故选：B. 2．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）已知圆台上下底面半径分别为1，2，圆台的母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由线面角求出母线长，再由圆台的侧面积公式计算可得. 【详解】，，，． 故选：C. 3．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥侧面积以及底面积的计算，求得母线长，利用勾股定理求得体高，结合圆锥的体积公式，可得答案. 【详解】设圆锥的体高为，母线长为，底面半径，则底面积， 侧面积，解得，易知， 所以体积. 故选：A. 4．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三棱锥中的对棱相等模型将三棱锥补成长方体，求出半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球等价于长方体的外接球， 设长方体的长宽高分别为，则，可得， 所以长方体的外接球半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为.    故选：. 5．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，三棱锥S-ABC形的容器（忽略容器的器壁）内部装满了水，在三条侧棱上各凿出一个小洞D，E，F（将三个小洞视为质点D，E，F），且，则这个容器最多可装原来水的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应成比列得出，再结合三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，连接，当平面平行于水平面时，容器可盛水最多． 因为，所以又，所以点F到平面的距离是点C到平面的距离的故 ，即这个容器最多可装原来水的 故选：A. 6．（24-25高一下·新疆巴音郭楞·期末）已知正六棱锥底边，体积为则该正六棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正六棱锥的体积公式可求高，再用勾股定理求出斜高，从而可求正六棱锥的表面积即可. 【详解】    由边长为的正六边形的面积为：， 则正六棱锥的体积为：，可得高， 再取边的中点，可得，，由， 由勾股定理可得：，所以侧面的面积为：， 即该正六棱锥的表面积为， 故选：B. 7．（24-25高一下·安徽·期末）已知在平行六面体中，，，且平面，则该平行六面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意先求，再求，根据平行六面体的体积公式计算即可. 【详解】    如图所示，因为在平行六面体中，因为， 所以，因为，所以， 因为，则， 因为平面，所以, 该平行六面体的体积为. 故选：B. 8．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，圆台的上、下底面半径分别为，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，且，则圆台的侧面积最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据几何体轴截面结构特征依次求出台体母线长为和，接着结合题设条件得，再由台体侧面积公式和基本不等式及其配凑法即可求解. 【详解】如图为几何体的轴截面，为上下底面中心，为球心，为球与母线的切点， 台体上下底半径分别为， 则，又因为，所以与全等，所以，同理可得，所以台体母线长为， 所以，则， 所以台体的侧面积为， 当且仅当即时等号成立.圆台的侧面积最小值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，母线长为2，点为的中点，则（    ） A．圆台的轴截面积为 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面积为 D．在圆台的侧面上，从C点到E点的最短路径长为5 【答案】AD 【分析】求出等腰梯形的高，进而求出面积判断A；利用圆台体积、侧面积公式求解判断BC；利用圆台侧面展开图求解判断D. 【详解】对于A，圆台的高即轴截面等腰梯形的高， 因此圆台的轴截面面积为，A正确；对于B，圆台的体积，B错误；对于C，圆台的侧面积，C错误；对于D，圆台侧面展开图是半圆环，如图，在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为线段长，，由为中点，得， 所以，D正确.    故选：AD 10．（22-23高一下·贵州毕节·期末）如图，一块半径为4的圆形铁片上有3块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的正三角形沿虚线加工成一个正三棱锥，则该正三棱锥的（    ）    A．表面积为 B．表面积为 C．体积为 D．体积为 【答案】AC 【分析】根据正弦定理得到正三棱锥的棱长，结合正三棱锥表面积和体积公式求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得，， 该正三棱锥表面积即的面积，为，故A正确，B错误. 如下图所示，记中点分别为，重合于点， 则正三棱锥的棱长为，， 过点作平面，连接，      则在中，由正弦定理得，则， 所以，所以该正三棱锥体积为，故C正确，D错误. 故选：AC 11．（24-25高一下·福建三明·期中）正方体的棱长为2，点、分别是、的中点，则下列说法正确的是（   ） A．直线、、相交于同一个点 B．过点、、的截面面积为 C．三棱锥的高是 D．三棱锥外接球表面积为 【答案】AC 【分析】先求证四点共面，再证明的交点即可判断A；过点作，交于，于，则过点、、的截面为五边形，分别计算等腰梯形和等腰三角形的面积即可判断B选项；利用即可判断C选项；计算正方体的外接球表面积即可判断D选项. 【详解】连接，因点、分别是、的中点，则， 又为正方体，则，则，则四点共面， 延长交于点，因平面，平面，则平面平面，则直线、、相交于同一个点，故A正确； 过点作，交于，于，连接，分别交于点，连接，由A选项可知，，则过点、、的截面为五边形， 容易得，，则， 又，则四边形为平行四边形，则，， 又，则等腰梯形的高为， 则等腰梯形的面积为，又， 则等腰三角形底边上的高为， 则，则，故B错误； 设三棱锥的高为，因，则， 则，故C正确；设正方体的外接球半径为，则，则外接球表面积为，故三棱锥外接球表面积为，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一下·江西吉安·期末）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正四面体的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去四个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为 ． 【答案】 【分析】该多面体的棱长为2，且表面由四个正三角形和四个正六边形组成，结合表面积公式进行计算即可求解. 【详解】正四面体的棱长为6，从各棱的三等分点处截得多面体，则该多面体的棱长为2，且表面由四个正三角形和四个正六边形组成，故该多面体的表面积为， 13．（24-25高一下·安徽·阶段练习）高中某DIY社团一学生想把实心的圆锥木块改造成一个正四棱柱木块，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，底面在圆锥的底面内.已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为 cm，则该正四棱柱侧面积的最大值为 cm². 【答案】 【分析】首先以上底面所在圆的半径为，再根据几何关系表示棱柱的侧面积，根据二次函数求最值. 【详解】设正四棱柱上底面所在圆的半径为，高为， 则正四棱柱底面棱长为，且，得， 所以正四棱柱的侧面积为， 当时，侧面积的最大值为. 14．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据正四棱台的结构特征和性质求出球的半径，进而可求出球的表面积. 【详解】 设正四棱台上、下底面所在截面圆的半径为，则， 若球心到上底面距离为，球体半径为，则球心到下底面距离为， 所以，可得，则，所以球体的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. (1)求圆柱的侧面积; (2)求三棱柱的体积. (3)求直三棱柱的外接球的体积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据圆柱的体积和结构特点求圆柱的底面半径和高，再利用圆柱的侧面积公式求解. （2）根据柱体的体积公式求解. （3）先求三棱柱的外接球半径，再利用球体体积公式求解. 【详解】（1）设底面圆的直径为，则其高也为;由题可知，圆柱的体积，解得，因此圆柱的侧面积为. （2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为，因此边长， 所以三棱柱的体积. （3）设三棱柱的外接球半径为，则， 所以三棱柱的外接球体积为：. 16．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）如图所示，长方体，底面是正方形， 为中点，. (1)求四棱锥的体积； (2)正方体内（包括边界）是否存在点，使三棱锥体积是四棱锥体积的？若存在，请指出满足要求的点的轨迹，并在图中画出轨迹图形；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点的轨迹为的中点和的中点的连线段，图形见解析 【分析】（1）利用锥体体积公式直接计算即可； （2）设点到的距离为，根据体积公式求出即可知点的轨迹. 【详解】（1）由题意可得： ； （2）存在，理由如下： 设点到的距离为，则，由（1）知， 三棱锥体积是，因为为中点， 所以点到平面的距离为，所以，所以， 即满足要求的点的轨迹是的中点和的中点的连线段， 点的轨迹如图所示： 17．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱上的点． (1)求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积； (2)设E为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少？ 【答案】(1)该正三棱柱的表面积为， (2)最小值为， 【分析】（1）根据表面积、体积公式计算可得； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，,当三点共线时，取得最小值，然后用勾股定理求解，再利用相似三角形的性质求出的长度. 【详解】（1）因为正三棱柱的高为，， 所以，， 所以该正三棱柱的表面积为， 所以； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当三点共线时，取得最小值，且最小值为， 此时因为，所以，所以，即，解得． 18．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，三棱锥的各顶点都在球的表面上，底面中，，，侧棱底面ABC. (1)求三棱锥的表面积； (2)求球的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据余弦定理求出，然后求出底面三角形的面积，然后根据垂直关系求出其它三角形的面积，进而得到三棱锥的表面积. （2）首先求出球的半径，然后根据球的体积公式进而可求出球的体积. 【详解】（1）在底面中，由，可得， 又，由余弦定理可得，， 所以，即， 故. 又，侧棱底面， 所以，. 又，且， 则为等腰三角形，设边上的高为， 则， 所以三棱锥的表面积为. （2）设球的半径为.因为，，， 所以三棱锥外接球与以为棱的长方体的外接球是同一个球， 即球O的直径恰好是以为棱的长方体的体对角线， 故，故球的半径， 所以球的体积为. 19．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）(1)推导棱台的体积公式：，其中，分别是棱台的上、下底面面积，是高. (2)在一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. ①过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线（用文字写出作图步骤即可，并在答题卡的图上用直尺画出来）； ②求该三棱台木块被问题①中的截面分成的两个几何体的体积之比.    【答案】(1)答案详见解析 (2)答案详见解析；或 【分析】（1）由于棱台是由一个棱锥被平行于底面的平面截去顶部后形成的几何体，所以棱台的体积等于大棱锥的体积减去小棱锥的体积. （2）①在平面内过点O作直线交于点，交于点，连接，求证四点共面即可求解. ②先求证几何体为棱柱，接着设棱台的高为，的面积为，得，再由台体体积公式得正三棱台体积即可求解. 【详解】（1）棱台是由一个棱锥被平行于底面的平面截去顶部后形成的几何体. 设原棱锥的顶点为 ，底面面积为 ，高为 ， 截去顶部后，上底面面积为 ，棱台的高为 ，截去的小棱锥高为 。 截去的小棱锥与原棱锥相似，所以，解得：， 原棱锥体积，小棱锥体积：， 棱台体积为原棱锥减去小棱锥：， 代入 ，， 化简后得到：. （2）    ①如图，在平面内过点O作直线交于点，交于点，连接， 则为截面与各木块表面的交线. 理由如下：由于，故四点共面， 且平面平面，平面平面， 平面平面，则为截面与各木块表面的交线. ②由于点在平面内且为的重心，， 所以，又因为，故，故几何体为棱柱， 设棱台的高为，的面积为，故，又，则， 故由台体体积公式得正三棱台体积为， 所以被截面截得的非三棱柱的另一个几何体体积为， 故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年高一年级暑假作业——巩固篇 14 简单几何体的表面积与体积 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知圆柱的底面半径和高相等，若该圆柱的表面积与某球的表面积相等，则圆柱与球的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）已知圆台上下底面半径分别为1，2，圆台的母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，三棱锥S-ABC形的容器（忽略容器的器壁）内部装满了水，在三条侧棱上各凿出一个小洞D，E，F（将三个小洞视为质点D，E，F），且，则这个容器最多可装原来水的（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·新疆巴音郭楞·期末）已知正六棱锥底边，体积为则该正六棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·安徽·期末）已知在平行六面体中，，，且平面，则该平行六面体的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，圆台的上、下底面半径分别为，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，且，则圆台的侧面积最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，母线长为2，点为的中点，则（    ） A．圆台的轴截面积为 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面积为 D．在圆台的侧面上，从C点到E点的最短路径长为5 10．（22-23高一下·贵州毕节·期末）如图，一块半径为4的圆形铁片上有3块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的正三角形沿虚线加工成一个正三棱锥，则该正三棱锥的（    ）    A．表面积为 B．表面积为 C．体积为 D．体积为 11．（24-25高一下·福建三明·期中）正方体的棱长为2，点、分别是、的中点，则下列说法正确的是（   ） A．直线、、相交于同一个点 B．过点、、的截面面积为 C．三棱锥的高是 D．三棱锥外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一下·江西吉安·期末）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正四面体的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去四个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为 ． 13．（24-25高一下·安徽·阶段练习）高中某DIY社团一学生想把实心的圆锥木块改造成一个正四棱柱木块，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，底面在圆锥的底面内.已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为 cm，则该正四棱柱侧面积的最大值为 cm². 14.（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别 为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. (1)求圆柱的侧面积; (2)求三棱柱的体积. (3)求直三棱柱的外接球的体积. 16．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）如图所示，长方体，底面是正方形， 为中点，. (1)求四棱锥的体积； (2)正方体内（包括边界）是否存在点，使三棱锥体积是四棱锥体积的？若存在，请指出满足要求的点的轨迹，并在图中画出轨迹图形；若不存在，请说明理由. 17．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱上的点． (1)求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积； (2)设E为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少？ 18．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，三棱锥的各顶点都在球的表面上，底面中，，，侧棱底面ABC. (1)求三棱锥的表面积； (2)求球的体积. 19．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）(1)推导棱台的体积公式：，其中，分别是棱台的上、下底面面积，是高. (2)在一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. ①过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线（用文字写出作图步骤即可，并在答题卡的图上用直尺画出来）； ②求该三棱台木块被问题①中的截面分成的两个几何体的体积之比.    学科网（北京）股份有限公司 $$