精品解析：内蒙古包头市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷

2023—2024学年度第二学期高一年级期末教学质量检测试卷 数学 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一只运动队有男队员42人，女队员56人，按照性别分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则男运动员应抽取的人数为（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 2. 已知复数z满足，则z的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形ABCD中，E是CD的中点．若，则（ ） A B. C. 1 D. 4. 同时抛两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数是以π为最小正周期的周期函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 抛掷两枚硬币，设事件“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件A和B互斥 B. 事件A和B互相对立 C. 事件A和B相互独立 D. 事件A和B的概率相等 10. 已知直线a，b，l，平面α，β，γ，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. ，，， D. ，，， 11. 已知平面向量，，两两夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 12. 抛掷一枚均匀的骰子5次，记录每次骰子出现的点数．根据统计结果，可以判断可能出现6点的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 极差为3，第25百分位数为2 C. 众数为2，中位数为3 D. 众数为4，第60百分位数为3.5 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知复平面内表示复数的点在直线上，则实数______． 14. 已知，，，则______． 15. 已知，，则______． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，则______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在正四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于是的中点． （1）求证：平面． （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 若函数在区间上的最大值为． （1）求解析式及最小正周期； （2）将的图象先向右平移个单位，再把所得图象上每一点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得到的图象，求在上的单调增区间． 19. 甲、乙两人组成团队参加竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一次，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求团队在第一轮活动中至少猜对一次的概率； （2）求团队在两轮活动中猜对三次的概率． 20. 在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 21. 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x（单位：t），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a值； （2）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准xt，估计x的值，并说明理由． （3）在100位居民中，第2组有n位居民，若这n位居民月均用水量的平均数为0.75t，方差为，若其中一位居民的用水量为0.75t，请判断其它位居民月均用水量的方差与的大小关系，并说明理由．（参考公式：） 22. 如图，在三棱柱中，，，，D，E分别是，BC的中点，连接，，且平面ABC． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期高一年级期末教学质量检测试卷 数学 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一只运动队有男队员42人，女队员56人，按照性别分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则男运动员应抽取的人数为（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义计算即可求解. 【详解】运动员人数为， 根据题意，男运动员应抽取的人数为：人. 故选：D 2. 已知复数z满足，则z的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】由得到 故选A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 3. 在平行四边形ABCD中，E是CD的中点．若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量线性运算，结合平面向量基本定理求解. 【详解】在中，， 而，因此， 所以. 故选：A 4. 同时抛两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据古典概型概率计算公式即可得结果. 【详解】由于同时抛两枚质地均匀的骰子共计包括个基本事件， 其中向上的点数之和为7的包括，，，，，6个基本事件， 所以两枚骰子向上的点数之和为7的概率， 故选：B. 5. 设函数是以π为最小正周期周期函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数周期及解析式求值即可. 【详解】由周期为可得， ， 故选：D 6. 已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆柱内切球的特性可知，然后求体积计算比值即可. 【详解】根据题意，设圆柱内切球半径为，底面半径为，高为， 又圆柱存在内切球，所以， ， 所以. 故选：C. 7. 已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数的图象性质求出解析式. 【详解】点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动， 在内所转过的角度为，则以为始边，为终边的角为， 因此点的纵坐标， 所以点离地面的高度. 故选：B 8. 如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求得的余弦值. 【详解】在中，，由余弦定理得， 则，为直角三角形，且， 以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 则，， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 抛掷两枚硬币，设事件“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件A和B互斥 B. 事件A和B互相对立 C. 事件A和B相互独立 D. 事件A和B的概率相等 【答案】AB 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件和相等事件的定义可解. 【详解】根据题意，事件能同时发生，所以事件A和B不互斥，故A，B错误； 事件是否发生相互不影响，所以事件A和B相互独立，故C正确， 又，故D正确； 故选：AB. 10. 已知直线a，b，l，平面α，β，γ，则下列命题正确是（ ） A. ， B. ， C. ，，， D. ，，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面垂直，面面垂直的判定与性质逐项推导判断即可. 【详解】对于A，两条直线平行，其中一条直线垂直于一个平面，则另一个直线也垂直于该平面， 即，，故A正确； 对于B，面面垂直的判定，一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直， 即，，故B正确； 对于C，根据线面垂直的判定，直线与平面内的相交直线都垂直，则直线与平面垂直。 而C项中的直线并不一定相交，故C错误； 对于D，根据面面垂直的性质，如果两个平面相互垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面， 即，，，，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知平面向量，，两两的夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意平面向量，，两两的夹角相等，则夹角可以为或，然后根据向量数量积的定义分类计算即可. 【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角可以为或， 当夹角为时，， 当夹角为时，. 故选：AD. 12. 抛掷一枚均匀的骰子5次，记录每次骰子出现的点数．根据统计结果，可以判断可能出现6点的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 极差为3，第25百分位数为2 C. 众数为2，中位数为3 D. 众数为4，第60百分位数为3.5 【答案】AC 【解析】 【分析】举例即可判断AC的正误；根据百分位数及极差判断B，由百分位数及众数判断D. 【详解】对于A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时， 满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以A正确； 对于B，由可知，由小到大排列的第二位数为2， 所以第一位数为1或2，极差为3时，最大数为4或5，所以不会出现6点，所以B错误； 对于C，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时， 满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以C正确； 对于D，由知，由小到大排列的第三位数与第四位数的平均值为3.5， 若第三，第四位数为1，6；2，5时，都与众数为4不符， 所以第三，第四位数为3，4，又众数为4，故第五位数为4，故D错误， 故选：AC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知复平面内表示复数的点在直线上，则实数______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，建立方程，再解方程即可. 【详解】因为复数在复平面中对应的点为， 又点在点在直线上， 所以，解得. 故答案为：5. 14. 已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得. 【详解】依题意，，则， 所以. 故答案为： 15. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由和差角的余弦公式求出，即可得解. 【详解】因为， ， 所以两式相加，可得， 代入其中一式可得， 所以， 故答案为： 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，由正弦定理得到，再由，得到，然后由二倍角公式求解. 【详解】因， 所以由正弦定理得：， 即， 因为，所以， 即，所以, 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在正四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于是的中点． （1）求证：平面． （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）作出异面直线所成的角，由余弦定理求解. 【小问1详解】 因为四边形为正方形。 所以 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取中点，连接,， 则，且， 即（或补角）为异面直线与所成角， 因为, 所以 即异面直线与所成角的余弦w值为. 18. 若函数在区间上的最大值为． （1）求的解析式及最小正周期； （2）将的图象先向右平移个单位，再把所得图象上每一点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得到的图象，求在上的单调增区间． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，由最大值求出，进而求出周期. （2）利用函数图象变换求出，再求出指定区间上的单调递增区间. 【小问1详解】 依题意，， 当时，，则当，即时，， 解得，所以，其最小正周期. 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位，得的图象， 再把所得图象上每一点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得， 由，得，由，得， 所以在上的单调增区间是. 19. 甲、乙两人组成团队参加竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一次，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求团队在第一轮活动中至少猜对一次的概率； （2）求团队在两轮活动中猜对三次的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式可求； （2）根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式可求. 【小问1详解】 设甲在第轮中猜对事件为，乙在第轮中猜对事件为， 团队在第一轮活动中至少猜对一次事件为， 则， 所以团队在第一轮活动中至少猜对一次的概率为. 【小问2详解】 设团队在两轮活动中猜对三次事件为， 则 ， 所以团队在两轮活动中猜对三次的概率为. 20. 在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 【答案】；4 【解析】 【分析】根据题意建立数学模型，即台风中心到达点时开始受影响，计算出直线与圆相交的弦长，利用对称性得到，再计算开始影响时间即可. 【详解】以气象台A为原点建立直角坐标系， 则台风中心移动的轨迹在直线上， 距离气象台150km的轨迹为， 则台风中心经过图中弦时，气象台会受到影响， 又原点到直线的距离，所以弦， 即， 设经过时间后开始影响，持续时间为 则，， 所以气象台所在地大约小时后受到影响，持续时间为4小时. 21. 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x（单位：t），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准xt，估计x的值，并说明理由． （3）在100位居民中，第2组有n位居民，若这n位居民月均用水量的平均数为0.75t，方差为，若其中一位居民的用水量为0.75t，请判断其它位居民月均用水量的方差与的大小关系，并说明理由．（参考公式：） 【答案】（1）； （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出； （2）计算出x落在第7组，从而得到方程，求出； （3）先求出，再利用方差公式进行推导，比较出大小. 【小问1详解】 由题意得， 解得； 【小问2详解】 估计，理由如下： ， ， 故x落在第7组，，解得， 故该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准3.17t； 【小问3详解】 ，理由如下： 第2组有人，即， 其中一位居民的用水量为0.75t，设其它7位居民用水量分别为， 故， 其它7位居民用水量平均数为， 故，显然. 22. 如图，在三棱柱中，，，，D，E分别是，BC中点，连接，，且平面ABC． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的定义得到线线垂直，根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直； （2）通过添加辅助线，证明平面，以此找到直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中通过确定边长，计算的正弦值. 【小问1详解】 连接 因为平面，平面，所以. 因为，E为BC的中点，所以， 又平面，所以平面. 由，分别为的中点，得且， 从而且，所以是平行四边形，所以. 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 作，垂足为，连结. 因为平面，平面，所以. 又平面， 所以平面，平面， 所以，又平面， 所以平面. 所以为直线与平面所成角的平面角. 由，得. 在，得， 所以， 由，得， 解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$