精品解析：湖北省荆州中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷

荆州中学2025～2026学年高一下学期5月月考数学试题 （全卷满分150分考试用时120分钟） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则（ ） A. 4 B. 13 C. 12 D. 5 2. 一圆台的上下底面的半径分别为1和2，高为，则其侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台 B. 直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积 C. 空间中，过三点有且只有一个平面 D. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 4. 已知P，Q，M，N分别为空间四边形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，若，，则的值是（ ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 不能确定 5. 复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 7. 在长方体中，，，，面对角线BD与截面所成的角为45°，则（ ）. A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 与共线的单位向量是 B. 在中，是为等腰或直角三角形的充要条件 C. 存在唯一使是的充分不必要条件 D. 在上投影向量的模为 10. 已知直线l、m、a、b均不重合，平面α、β为不同平面，下列命题为假命题的有（ ） A. 若直线a与l所成的角等于b与l所成的角，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 的最小值为 D. 点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 与垂直的单位向量的坐标是_____． 13. 已知复数、分别满足：，，其中i为虚数单位，则的取值范围为________. 14. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是_______． 四、解答题（请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，正方体中，，点分别是棱的中点. （1）根据多面体的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出证明； （2）求多面体的表面积和体积. 16. 在中，角的对边分别为，已知，． （1）若为锐角三角形，求其周长的取值范围； （2）若角的角平分线交于，满足，求的长． 17. 如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． （1）求的余弦值． （2）以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，求点坐标； （3）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 18. 如图，在正三棱柱中，为的中点，. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. （1）求直线与所成角的余弦值. （2）设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2025～2026学年高一下学期5月月考数学试题 （全卷满分150分考试用时120分钟） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则（ ） A. 4 B. 13 C. 12 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】依题意根据虚根成对原理可得也是关于的方程的一个根，利用韦达定理求出，即可得解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以也是关于的方程的一个根， 所以， 所以. 2. 一圆台的上下底面的半径分别为1和2，高为，则其侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，，则. 圆台侧面积为. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台 B. 直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积 C. 空间中，过三点有且只有一个平面 D. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体， 所有侧棱不一定交于同一点，所以该六面体不一定是棱台，故A错误； 对于B，直三棱柱的底面是三角形，根据三角形三边关系定理可得两边之和大于第三边， 所以直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积，故B正确； 对于C，空间中，过不共线的三点有且只有一个平面，若三点共线，不能确定平面，故C错误； 对于D，底面是正多边形，顶点在底面的投影是正多边形的中心的棱锥是正棱锥，故D错误. 4. 已知P，Q，M，N分别为空间四边形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，若，，则的值是（ ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位线定理以及平行四边形的性质求解即可. 【详解】 因为P，Q，M，N分别为空间四边形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点， 所以，. 因此，因此四边形是平行四边形. 因为，所以， 化简，解得. 5. 复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】平面内与复数，，，对应的四点分别为， 1.若四点构成平行四边形， 则，进而可得，所以， 所以，解得，所以； 2.若四点构成平行四边形， 则，进而可得，所以， 所以，解得，所以； 3.若四点构成平行四边形， 则，进而可得，所以， 所以，解得，所以. 6. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 7. 在长方体中，，，，面对角线BD与截面所成的角为45°，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点B作于点P，连接，可证平面，即就是与截面所成的角，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点B作于点P，连接， 在长方体中，，，， 所以平面，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 8. 在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将三棱锥补为如下图所示的长方体，三棱锥的棱分别为长方体的面对角线，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球. 设长方体的长宽高分别为，外接球半径为，根据题意可得： ， 三式相加得：，即， 长方体的体对角线即为外接球直径，因此，即， 外接球表面积. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 与共线的单位向量是 B. 在中，是为等腰或直角三角形的充要条件 C. 存在唯一使是的充分不必要条件 D. 在上投影向量的模为 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用单位向量定义判断A，应用正弦值域及充分必要条件判断B，应用共线与数乘关系判断C，应用投影向量定义判断D. 【详解】与共线的单位向量是或，A选项不正确； 在中，则或，所以或，所以为等腰或直角三角形， 当为等腰或直角三角形时，可能是或，所以不一定成立， 所以在中，是为等腰或直角三角形的充分不必要条件，B选项不正确； 存在唯一使可以得出，但是当时，但是不能得出存在唯一使， 所以存在唯一使是的充分不必要条件，C选项正确； 在上投影向量的模为不一定是，D选项不正确； 10. 已知直线l、m、a、b均不重合，平面α、β为不同平面，下列命题为假命题的有（ ） A. 若直线a与l所成的角等于b与l所成的角，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用线线关系判断A，应用线面平行及面面平行判定B，C，应用面面平行的定义判断D. 【详解】若直线a与l所成的角等于b与l所成的角，则有可能相交、平行、异面，故A中命题为假命题，符合题意； 若，，则或，故B中命题为假命题，符合题意； 若，当不相交，即时，则可能相交、平行，故C中命题为假命题，符合题意； 若，，则，故D中命题为真命题，不符合题意. 11. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 的最小值为 D. 点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据体积桥可确定A正确；作出异面直线所成角，结合余弦定理可求得B正确；将与沿直线展开到同一平面内，根据可求得C错误；过作出平面的平行平面截正方体所得的截面，根据线面垂直关系可确定点轨迹即为正六边形，知D正确. 【详解】对于A，连接， 四边形为正方形，， 平面，平面，， 平面，，平面， 点到平面的距离， 又， ，即三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，延长至点，使得，连接， ，，又， 四边形为平行四边形，， 异面直线与所成角即为（或其补角）， ，，， ， 直线与直线所成角的余弦值为，B正确； 对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如下图所示， （当且仅当为线段与交点时取等号），； ，，； ，为等边三角形，， ， ， 的最小值为，C错误； 对于D，，，，平面， 平面，又平面，； 同理可证得：， ，平面，平面； 取中点，连接， ，平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， ，平面，平面平面， 作出平面截正方体所得的截面，其中分别为的中点，则截面平面； 平面，平面， 则当平面时，， 点的轨迹即为正六边形，点的轨迹长度为，D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 与垂直的单位向量的坐标是_____． 【答案】或 【解析】 【详解】设与垂直的单位向量为， 所以，即， ，即， 联立，解得，， 所以与垂直的单位向量的坐标是或． 13. 已知复数、分别满足：，，其中i为虚数单位，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】设复数、在复平面内对应的点为，，利用复数的几何意义得出点，的轨迹，将问题转化为两圆上动点间距离的最值 【详解】设复数、在复平面内对应的点为，， 表示点与复数对应点的距离为2， 因此点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆； 表示点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 又因为，表示点，之间的距离， 所以 ，即. 14. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】 设正方体边长为，建立如图所示空间直角坐标系，设，然后利用空间向量表示出，再利用的取值范围可求得结果 【详解】设正方体边长为，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，则， 由于使，， 所以是平面的法向量， 所以， 由于，所以，， ，所以，， 由于，所以 故答案为： 【点睛】此题考查线面角有关问题，考查空间向量的应用，考查同角三角函数的关系，属于中档题 四、解答题（请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，正方体中，，点分别是棱的中点. （1）根据多面体的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出证明； （2）求多面体的表面积和体积. 【答案】（1）几何体是三棱台，证明见解析 （2）表面积为，体积为 【解析】 【分析】（1）根据基本事实证明三线共点，从而得几何体是三棱锥，结合三棱台的定义即可判断； （2）依次求出三棱台的各个面的面积即可求得表面积，再求出三棱台的高，结合台体体积公式求解即可. 【小问1详解】 几何体是三棱台，证明如下： 因为点分别是棱的中点，连接，所以， 且，因此四边形是梯形. 延长相交于点，因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面. 因为平面平面，所以， 所以直线相交于同一个点. 所以几何体是三棱锥， 由于平面平面，因为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.所以几何体是三棱台. 【小问2详解】 因为，所以， 在等腰梯形中，，高， 所以. 又因为，， 所以三棱台的表面积是. 因为三棱台的高， 所以棱台的体积 . 16. 在中，角的对边分别为，已知，． （1）若为锐角三角形，求其周长的取值范围； （2）若角的角平分线交于，满足，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）正弦定理化边，结合余弦定理求角，最后用正弦函数的性质或基本不等式求最值； （2）利用角平分线定理定边的比例，再用余弦定理求三边，最后用向量模长公式计算长度． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，整理得， 所以， 又因为，所以， 因为，由正弦定理得， 所以，， 因为，所以， 则， 又，则，即， 所以，，即， 所以，即周长的取值范围是， 【小问2详解】 因为，由角平分线定理得，即， 在三角形中，，由余弦定理得，，； 因为，所以，得， 所以 ． 17. 如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． （1）求的余弦值． （2）以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，求点坐标； （3）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是，的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解； （3）分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解． 【小问1详解】 如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则，，，， ∴，． 由于就是，的夹角． ∴， ∴的余弦值为． 【小问2详解】 设，∴， ∵，∴，∴①． ∵，，， ∴，∴②． 联立①②得，∴，∴． 【小问3详解】 由题得，． ①当点P在AB上时，设，∴， ∴，∴，∴， ∴． ②当点P在BC上时，设，∴， ∴，∴，舍去． 综上，存在，． 18. 如图，在正三棱柱中，为的中点，. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得平面，进而可得，又，进而可得平面，可证结论； （2）由（1）可证，利用已知计算可得，可得，利用线面垂直的判定定理可证结论； （3）由（2）得为直线与平面所成的角，计算求解即可. 【小问1详解】 在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面， 又平面，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. 【小问2详解】 由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，所以，可得， 因平面，故平面. 【小问3详解】 由（2）得平面，所以为直线与平面所成的角. 又，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 19. 如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. （1）求直线与所成角的余弦值. （2）设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 【答案】（1） （2）（i）不是，体积最小值为；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦值. （2）（i）利用反证法证明不平行于平面即可判断，再求出线段上到平面距离最小值即可；（ii）根据给定条件，确定点的位置，再利用等体积法求解. 【小问1详解】 在棱长为4的正方体，过点作交于，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，则， 即为直线与所成的角或其补角， 由，，得，，，， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 （i）三棱锥的体积不是定值. 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 又平面，于是平面，由（1）知，且平面， 则平面，而平面，则平面平面， 又平面，因此平面，取中点，连接，显然为的中点， 则，又与平面交于点，于是与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值， 由图知，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 且， 所以三棱锥体积的最小值为 （ii）连接，由正方体的对角面是矩形， 得，且平面，则平面，同理平面， 而平面，因此平面平面， 此时线段平面，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则. 是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $