专题1-4 向量的常考中档题训练【基础生高考复习】备考2026届高考一轮复习讲义

模块一 常考基础题 【题型1】 向量的夹角与模长计算 与夹角公式： 与夹角公式： 模长公式：或， 1． 已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 【巩固练习1】已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知，表示两个夹角为的单位向量，为平面上的一个固定点，为这个平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则 . 【题型2】投影向量 向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 向量在上的投影向量模长： 2． 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D． 【巩固练习1】已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为（ ） A．1 B． C． D． 【巩固练习2】若向量，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知向量， 因为，所以，得，所以，， 又，所以， 所以在上的投影向量为：，故选：A. 【题型3】用其他向量表示已知向量 (1)基本思路：利用向量的线性运算对已知向量进行拆分，逐渐转化为只有基底向量的形式 (2)坐标表示：待定系数法 (3)常见模型补充：向量中的定比分点恒等式（爪型图） 在中，D是BC上的点，如果，则 3． 在中，点满足，则（     ） A． B． C． D． 即 4． 若向量，，，则可用向量，表示为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习1】如图所示，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【巩固练习3】如图所示，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型4】平面向量共线定理 平面向量共线定理：三点，，共线，共线（功能：证明三点共线） 5． 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则_________． 6． 已知，则下列结论中成立的是（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线 【巩固练习1】已知，，，则（ ） A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线 C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线 【巩固练习2】已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【题型5】向量的简单应用 7． 在四边形中，已知，则四边形的面积是 . 【巩固练习1】（2025·安徽黄山·二模）(多选)如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 【巩固练习2】（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.6~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.7 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 中档题 【题型6】极化恒等式求数量积 极化恒等式求数量积 在三角形ABC中（M为BC的中点），则有： A B C M 证明（基底法）：因为， 所以 8． （2025·江西·三模）在边长为1的正方形中，是的中点，是的中点，则 . 9． 平行四边形ABCD中，，点P满足，则________． 【巩固练习1】如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 . 【巩固练习2】如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习3】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 法一：极化恒等式 取BC中点D，则 则 再去AO中点M， 当时取到最小值，故 法二：建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 【题型7】投影法求数量积 投影法求数量积 如图， 对于，其中是在上的投影， 在Rt△PBH中，故， 考虑到可能为钝角，故写成. 10． （安徽安庆·三模）已知线段是圆的一条长为4的弦，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 11． （2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（    ） A． B． C．8 D． 12． 在边长为1的正六边形中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为________ 【答案】 【详解】易得所以是等边三角形， 所以，因为，所以四边形是平行四边形， 所以， 过过交于， 当点与点重合时，取得最大值为； 当点与点重合时，取得最小值为， 的取值范围是． 【巩固练习1】（高三下·北京西城·开学考试）如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（    ）    A．10 B．13 C．18 D．26 【巩固练习2】如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为 ．    【巩固练习3】（2025·湖北·模拟预测）已知圆O的半径为2，弦，D为圆O上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型8】平面向量共线定理的推论 平面向量共线定理的推论——系数和为1： 已知 ①若，则三点共线； ②若则三点共线，则. 证明 证明①:由A，B，C三点共线. 由得：. 即，共线，故A，B，C三点共线. (2)由A，B，C三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.即，则有. 13． 如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m＝________． 14． 在中，已知，，与交于点O.若，则 . 【巩固练习1】在中，N是AC上的一点，且，P是BN上的一点，设，则实数m的值为______. 【巩固练习2】已知中，，，与相交于点，，则有序数对（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D．5 【题型9】拆分向量求数量积 把夹角或模长未知的向量拆分成已知向量，若有动点则需要结合动点轨迹进行拆分，比如动点在圆上动，则拆解相关向量时插入圆心对应的点 15． 在中，，，，则边上中线的长为_____. 16． （2025·湖北·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，点在上且，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 【巩固练习1】如图，在等腰梯形ABCD中，，，，E为BC边上一点，且满足，若，则（    ） A． B． C．4 D．8 【巩固练习2】已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，．若，则的值为________． 【巩固练习3】如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）.    A． B． C． D． 模块三 【课后巩固训练】 1. （2025·广东佛山·二模）已知的面积为，，，则 . 2. （2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3. （2025·北京西城·模拟预测）在中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模块一 常考基础题 【题型1】 向量的夹角与模长计算 与夹角公式： 与夹角公式： 模长公式：或， 1． 已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由数量积公式结合得出答案. 【详解】解：因为向量与的夹角为， 所以 所以 【巩固练习1】已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与夹角为，利用求出，在利用夹角公式计算即可. 【详解】因为，为单位向量， 由， 所以， 即，设与夹角为， 则，又，所以 【巩固练习2】已知，表示两个夹角为的单位向量，为平面上的一个固定点，为这个平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则 . 【答案】 【详解】由题知，又，表示两个夹角为的单位向量， 所以 【题型2】投影向量 向量在上的投影向量：，其中是与同方向的单位向量 向量在上的投影向量模长： 2． 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】在向量上的投影向量为. . 【巩固练习1】已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】在方向上的投影向量为，故选：D 【巩固练习2】若向量，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知向量， 因为，所以，得，所以，， 又，所以， 所以在上的投影向量为：，故选：A. 【题型3】用其他向量表示已知向量 (1)基本思路：利用向量的线性运算对已知向量进行拆分，逐渐转化为只有基底向量的形式 (2)坐标表示：待定系数法 (3)常见模型补充：向量中的定比分点恒等式（爪型图） 在中，D是BC上的点，如果，则 3． 在中，点满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出并确定点的位置，即可以向量为基底表示出. 【详解】根据题意如下图所示： 根据向量加法法则可知，又，所以 即 4． 若向量，，，则可用向量，表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量基本定理，设，代入计算得到方程组，解出即可. 【详解】设，即， 则有，解得，则. 【巩固练习1】如图所示，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的基本定理求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以，即.故选：C. 【巩固练习2】如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得，进而求得. 【详解】因为是的中点，所以． 所以，所以，所以． 【巩固练习3】如图所示，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的基本定理求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以，即.故选：C. 【题型4】平面向量共线定理 平面向量共线定理：三点，，共线，共线（功能：证明三点共线） 5． 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则_________． 【答案】6 【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因，，则， 又，且A，B，D三点共线，即，因此，解得， 所以. 故答案为：6 6． 已知，则下列结论中成立的是（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算可得，从而可求解. 【详解】解：, 所以A，D，C三点共线. 【巩固练习1】已知，，，则（ ） A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线 C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线 【答案】B 【解析】，， ， ，， 由平面向量共线定理可知，与为共线向量， 又与有公共点，，，三点共线，故选：B． 【巩固练习2】已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量的共线定理一一判断即可. 【详解】对A，, 所以，则三点共线，A正确； 对B，, 则不存在任何，使得，所以不共线,B错误； 对C，, 则不存在任何，使得，所以不共线，C错误； 对D，, 则不存在任何，使得，所以不共线，D错误 【题型5】向量的简单应用 7． 在四边形中，已知，则四边形的面积是 . 【答案】30 【分析】根据向量的加减运算和向量的数量积的运算，得到四边形为矩形，再根据向量的模的计算得到矩形的长和宽，即可求出面积. 【详解】， ， ， ， 四边形为矩形， 四边形的面积为. 【巩固练习1】（2025·安徽黄山·二模）(多选)如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 【答案】AC 【分析】利用向量的加法法则以及数量积的运算律解决速度合成问题，根据船的航行时间（其中船垂直河岸方向的分速度）可计算并判断A,C；根据船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，可计算并判断B；通过向量的有关运算计算出合成速度，可计算并判断D. 【详解】对于A，将船的速度和水流速度进行合成，船垂直河岸方向的分速度， 河宽，则渡河时间 ， 当，即，取得最小值，所以当船的航行时间最短时，，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图， 则，所以，故B错误； 对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度， 船的航行时间，即6分钟，故C正确； 对于D，将船的速度和水流速度进行合成，则， 当时，， 所以， 因为船垂直河岸方向的分速度， 所以船的航行时间， 所以船的航行距离为，故D错误. 【巩固练习2】（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.6~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.7 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风 中档题 【题型6】极化恒等式求数量积 极化恒等式求数量积 在三角形ABC中（M为BC的中点），则有： A B C M 证明（基底法）：因为， 所以 8． （2025·江西·三模）在边长为1的正方形中，是的中点，是的中点，则 . 【答案】 【分析】首先用向量将表示出来，然后用向量将表示出来，然后运用向量的数量积公式求出的值. 【详解】根据题意画图为： 因为， 所以， 所以. 9． 平行四边形ABCD中，，点P满足，则________． 【答案】3． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴＝＝ ＝＝ ∵＝＝8， ∴＝＝ === ==8-5=3．故答案为：3． 【巩固练习1】如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 . 【答案】/-0.75 【分析】根据已知条件求出，再表示出，进而求其最小值. 【详解】由题菱形边长为2， 则，，所以， 又因为， 所以， 所以， 令， 则， 所以， 则当时，取最小值为. 【巩固练习2】如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接、，根据数量积的运算律得到，再求出即可求出的范围，从而得解. 【详解】取的中点，连接、，    则 ， 又， 所以，， 即， 所以，． 故的取值范围为． 【巩固练习3】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 法一：极化恒等式 取BC中点D，则 则 再去AO中点M， 当时取到最小值，故 法二：建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 【题型7】投影法求数量积 投影法求数量积 如图， 对于，其中是在上的投影， 在Rt△PBH中，故， 考虑到可能为钝角，故写成. 10． （安徽安庆·三模）已知线段是圆的一条长为4的弦，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】取中点，连接,根据向量的相关计算性质计算即可. 【详解】取中点，连接， 易知，所以. 11． （2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】由，根据等面积可得，由及向量数量积几何意义求解即可. 【详解】由已知条件可知，，因此． 故． 12． 在边长为1的正六边形中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为________ 【答案】 【详解】易得所以是等边三角形， 所以，因为，所以四边形是平行四边形， 所以， 过过交于， 当点与点重合时，取得最大值为； 当点与点重合时，取得最小值为， 的取值范围是． 【巩固练习1】（高三下·北京西城·开学考试）如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（    ）    A．10 B．13 C．18 D．26 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论． 【详解】是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 【巩固练习2】如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】根据数量积的定义，由投影的几何意义并结合图形即可求得其范围. 【详解】，由投影的定义知， 结合图形得，当与半圆弧相切于P点的直线平行于BC时，最大为， 此时； 当P在C或B点重合时，最小为， 此时 即可得 【巩固练习3】（2025·湖北·模拟预测）已知圆O的半径为2，弦，D为圆O上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】思路一：用坐标法，表示出，，将问题转换为三角函数最值来处理即可；思路二：由投影向量定义、数量积的定义求解即可. 【详解】方法一：建立如图所示的直角坐标系， 则，，， 所以，. 所以. 当时，取最小值. 故选：B 方法二：如图，作圆的直径，过E作的延长线，垂足为C. 而可以看作在上的投影向量与的数量积. 由圆的性质知，当D与E重合时，取得最小值. 因为，所以， 则. 所以的最小值为. 【题型8】平面向量共线定理的推论 平面向量共线定理的推论——系数和为1： 已知 ①若，则三点共线； ②若则三点共线，则. 证明 证明①:由A，B，C三点共线. 由得：. 即，共线，故A，B，C三点共线. (2)由A，B，C三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.即，则有. 13． 如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m＝________． 【答案】 【简析】 14． 在中，已知，，与交于点O.若，则 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算的几何表示可得，，然后利用共线向量的推论即得. 【详解】因为，， 所以，，又， 所以，，又与交于点O， 所以，所以，即 【巩固练习1】在中，N是AC上的一点，且，P是BN上的一点，设，则实数m的值为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基底向量表示出，再借助平面向量基本定理列式计算作答. 【详解】在中，由得：，因为P是BN上的一点，则有， 即，， 又，且不共线，于是得，解得， 所以实数m的值为. 【巩固练习2】已知中，，，与相交于点，，则有序数对（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得. 【详解】依题意、、三点共线，故， 所以 ， 又、、三点共线，故， 则 ， 所以，解得， 所以，又，所以， 所以有序数对. 【巩固练习3】如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】根据及三点共线结论求得的值. 【详解】因为点是的中点， 所以， 又因为 所以， 因为三点共线， 所以，所以. 【题型9】拆分向量求数量积 把夹角或模长未知的向量拆分成已知向量，若有动点则需要结合动点轨迹进行拆分，比如动点在圆上动，则拆解相关向量时插入圆心对应的点 15． 在中，，，，则边上中线的长为_____. 【答案】 【分析】作出图象，由图可知，再由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】因为， 所以 所以，所以，故答案为： 16． （2025·湖北·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，点在上且，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性定理将求出来，然后利用向量的数量积公式求出的值. 【详解】∵，∴，∴三点共线， ∴，  ∴，∴．∴， ∴， 故选：C． 【巩固练习1】如图，在等腰梯形ABCD中，，，，E为BC边上一点，且满足，若，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】由平面向量的基本定理与数量积的运算性质求解即可 【详解】由题可知， 故，从而易知． ， ． 故 【巩固练习2】已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，．若，则的值为________． 【答案】 【解析】因为，菱形的边长为2，所以．因为，，由，所以，解得． 【巩固练习3】如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由P、C、D三点共线及，可求m的值，再用、作基底表示，进而求即可. 【详解】∵，， 即且， ∴， 又C、P、D共线，有，即， 即，而， ∴ ∴=. 模块三 【课后巩固训练】 1. （2025·广东佛山·二模）已知的面积为，，，则 . 【答案】2 【分析】应用三角形面积公式可得，再由向量数量积的运算律有，结合已知即可得. 【详解】由题设，则， 又， 所以，则， 综上，. 2. （2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组. 【详解】因，则， 故， 因三点共线，故设，则， 因，则，解得． 3. （2025·北京西城·模拟预测）在中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用向量的运算化简，利用基本不等式求最值. 【详解】在中，，所以, 因为为的中点，所以, 又因为为线段上的一个动点，所以， 所以, 当为线段上的中点时取等号， 所以则的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $$1 向量的常考中档题训练 模块一 常考基础题 【题型 1】 向量的夹角与模长计算 a与 b  夹角公式： cosθ= a ⋅b  a  b    a与 a+ b  夹角公式： cosθ= a⋅ a+b    a a+b    模长公式： a ⋅ a= a  2 或 a = a⋅a = a2， a+b   = a+b    2 1 已知 a = 3, b   = 2,a与 b  的夹角为 π 3 ， 2a-3b   = ( ) A. 6 B. 3 6 C. 3 D. 3 2 1 已知 a， b  为单 ，且 3a-5b   = 7， a与 a- b  的夹角为 ( ) A. π 3 B. 2π 3 C. π 6 D. 5π 6 2 已知 e1  ， e2  表示两个夹角为 π 3 的单 ，O为 面上的一个固定点，P为这个 面 上任意一点，当OP  = xe1  + ye2  时，定义 x,y 为点P的斜 .设点Q的斜 为 2,1 ， OQ   = . 2 【题型 2】投影向量 向量 a在 b  上投影向量： a⋅b  b    2 ⋅ b  = a ⋅ cosθ ⋅ b  b    ，其中 b  b    是与 b  同方向的单位向量 向量 a在 b  上的投影向量模长： a⋅b  b    2 1 已知 a,b  夹角为 120°的两个单 ，若 a+ λb  a上的投影 为 2a， λ= ( ) A. - 2 B. 2 C. - 2 3 3 D. 2 3 3 1 已知 a = 2， a与 b  的夹角为 2π 3 ， e 与 b  的单 ， a b  方 上的投影 为 ( ) A. 1 B. - 1 C. e D. - e 2 若 a= x,2 ,b  = 2,3 ,c= 2,-4 ，且 a∥ c， a b  上的投影 为 ( ) A. 8 13 , 12 13  B. - 8 13 , 12 13  C. 8,12  D. 4 13 13 【题型 3】用其他向量表示已知向量 (1)基本思路： 用 的线性运 对已知 进行拆 ， 渐转化为只有基 的形式 (2) 表示：待定系数法 (3) 见模 补充： 中的定比 点恒 式 (爪 图) △ABC中，D BC上的点，如果 BD CD = m n ， AD  = m m+n AC  + n m+n AB  3 1 △ABC中，点D满足AD  = 3DB  ， ( ) A. CD  = 1 4 CA  + 3 4 CB  B. CD  = 2 3 CA  + 1 3 CB  C. CD  = 3 4 CA  + 1 4 CB  D. CD  = 1 3 CA  + 2 3 CB  2 若 a= (2,1)， b  = (-1,2)， c= 0, 5 2 ， c  可用 a， b  表示为 ( ) A. 1 2 a+ b  B. - 1 2 a- b  C. 3 2 a+ 1 2 b  D. 3 2 a- 1 2 b  1 如图所示，点C 线段BD上，且BC= 3CD， AD  = ( ) A. 3AC  - 2AB  B. 4AC  - 3AB  C. 4 3 AC  - 1 3 AB  D. 1 3 AC  - 2 3 AB  2 △ABC中，AN  = 1 2 AC  ,P BN的中点，若AP  =mAB  +nAC  ，m+n= ( ) A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. 3 4 3 如图所示，点C 线段BD上，且BC= 3CD， AD  = ( ) A. 3AC  - 2AB  B. 4AC  - 3AB  C. 4 3 AC  - 1 3 AB  D. 1 3 AC  - 2 3 AB  4 【题型 4】平面向量共线定理 面 共线定理：三点A，B，C共线⇔AB  ，AC  共线 ( 能：证 三点共线) 1 已知 AB  = 2,1 ， BC  = 7,m ， CD  = 3,-1 ，若 A， B， D三点共线， m = ． 2 已知AB  = 3 e1  +e2   ,CB  = e2  - e1  ,CD  = 2e1  + e2  ， 下 结论中成 的 ( ) A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，D，C三点共线 D. D，B，C三点共线 1 已知MN  = a+ 5b  ，NP  =-2(a- 4b  )，PQ  = 3(a- b  )， ( ) A. M，N，P三点共线 B. M，N，Q三点共线 C. M，P，Q三点共线 D. N，P，Q三点共线 2 已知不共线的 a,b  ，且AB  = a+ 2b  ，BC  =-5a+ 6b  ，CD  = 7a- 2b  ， 一定共线 的三点 ( ) A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D 【题型 5】向量的简单应用 1 四边形ABCD中，已知AB  = 4,-2 ,AC  = 7,4 ,AD  = 3,6 ， 四边形ABCD的面积 . 5 1 (2025·安徽黄 ·二模) (多 )如图，一条 两 行， 的宽 d= 500  m，一艘船 从 边的A 出发， 对 航行，已知船的 v1  的大 为 v1   = 10  km/h， v2  的大 为 v2   = 2  km/h，设 v1  v2  的夹角为 θ 0<θ<π ， 下 说法正 的为 ( ) A. 当船的航行时间最短时， θ= π 2 B. 当船的航行距离最短时， cosθ= 1 5 C. 当 θ= π 6 时，船的航行时间为 6 钟 D. 当 θ= 2π 3 时，船的航行距离为 31 5  km 2 (2025·全国一卷·高考 题) 船比赛中，运 可借 风 计 定风 的大 方 ， 出的结果 航 学中称为视风风 ，视风风 对 的 ， 风风 对 的 与船行 风 对 的 之 ，其中船行风 对 的 与船 对 的 大 相 ，方 相反.图 1给出了部 风 级、 称与风 大 的对 关系.已知某 船运 某时 得的视风 风 对 的 与船 对 的 如图 2(风 的大 的大 相 )，单 (m/s)， 风为 ( ) 等级 风速大小m/s 名称 2 1.6~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.7 劲风 A. 轻风 B. 微风 C. 风 D. 风 6 模块二 中档题 【题型 6】极化恒等式求数量积 极化恒 式 数 积 三角形ABC中 (M为BC的中点)， 有：AB  ⋅AC  = AM 2- BM 2 证 (基 法)：因为BC= 2BM， 所以AB  ⋅AC  = AM  +MB   ⋅ AM  +MC   = AM 2- BM 2 1 (2025· 西·三模) 边长为 1的正方形ABCD中，E CD的中点，F BE的中点， AF  ⋅DF  = . 2 行四边形ABCD中，AB  ⋅AD  = 5，点P满足PB  ⋅PD  = 8， PA  ⋅PC  = ． 1 如图，边长为 2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P 线段BO上运 ，若AB  ⋅ AO  = 1， PA  ⋅PB  的最 值为 . 7 2 如图，已知 O的半径为 2，弦长AB= 2，C为 O上一 点， AC  ⋅BC  的取值 围为 ( )    A. 0,4  B. 5-4 3,5+4 3  C. 6-4 3,6+4 3  D. 7-4 3,7+4 3  3 已知△ABC 边长为 2的 边三角形，P为 面ABC内一点， PA  ∙ (PB  +PC  )的最 值 ( ) A. - 2 B. - 3 2 C. - 4 3 D. - 1 【题型 7】投影法求数量积 投影法 数 积 如图，PA  ⋅PB  =PA  ⋅PH  对于PA  ⋅PB  = PA   PB   cosθ，其中 PB   cosθ PB  PA  上的投影， Rt△PBH中 PB   cosθ= PH   ，故PA  ⋅PB  = PA   PH   ， 考虑 cosθ可能为钝角，故写成PA  ⋅PB  =PA  ⋅PH  . 8 1 (安徽安 ·三模)已知线段AB O的一条长为 4的弦， AO  ⋅AB  = ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 2 (2025· 东 ·三模)如图，已知矩形ABCD的边长满足AB= 2AD= 4，以A为 心的 与BD相 于P， AP  ⋅AC  = ( ) A. 32 5 B. 36 5 C. 8 D. 4 5 3 边长为 1的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点， AD  ⋅BP  的取值 围 为 1 (高三下·北京西 ·开学考试)如图， M为△ABC的外 ，AB= 4，AC= 6，N为 边BC的中点， AN  ⋅AM  = ( )    A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 9 2 如图，ABCD 边长 2的正方形，P为半 弧BC上的 点 ( 端点) AB  ⋅AP  的取 值 围为 ．    3 (2025·湖北·模拟预 )已知 O的半径为 2，弦AB= 2，D为 O上一 点， AD  ⋅ AB  的最 值为 ( ) A. - 1 B. - 2 C. - 4 D. - 6 【题型 8】平面向量共线定理的推论 面 共线定理的 论--系数 为 1： 已知PC  = λPA  + μPB  ①若 λ+ μ= 1， A、B、C三点共线； ②若 A、B、C三点共线， λ+ μ= 1. 证 ①:由 x+ y= 1⇒A，B，C三点共线. 由 x+ y= 1得：PC  = xPA  + yPB  = xPA  + (1- x)PB  ⇒PC  -PB  = x(PA  -PB  )⇒BC  = xBA  . 即BC  ，BA  共线，故A，B，C三点共线. (2)由A，B，C三点共线⇒ x+ y= 1. 由A，B，C三点共线得BC  ，BA  共线，即存 实数 λ 得BC  = λBA  . 故BP  +PC  = λ(BP  +PA  )⇒PC  = λPA  + (1- λ)PB  .即 x= λ,y= 1- λ， 有 x+ y= 1. 10 1 如图， △ABC中，AN  = 1 3 NC  ，P BN上的一点，若AP  =mAB  + 2 11 AC  ， 实数 m= ． 2 △ABC 中，已知 BD  = 2DC  ， CE  = EA  ， BE 与 AD 交于点 O . 若 CO  = xCB  + yCA  x,y∈R ， x+ y= . 1 △ABC中，N AC上的一点，且AN  = 1 3 NC  ，P BN上的一点，设AP  =mAB  + 2 11 AC  ， 实数m的值为 . 2 已知 △OAB中， OC  = CA  ， OD  = 2DB  ， AD与 BC相交于点M， OM  = xOA  + yOB  ， 有 数对 (x,y) = ( ) A. 1 2 , 1 3  B. 1 3 , 1 2  C. 1 2 , 1 4  D. 1 4 , 1 2  11 3 如图所示， △ABC中，点O BC的中点，过点O的直线 交直线AB、AC于不 的两点M、N，若AB  =mAM  ,AC  =nAN  (m,n> 0)， m+n的值为 ( )    A. 2 B. 3 C. 9 2 D. 5 【题型 9】拆分向量求数量积 把夹角或模长未知的 拆 成已知 ，若有 点 需要结 点轨迹进行拆 ，比如 点 上 ， 拆解相关 时插入 心对 的点 1 △ABC中，AC= 3，BC= 4， cosC= 2 3 ， AB边上中线CD的长为 . 2 (2025·湖北·模拟预 )已知△ABC 边长为 1的正三角形，点N AC上且AN  = 1 2 NC  ，P BN上一点且AP  =mAB  + 2 9 AC  ， AP  ⋅AB  = ( ) A. 1 9 B. 2 9 C. 4 9 D. 1 1 如图， 形ABCD中，AB⎳CD，AB= 4，∠DAB= 60°，E为BC边上一点， 且满足BE= 2CE，若AD  ⋅AB  = 4， AE  ⋅BD  = ( ) A. - 4 B. - 8 C. 4 D. 8 12 2 已知菱形ABCD的边长为 2，∠BAD= 120°，点 E， F 边BC、DC上，BC= 3BE，DC= λDF．若AE  ⋅AF  = 1， λ的值为 ． 3 如图， △ABC中，∠BAC= π 3 ，AD  = 2DB  ，P为CD上一点，且满足AP  =mAC  + 1 2 AB  m∈R ，若AC= 3，AB= 4， AP  ⋅CD  的值为 (    ).    A. - 3 B. - 13 12 C. 13 12 D. - 1 12 模块三 【课后巩固训练】 1 (2025· 东 ·二模)已知 △ABC的面积为 3， A = 2π 3 ， BA  ⋅ BC  = 6， AC = . 2 (2025·甘肃甘南·模拟预 )如图， △ABC中，BM  = 2MC  ,N为线段AM上一点，且AN  = (1- λ)AB  + λ 3 AC  ， 实数 λ的值为 ( ) A. 3 4 B. 2 5 C. 5 6 D. 6 7 3 (2025·北京西 ·模拟预 ) Rt△ABC中，AC= BC= 4，D为AB的中点， P为线段 CD上的一个 点， (PA  +PB  ) ⋅PC  的最 值为 ．