精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

重庆八中2024—2025学年度（下）期末考试高一年级 数学试题 命题：伍芋洁 吴启龙 审核：邱长江 打印：伍芋洁 校对：吴启龙 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是边长为4的等边三角形，则（ ） A. 4 B. C. D. 8 3. 已知，，为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. 5 B. C. D. 4 5. 在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知，则（ ） A B. C. D. 7. 已知三棱锥底面边长均为3，侧棱，且平面ABC，则该三棱锥外接球的半径长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部为 B. C. D. z在复平面内对应的点在第一象限 10. 已知点P是所在平面内一点，且, ，则下列说法正确是（ ） A. 若，则点P是边BC的中点 B. 若点P是边BC上靠近B点三等分点，则 C. 若，则 D. 若点P在BC边的中线上，且，则点P是的重心 11. 如图，在正三棱台中，，P，D分别是线段，BC上的点，，是上、下底面的中心，M是底面ABC内一点，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，平面，则点M的轨迹长等于 C. D. 当时，四点、O、D、P构成的图形为直角梯形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，向量，则的值是__________. 13. 如图，在△ABC中，，DB⊥平面ABC，且，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________． 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若边上的高为，当取得最大值时，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，记在方向上的投影向量为． （1）求的值； （2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16. 如图，正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为6，平面平面，平面，点在棱上. （1）若，求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在中，角所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O，.记和面积分别为，，求的取值范围. 18. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，平面ABCD，，，平面平面. （1）求证：； （2）如图，且，求点M到平面PBC的距离； （3）设四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 19. 在平面直角坐标系xOy中，定义向量为函数的有序相伴向量. （1）设（），写出函数的有序相伴向量； （2）若有序相伴向量为，若函数，，与直线有且仅有二个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2024—2025学年度（下）期末考试高一年级 数学试题 命题：伍芋洁 吴启龙 审核：邱长江 打印：伍芋洁 校对：吴启龙 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算及共轭复数定义解题即可. 【详解】，其共轭复数为. 故选：C 2. 已知是边长为4的等边三角形，则（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的定义解题即可. 【详解】在边长为4的等边三角形中，和的夹角为，， 所以． 故选：D 3. 已知，，为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】ACD可举出反例；B选项，由线面垂直和线面平行的性质和判定得到B正确. 【详解】A选项，若，，则或，所以A选项错误； B选项，若，则在内存在直线，使得， 又，，故，则，所以B选项正确． C选项，若，，则与可以成任意角，所以C选项错误； D选项，若，，，则或m与n异面，所以D选项错误. 故选：B． 4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. 5 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出. 【详解】因为，，，由正弦定理， 可得，即，可得， 由余弦定理可得，所以. 故选：B． 5. 在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件，建系，写出相关点的坐标，利用向量坐标的数量积运算将其化成二次函数，即可求得最值. 【详解】根据题意，以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 因，易推得，则，， 设，其中，则，， 于是，， 故当时，取得最小值为. 故答案为：D． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式，化简已知条件，再根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【详解】， ． 故选：A. 7. 已知三棱锥底面边长均为3，侧棱，且平面ABC，则该三棱锥外接球的半径长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将三棱锥转化为正三棱柱，根据题意结合正三棱柱的性质求外接球的半径. 【详解】将三棱锥转化为正三棱柱， 可知三棱锥的外接球即为正三棱柱的外接球， 设的外接圆圆心为，半径为r， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为O，连接OA，， 则，因为，解得， 所以该三棱锥外接球的半径长为2. 故选：A． 8. 已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合可得，进一步由可得，，由于要求的最大值，依次分，两种情况讨论即可. 【详解】函数的最小正周期为，则，在区间上恰好存在两条对称轴， ，所以，即，解得， 因为，所以点是函数图象的一个对称中心， 则，得，，即，， 因，则，且随k的增大而增大， 当时，，此时在内有三条对称轴，不合题意， 当时，，此时，其中，有两条对称轴， 则最大值为8． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部为 B. C. D. z在复平面内对应的点在第一象限 【答案】CD 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出，从而利用复数的定义及几何意义对选项一一判断，得到答案. 【详解】AB选项，复数， 则复数z的虚部为4，故AB错误； C选项，，故C正确； D选项，z在复平面内对应的点在第一象限，故D正确． 故选：CD． 10. 已知点P是所在平面内一点，且, ，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点P是边BC的中点 B. 若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则 C. 若，则 D. 若点P在BC边的中线上，且，则点P是的重心 【答案】BD 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，P为边BC的中点等价于， 即，，故A错误； 对于B，如图1，点P是边BC上靠近B点的三等分点， 则， 即，，即，故B正确； 对于C，若，则，且， 如图2，设，即，则点在边上， 点为的中点，所以，即C错误； 对于D，若，所以，且， 如图3，设，即，则点在上， 又因为P在BC边的中线上，则即为中线，从而点P为的重心，故D正确. 故选：BD． 11. 如图，在正三棱台中，，P，D分别是线段，BC上的点，，是上、下底面的中心，M是底面ABC内一点，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，平面，则点M的轨迹长等于 C. D. 当时，四点、O、D、P构成的图形为直角梯形 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A项，根据线面垂直的性质定理判断即可；对于B项，过作与平行的平面，平面，则故M的轨迹长度为QD，求QD的长即可判断；对于C项，根据锥体和台体的体积计算公式即可判断；对于D项，当P与重合，时，四点、O、D、P构成的图形不是直角梯形，即可判断. 【详解】A项，显然底面ABC，因为平面ABC，所以， 取BC的中点E，连接则， 因为为正三角形，所以，由正棱柱性质可知， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以故A选项正确； B项，，取AB的中点Q，连接DQ，， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 故当M在QD上时，满足平面，故M的轨迹长度为QD，其中， 由余弦定理得，故B选项正确； C项，，， ，， 又棱台的体积为： ， 所以，故C选项正确； D项，四边形等腰梯形，当P与重合，时，， 但此时与OB平行，故与OD不平行， 此时四点、O、D、P构成的图形不为直角梯形，故D选项错误． 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，向量，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量坐标求出的坐标，再由向量模长公式计算即得. 【详解】由，，可得， 则. 故答案为：． 13. 如图，在△ABC中，，DB⊥平面ABC，且，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________． 【答案】96 【解析】 【分析】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使，再由柱体的体积公式计算即可得出答案. 【详解】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱， 使，所以V几何体＝V三棱柱. 故答案为：. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若边上的高为，当取得最大值时，__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由等面积法可得，由正弦定理得：，结合余弦定理可得，由辅助角公式结合三角函数性质即可得解. 【详解】设BC边上的高为h，则， 则三角形的面积，得， 在中，由正弦定理得：， 又， ， 令，则，则， ∴当时，取得最大值，此时，. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，记在方向上的投影向量为． （1）求的值； （2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据投影向量及平面向量数量积的运算律即可求解； （2）由两向量夹角为钝角则点积小于0且不共线即可求解范围． 【小问1详解】 ∵，，与的夹角为30°，， ∴． 【小问2详解】 ∵向量与的夹角为钝角， ∴ ， ∴即或， 又与不能共线， 当与共线时，设，， 得， 所以实数的取值范围为． 16. 如图，正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为6，平面平面，平面，点在棱上. （1）若，求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面平面得到线面垂直，得到线线垂直，再结合面面垂直的判定定理即可证明求解； （2）根据题意建立空间直角坐标系，然后利用线面角的向量方法即可求解. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以，即， 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，又平面，所以， 所以在平面内， 又，所以在中，， 所以可得，，则， 又因为正四棱锥的所有棱长均相等，则为等腰三角形且为等边三角形，且正四棱锥的所有侧面都是等边三角形， 因为的中点，所以， 因为是正三角形，所以， 因为，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 取的中点，连接，则平面，以为原点，过点作与平行的所在直线为轴，与平行的所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为正四棱锥的所有棱长均为， 所以，，， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为， 则，即，令，则得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 在中，角所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O，.记和的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用向量数量积的坐标公式得到一个等式，然后利用正弦定理和和差的正弦函数公式对等式进行化简，最后根据角的范围求出. （2）首先利用正弦定理列出外接圆半径与的关系，然后根据圆心角、圆周角的关系列出的大小，然后根据三角形面积公式列出的表达式，最后根据角的范围求出其范围即可. 【小问1详解】 ，即， 由正弦定理得，， 因为，所以， 又，所以，即， 因为，所以，所以，即． 【小问2详解】 设外接圆半径为，则， 且由正弦定理，即， 因，， 所以， ， 所以， 由为锐角三角形知，，，令， 则， ∵， ∴． 18. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，平面ABCD，，，平面平面. （1）求证：； （2）如图，且，求点M到平面PBC的距离； （3）设四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先由线线平行证得∥平面，再利用线面平行的性质即可证明； （2）先证，，建系，写出相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用点到平面的距离的向量公式计算即可； （3）依题意设，利用求得，即得，设，，求出，求出平面AEC的一个法向量，利用题设中的线面所成角列出方程求解即得. 【小问1详解】 ∵四边形ABCD为正方形，∴， 又平面，平面，∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴； 【小问2详解】 取BC中点N，连接ON，则， ∵平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， ∴，， ∴以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，，， 设平面的一个法向量为， 则，得，故可取， ∴点M到平面PBC的距离为． 【小问3详解】 存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为， ∵，且平面ABCD为正方形， ∴点Q在平面上的射影是ABCD的中心， 可设，则， ∴，解得． 即，， 设，， ∴，，， 设平面AEC的一个法向量为， 则，得， 取， 设直线与平面AEC所成的角为， ∴， 化简得，∴或， ∴当或时，直线与平面AEC所成角的正弦值为． 19. 在平面直角坐标系xOy中，定义向量为函数的有序相伴向量. （1）设（），写出函数的有序相伴向量； （2）若的有序相伴向量为，若函数，，与直线有且仅有二个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，有唯一“和谐区间” 【解析】 【分析】（1）化简得到，得到有序相伴向量； （2）先得到，进而得到，其中，，画出图象，数形结合得到结论； （3）由，得，分a，，a，，三种情况，将的情况再细分为和两种情况，结合函数图象及定义域和值域，推出有唯一“和谐区间”． 【小问1详解】 因为， 所以函数的有序相伴向量； 【小问2详解】 若的有序相伴向量为，则， 所以 ，其中，， 如图所示为的草图： ，，， 由图象可知，若函数与直线有且仅有2个不同的交点， 则或，所以； 【小问3详解】 有唯一“和谐区间”，理由如下： ，假设存“和谐区间”， 则由，得， ①若a，，则由，知，与值域矛盾， 故不存在“和谐区间”； ②同理a，时，由，知，与值域矛盾， 故不存在“和谐区间”； 下面讨论， ③若，则，故的最小值为，于是， 所以，所以的最大值为2，故， 此时的定义域为，值域为，符合题意； ④若，当时，同理可得，，但此时，舍去； 当时，上单调递减，所以，， 于是， 令，则有， 又为奇函数，且在单调递增， 所以，所以 即，同一坐标系内，画出图象与，如下： 可知，当时，， 所以，从而，矛盾． 综上所述，有唯一“和谐区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $