精品解析：山西省长治市第一中学校2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题B

2024—2025学年（下）高二年级期末质量检测 数学（试题B） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的补集和交集的概念和运算进行求解即可. 【详解】因为，所以. 因为集合， 所以. 故选：D. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的导数计算切线斜率，再应用点斜式写出切线方程即可. 【详解】因为，所以，所以，且， 所以在点处的切线方程为，即得. 故选：A. 3. 已知、，则“”是“”的（　　）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】当时，满足，但， 所以由不能得到. 当时，由不等式的基本性质得， 所以由能推出. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积以及底面积的计算，求得母线长，利用勾股定理求得体高，结合圆锥的体积公式，可得答案. 【详解】设圆锥体高为，母线长为，底面半径， 则底面积，侧面积，解得， 易知，所以体积. 故选：A. 5. 投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（ ） A. 投掷2次骰子，最终得分的期望为 B. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 C. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 D. 设最终得分为分的概率为，则 【答案】D 【解析】 【分析】由离散型随机变量的分布列求解数学期望即可判断选项A；投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分，求出，然后利用错位相减法求和即可判断选项B；计算出，即可判断选项C；最终得分，前一次要么是分，要么是分，所以，即可判断选项D. 【详解】对于A，投掷2次可能的取值为2，3，4，，， ，，故A错误； 对于B，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分， ， 所以， 设， 则， 所以， 所以， 则，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，投掷骰子一次要么得1分，要么得2分， ∴最终得分，前一次要么是分，要么是分， 故，故D正确； 故选：D. 6. 某厂1995年的产值为万元，预计产值每年以5%递增，则该厂到2007年的产值（万元）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】指数函数的实际应用，解答本题只需要从1995年向后写几年就可以得到规律. 【详解】∵某厂1995年的产值为万元，预计产值每年以5%递增， ∴该厂到1996年的产值(万元)为, 该厂到1997年的产值(万元)为, 该厂到1998年的产值(万元)为, ∴该厂到2007年的产值(万元)为. 故选：C． 7. 已知过抛物线焦点直线与该抛物线交于两点，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，分直线斜率存在与不存在，建立方程，利用基本不等式，可得答案. 【详解】由抛物线，则焦点，设，， 易知 当直线的斜率不存在时，直线方程为，则， 即，解得； 当直线的斜率存在时，可设直线方程为， 代入，整理可得， ，， 则，当且仅当时，等号成立， 即，解得. 综上所述的最大值为. 故选：A. 8. 过点向曲线（为正整数）引斜率为（）的切线，切点为，则下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. D. 数列的前项和为 【答案】D 【解析】 【分析】求出切线方程并与曲线联立，根据即可判断A；利用韦达定理即可判断B；利用对数的运算法则化简即可判断C；利用等差数列的前项和公式判断D. 【详解】由题意可知切线方程为， 联立得，， 则，即， 因，则，故A正确； 由韦达定理可得， 得，故B正确； ，故C正确； 因， 则，则，故D错误. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 若随机变量满足：，则相互独立 B. 已知随机变量，若，则. C. 在线性回归分析中，样本相关系数值越大，变量间的线性相关性越强 D. 一组数据的经验回归方程为，则当时，残差为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用条件概率和对立事件概率公式化简；B由正态分布曲线的对称性可判断；C由相关系数的意义可判断；D计算出样本中心点，再将其代入回归方程中求出，再根据残差的定义计算. 【详解】A选项，，， 故，即，则相互独立，A正确； B选项，由正态分布曲线的对称性可知，和关于对称， 故，B正确； C选项，的绝对值越大，变量间的线性相关性越强，故C错误； D选项，，， 故数据的样本中心点为， 将代入中得，解得， 所以经验回归方程为，当时，，故残差为，D正确. 故选：ABD 10. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若为钝角，则 C. 当时，若，且是钝角三角形，则 D. 若，则满足条件的三角形有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：利用三角形内角性质结合余弦函数单调性计算即可得；对B：借助三角形内角性质与诱导公式计算即可得；对C：借助余弦定理的推论计算即可得；对D：借助余弦定理计算可得有两解，即可得解. 【详解】对A：由题意可得，又在上单调递减， 若，则，故A正确； 对B：若为钝角，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则，故， 设，则，，， 故， 即，化简得， 则，又，有，则，故C错误； 对D：由余弦定理可得， 即，解得， 即有两解，故满足条件的三角形有两个，故D正确. 故选：ABD. 11. 若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 当时，有两个零点 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先利用换元将化成，利用导数研究的单调性与极值，A选项令进行检验即可；B选项利用的性质即可判断；C选项构造函数，结合的性质，即可得解；D选项构造函数，利用导数研究函数的单调性，再通过换元，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 令()， 在上单调递增，，即， ，， 令，即，，令，解得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 是函数的极大值点，此时， 对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项， ，， 又当时，，当时，， ，，即当时，有两个零点，即有两个零点，故B正确； 对于C选项，由于，令，，即， 不妨设，则有， 令， ， ，，则，在上单调递增， 则当时，，即； 又，，函数上单调递减， ，即，故C正确； 对于D选项，由于，即， ，则，且有， 令，， 则函数在上单调递减， 当时，，即当时，， 令，所以，即， 所以，则，故D正确. 故选:BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 袋中有4个红球，个黄球，个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用选取问题组合数列式计算，即可求解未知量的值. 【详解】由取出的两个球都是红球的概率为，根据题意可得：， 解得：或（舍去）， 再由一红一黄的概率为，可得：， 所以，即， 故答案为：1 13. 设向量其中为坐标原点， ，若三点共线， 则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示可得，再应用基本不等式及“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由， 由三点共线，且， 所以， 则， 当且仅当时取等. 故答案为：6 14. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为__________________. 【答案】2 【解析】 【分析】应用点到直线的距离得，结合的关系得，在中应用余弦定理得，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求离心率. 【详解】 由题意，，双曲线的渐近线为，如上图， 设点在上，则，故， 所以，则，故， 所以，故，则椭圆离心率为. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且． （1）求角A的值； （2）若，设角，周长为y，求的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理，结合题中条件，可以得到，之后应用余弦定理即可求得； （2）利用正弦定理求得，求出三角形的周长，利用三角函数的最值求解即可. 【详解】（1）由已知可得， 结合正弦定理可得，∴， 又，∴． （2）由，及正弦定理得， ∴，， 故，即， 由，得，∴当，即时，． 【点睛】该题主要考查的是有关解三角形的问题，解题的关键是掌握正余弦定理，属于简单题目. 16. 某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出名学生的数学成绩和物理成绩，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：，，，其中、分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中.通过计算得到与的相关系数. （1）求与的线性回归方程； （2）已知同学甲的此次数学成绩为分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过80分？ 参考公式：，；相关系数. 【答案】（1） （2）同学甲物理成绩不会超过分. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，结合题干中的数据求出、的值，即可得出回归直线的方程； （2）将代入回归直线方程，即可得出结论. 【小问1详解】 由题中数据可得，，， 由得， ， 所以， 所以线性回归方程为. 【小问2详解】 当时，，即同学甲物理成绩不会超过分. 17. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调增区间； （3）若存在极大值点，求证：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出切线的方程； （2）求导，分情况讨论函数的单调递增区间； （3）利用函数的单调性求出函数的极大值，根据的取值范围进而可证明. 【小问1详解】 若，则，，， 曲线在处切线的斜率， 曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 ，定义域为， ， 当时，令，得或， 函数的单调增区间为和； 当时，，函数的单调增区间为； 当时，令，得或， 函数的单调增区间为和． 综上，当时，函数的单调增区间为和； 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为和； 【小问3详解】 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为， ，，，； 当时，在单调递增，此时无极值，不合题意； 综上，若存在极大值点，则． 18. 如图，在正方体中，，点为棱AB上的动点（不含端点），点为上一点，直线DH交平面于点. （1）求证平面； （2）若， （i）求证平面； （ii）当为何值时，直线与平面所成角正弦值为. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题可证得四点共面，然后由面面平行性质得到线线平行，从而可求解 【小问1详解】 证明：四点共面， 平面平面ABCD，平面平面，平面平面， 平面平面平面. 【小问2详解】 （i）证明：如图所示， 连接平面平面，， 又平面平面平面， 又平面平面. （ii）如图所示，在平面内作直线垂足为， 连接，设. 平面， 平面即为直线与平面所成角. 平面， 平面平面， ， 当时，直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若，求直线的方程； （3）若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，定点，定值为1 【解析】 【分析】（1）由的面积求出，点坐标为，代入椭圆方程求解即可； （2）设直线的方程为，即，整体代入双曲线方程，利用齐次化，结合韦达定理求解即可； （3）设直线：，则，同理可得，假设存在点满足题设，求出为定值即可． 【小问1详解】 因为当直线的斜率为时，的面积为． 所以的面积为， 由对称性得，点坐标为， 则 结合，得，， 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 因为双曲线的左顶点为，则， 因为直线斜率不存在时不满足题意， 所以设直线，，的斜率分别为，，，直线的方程为， 则， 双曲线，即， 所以，则， 所以， 即， 所以， 设，， 则， 若，则， 则直线的方程为，即． 【小问3详解】 设直线：， 令，得，则，同理可得， 假设存在点满足题设， 则为定值， 所以，所以，且， 即存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年（下）高二年级期末质量检测 数学（试题B） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知、，则“”是“”（　　）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 4. 已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（ ） A. 投掷2次骰子，最终得分的期望为 B. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 C. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 D. 设最终得分为分的概率为，则 6. 某厂1995年产值为万元，预计产值每年以5%递增，则该厂到2007年的产值（万元）是（ ） A. B. C. D. 7. 已知过抛物线焦点的直线与该抛物线交于两点，若，则的最大值为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 过点向曲线（为正整数）引斜率为（）的切线，切点为，则下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. D. 数列的前项和为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 若随机变量满足：，则相互独立 B. 已知随机变量，若，则. C. 在线性回归分析中，样本相关系数的值越大，变量间的线性相关性越强 D. 一组数据的经验回归方程为，则当时，残差为1 10. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若为钝角，则 C. 当时，若，且是钝角三角形，则 D. 若，则满足条件的三角形有两个 11. 若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 当时，有两个零点 C. 若且，则 D. 若且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 袋中有4个红球，个黄球，个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________. 13. 设向量其中为坐标原点， ，若三点共线， 则的最小值为________. 14. 已知为坐标原点，双曲线右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为__________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且． （1）求角A的值； （2）若，设角，周长为y，求的最大值． 16. 某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出名学生的数学成绩和物理成绩，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：，，，其中、分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中.通过计算得到与的相关系数. （1）求与的线性回归方程； （2）已知同学甲的此次数学成绩为分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过80分？ 参考公式：，；相关系数. 17. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调增区间； （3）若存在极大值点，求证：． 18. 如图，在正方体中，，点为棱AB上的动点（不含端点），点为上一点，直线DH交平面于点. （1）求证平面； （2）若， （i）求证平面； （ii）当为何值时，直线与平面所成角正弦值为. 19. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若，求直线的方程； （3）若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $