精品解析：山东省东营市胜利第六十二中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年第二学期期中质量检测 八年级数学试题 （总分120分考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在试卷和答题卡的相应位置． 2．本试题不分ⅠⅡ卷，所有答案都写在答题卡上，不要直接在本试卷上答题． 3．必须用0.5毫米黑色签字笔书写在对应的答题卡区域，不得超出规定范围． 第I卷选择题（共65分） 一、选择题：（本大题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡上．） 1. 下列是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，逐一分析选项即可． 【详解】解：A．，被开方数，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式； B．，被开方数 中，是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式； C．，被开方数无法分解为平方数或平方表达式，且不含分母，满足最简二次根式的条件； D．，被开方数，含分母，可化简为，故不是最简二次根式； 故选C． 2. 若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴==， 故选：D 3. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A． 未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．含有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．等式左边不是整式，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 若a为方程的解，则的值为（ ） A. 12 B. 6 C. 9 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义将a代入一元二次方程，再用整体法求解． 【详解】解：∵a为方程的解， ∴， ∴=6． 故选B． 【点睛】此题考查的是根据一元二次方程的解，求代数式的值，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键．注意整体法的解题思想． 5. 如图，直线，直线 和被，，所截，，，，则 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴. ∵AB=5，BC=6，EF=4， ∴. ∴DE=. 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 6. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用一元二次方程配方法进行配方即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ 故答案选B 【点睛】本题主要考查了一元二次方程配方法，正确的配出一次项系数的一半的平方是解题的关键． 7. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先把方程的左边分解因式化为从而可得答案． 【详解】解：， 或 解得： 故选B 【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键． 8. 方程根的情况是（   ） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】利用根的判别式进行判断即可． 【详解】解：方程中，，，， ∴， ∴此方程有两个不相等的实数根． 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 9. 等腰三角形一边长为2，另外两边长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：①当等腰三角形的底边为2时， 此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根， ∴△＝36−4k＝0， ∴k＝9， 此时两腰长为3， ∵2＋3＞3， ∴k＝9满足题意， ②当等腰三角形的腰长为2时， 此时x＝2是方程x2−6x＋k＝0的其中一根， 代入得4−12＋k＝0， ∴k＝8， ∴x2−6x＋8＝0 求出另外一根为：x＝4， ∵2＋2＝4， ∴不能组成三角形， 综上所述，k＝9， 故选∶B． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质． 10. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有( ) A. 1个 B. 2 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB； ②DE∥BC，则有∠AED=∠C，∠ADE=∠B，则不可判断△ADE∽△ACB； ③＝，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB； ④AD·BC＝DE·AC，可化为，此时不确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB； ⑤由∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB； 所以能满足△ADE∽△ACB的条件是：①③⑤，共3个， 故选C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的三种判定定理． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 计算：______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键． 先根据平方差公式和二次根式乘法法则计算，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：7． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 13. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可． 【详解】解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2， ∴a+1=3，解得：a=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 14. 若一元二次方程有一根为，则 =________ 【答案】2022 【解析】 【分析】将x=－1代入原方程，可得到关于a、b的等式，即可得到答案． 【详解】将x=－1代入ax²+bx－2022=0得： a×（－1）²+b×（－1）－2022=0 ∴a－b－2022=0 ∴a－b=2022 【点睛】本题考查了一元二次方程的相关知识，在将方程的解代入方程时需注意的事项是本题的解题关键． 15. 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ___． 【答案】＜且 . 【解析】 【分析】由一元二次方程的定义可得 ，再利用一元二次方程根的判别式列不等式＞再解不等式即可得到答案. 【详解】解： 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， 且＞ 由＞ 可得 ＜ ＜ 综上：＜且 ， 故答案为：＜且 . 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式，掌握利用一元二次方程根的判别式求解字母系数的取值范围是解题的关键. 16. 如图，已知直角 中，是斜边上的高， ，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据射影定理列式计算即可． 【详解】解：在中， ， 由射影定理得，， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 17. 如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=________． 【答案】 【解析】 【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可． 【详解】∵DE∥BC， ∴∠F=∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF=∠FBC， ∴∠F=∠DBF， ∴DB=DF， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ，即 ， 解得：DE= ， ∵DF=DB=2， ∴EF=DF-DE=2- = ， 故答案为. 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC． 18. 观察下列各式： ； ； ； ； ……． 你能发现什么规律？请用含有自然数的式子将你发现的规律表示出来_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简．根据各式计算得到结果，得出规律写出即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 以此类推，， 故答案为：． 三、解答题：本大题共6个小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂，化简二次根式，二次根式的除法和乘法，加法，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算零指数幂，化简二次根式，然后计算加减； （2）首先计算二次根式的除法和乘法，然后计算加减． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，配方法，因式分解法和公式法是解题的关键． （1）利用公式法求解； （2）先移项，再利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 或 解得：． 21. 如图，在中， ，是斜边上的高．求证：∽． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据垂直的定义得到 ，根据余角的性质得到 ，由相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴∽ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 22. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． （1）判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． （2）请选择合适的方法求解此方程． 【答案】（1）两位同学均错 （2） ， 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据根的判别式的计算可判断解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【小问1详解】 两位同学的解题过程都不正确． 【小问2详解】 ， ， 或， 所以 ， ． 23. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出一元二次方程，并正确计算． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价m元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x， 由题意得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价m元， 由题意得， 解得，， ∵每千克涨价不能超过8元， ∴。 ∴不合题意，舍去。 又∵要尽快减少库存，即销售量要尽可能大， 当 时，销售量为千克，符合题意。 ∴ 。 即该商场要保证水果每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5元． 24. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是， 的中点，连接，，求证： ． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边 上， ，与交于点，求证： ． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接 ，， ，直接写出的值． 【答案】 问题背景：证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵，分别是， 的中点 ∴， 即， ∴ ； 问题探究：证明：如图所示，取的中点，连接 ， ∵是的中点，是的中点， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ∴四边形 是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴ ， ∴ ； 问题拓展： 【解析】 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得 ，根据点，分别是， 的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接 ，得 是的中位线，根据已知条件可得 平行且等于，进而可得 是平行四边形，得 ，则 ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，进而可得 ，等量代换可得 ，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作 ，则四边形 是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得 ，证明垂直平分，进而得出 ，证明 ，进而证明 ， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：略 问题探究：略 问题拓展：如图所示，过点作 ，则四边形 是矩形，连接， ∵ ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中， ， ∵ ，由（2） ∴ ， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴ ， ， 在 中， ∴ 设 ，则 ∴ ， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中质量检测 八年级数学试题 （总分120分考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在试卷和答题卡的相应位置． 2．本试题不分ⅠⅡ卷，所有答案都写在答题卡上，不要直接在本试卷上答题． 3．必须用0.5毫米黑色签字笔书写在对应的答题卡区域，不得超出规定范围． 第I卷选择题（共65分） 一、选择题：（本大题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡上．） 1. 下列是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 3. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 若a为方程的解，则的值为（ ） A. 12 B. 6 C. 9 D. 16 5. 如图，直线，直线和 被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是( ) A. B. C. D. 7. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 方程根的情况是（   ） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 9. 等腰三角形一边长为2，另外两边长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12 10. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有( ) A. 1个 B. 2 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 计算：______． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 13. 与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____． 14. 若一元二次方程有一根为，则 =________ 15. 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ___． 16. 如图，已知直角 中， 是斜边上的高， ，，则_______． 17. 如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=________． 18. 观察下列各式： ； ； ； ； ……． 你能发现什么规律？请用含有自然数的式子将你发现的规律表示出来_____． 三、解答题：本大题共6个小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程 （1） （2） 21. 如图，在中， ， 是斜边上的高．求证：∽． 22. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． （1）判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． （2）请选择合适的方法求解此方程． 23. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 24. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证： ． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上， ，与交于点，求证： ． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接 ，， ，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $