第一章勾股定理测试卷2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026北师大版八上勾股定理单元测试卷（提升卷） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为(    ) A. B. C. D. （T1图） （T3图） （T4图） （T5图） 2.若的三边长，，满足，则下列对的形状描述最确切的是  (    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 3.如图铁路上，两点相距千米，，为两村庄，，，垂足分别为和，千米，千米现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得，两村到煤栈的距离相等，那么煤栈应距点(    ) A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 无法确定 4.如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，底面半径为，取，求点移动的最短距离为(    ) A. B. C. D. 5.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等直角三角形的两边，在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是  (    ) A. B. C. 四边形四边形 D. 四边形 6.如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，点在上，，，点是上的动点，则的最小值为  (    ) A. B. C. D. （T6图） （T7图） （T8图） （T9图） 8.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为滑轮上方的部分忽略不计 A. B. C. D. 9.如图，在的正方形网格中，的度数是(    ) A. B. C. D. 10.国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口处出发先往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走，再向北走到处往东拐，仅走了，就找到了宝藏，则门口到藏宝点的直线距离是． A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 11.如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则的长为          ． （T10图） （T11图） （T12图） （T13图） （T14图） 12.已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．______时为直角三角形． 13.如图，，，，，，则          ． 14.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是          尺． 三、解答题：本题共7小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕．已知，，求的长． 16.本小题分如图，在中，于点，，，． 求，的值 判断的形状，并说明理由． 17.本小题分同学们都玩过荡秋千吧？如图，已知秋千顶端离地面的距离为，秋千静止时座位离地面的距离是当秋千荡到最高处，此时座位离地面的距离恰为试求出秋千荡出的水平距离的长． 18.本小题分森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． 着火点受洒水影响吗？为什么？ 若飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要，请你通过计算判断着火点能否被扑灭． 19.本小题分如图，在中，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，求的最小值． 20.本小题分如图，在四边形中，，，，且，试求的度数． 21.本小题分 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点． 特例感知： 等腰直角三角形          勾股高三角形请填写“是”或“不是” 如图，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高若，试求的值． 深入探究： 如图，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，，是边上的高，试探究线段与的数量关系，并给予说明． 推广应用： 如图，等腰三角形为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点作交边于点若，试求线段的长度． 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意得出方程，题目比较典型，难度适中．设正方形的面积为，根据图形得出方程，求出即可． 【解答】 解：设正方形的面积为， 正方形、、的面积依次为、、， 根据图形得：， 解得：． 故选A． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的知识点是勾股定理的逆定理，偶次方的非负性，绝对值的非负性，首先根据题意由非负数的性质可得，进而得到，，根据勾股定理逆定理可得的形状为等腰直角三角形． 【解答】 解：，  ，，  解得：，，  的形状为等腰直角三角形  故选C． 3.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意，进而利用勾股定理得出是解题关键． 设，则，根据题意利用勾股定理得出，进而求出即可． 【解答】 解：设，则， ，，，两村到煤栈的距离相等， ， 故， 解得：， 则煤栈应距点． 故选：． 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】解：从整体看，可按梯形的面积公式计算梯形的面积；从部分看，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，故选D． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，那么的面积减去的面积就是所求的面积． 【解答】 解：如图，连接． 在中， ，，， ， ， 又， 是直角三角形， 这块地的面积的面积的面积 故选A． 7.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了轴对称线路最短的问题，确定动点在何位置时，使的值最小是解题的关键．过点作于，延长到，使，连接，交于，连接，，此时的值最小．由全等三角形得到，，于是得到，然后根据勾股定理即可得到结论． 【解答】 解：过点作于，延长到，使，连接，交于，连接，． 此时的值最小． ，， ， 易得， ，， ， 根据勾股定理可得， ． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理的应用． 过点作于，设旗杆高度为，可得，，，在中利用勾股定理可求出． 【解答】 解：设旗杆高度为，过点作于， 则，，， 在中，，即， 解得：， 即旗杆的高度为米． 9.【答案】  【解析】解：连接，设小正方形的边长为， 由勾股定理得：，，， ，， 是直角三角形， 是等腰直角三角形， ， 故选：． 10.【答案】  【解析】如图，过点作，垂足为． 观察图形可知，， 在中，，． 故门口到藏宝点的直线距离是故选D． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查翻折变换，以及勾股定理，根据折叠的性质得出，再得出，然后设，表示出，再利用勾股定理求出的值即可． 【解答】 解：为的中点， ． 由折叠的性质可得． 设，则， 在中，， 即， 解得， 故答案为． 12.【答案】或  【解析】解：在中，， ， 由题意知， 当为直角时，点与点重合，，即，； 当为直角时，，，， 在中， ， 在中，， 即：， 解得：， 故当为直角三角形时，或， 故答案为：或 13.【答案】  【解析】，，，，． ，，， 是直角三角形，，． 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】解：四边形为长方形， ，， ， 又是由折叠得到， ，，， 在中，由勾股定理得， ， 设，则， 在中， ，即， 解得， 即．  【解析】本题考查了折叠的性质，长方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系． 由四边形为长方形，，，即可求得与的长，又由折叠的性质，即可得，然后在中，利用勾股定理求得的长，即可得的长，然后设，在中，由勾股定理即可得方程：，解此方程即可求得的长． 16.【答案】解：且，， 在中，， 在中，； 为直角三角形，理由如下， ，， ，  ，  为直角三角形．   【解析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得； 根据勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形． 17.【答案】根据题意，得，，， ，，，． ，由勾股定理，得故秋千荡出的水平距离的长为．   【解析】略 18.【答案】【小题】 解：着火点受洒水影响．理由如下：如图，过点作于点， 解：由题意，知，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， ． 飞机中心周围以内可以受到洒水影响， 着火点受洒水影响． 【小题】 解：如图， ，， ． 在中，， ， ． 飞机的速度为， ． ， 着火点能被扑灭．   【解析】 略  略 19.【答案】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点， 是的平分线． ，这时有最小值，即的长度， ，，， ， ， ， ． 故的最小值为．   【解析】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足有最小值时点和的位置． 过点作交于点，交于点，过点作于点，由是的平分线．得出，这时有最小值，即的长度，运用勾股定理求出，再运用，得出的值，即的最小值． 20.【答案】连接在中，，， 在中，，， ，， ．   【解析】略 21.【答案】解：是； 如图中，根据勾股定理可得：，， 于是， 如图中，由可得：，而， ， 即； 过点向引垂线，垂足为， “勾股高三角形”为等腰三角形，且， 只能是，由上问可知． 又，． 而， ≌， ． 易知与均为等腰三角形， 根据三线合一原理可知． 又，， ， ．  【解析】本题考查三角形综合题、勾股定理、全等三角形的判定和性质、勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 根据勾股高三角形的定义即可判断； 如图，根据勾股定理可得：，，于是， 即可解决问题； 由可得：，而，即可推出； 过点向引垂线，垂足为，只要证明≌，即可解决问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$