精品解析：贵州省遵义市2024-2025学年高一下学期7月期末学业水平监测数学试题

遵义市2024～2025学年度第二学期学业水平监测 高一数学 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校、姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其他选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题，在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义，即可求解. 【详解】集合，，则. 故选：C 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】， 故选：D． 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据商数关系和平方关系直接求出正弦即可． 【详解】因为，故是第一象限角，且， 故，又， ， 解得：，（舍去）， 故选：A． 4. 样本数据2，7，9，13，18，24，30的分位数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分数知识即可求解. 【详解】由题意此数据可知共个数，则， 所以样本数据的第分位数是，故A项正确. 故选：A. 5. 被誉为中国现代数学之父的华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征.例如：函数图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值的正负，判断选项. 【详解】函数的定义域为，且， 所以函数是奇函数，故排除AC， ，故排除B，只有D满足条件. 故选：D 6. 已知向量，，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据模长的坐标公式以及数量积的运算律，可得答案. 【详解】由，在， 由，则，即， 所以. 故选：D. 7. 在矩形中，，点满足，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用数量积的运算律代入计算即可. 【详解】， 由于在矩形  中，，且相邻边互相垂直， 因此 ，所以， 所以， 又因为，所以 ， 代入得：. 故选：C 8. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助分段函数性质，分与进行讨论，结合对数函数单调性及其值域可得在上必有一零点，则可得有两个不同非正根，结合根的判别式与韦达定理计算即可得解. 【详解】当时，在上单调递增，且值域为， 所以必有唯一解； 所以当时，有两个不同的根， 即有两个不同非正根，并设其两根为， 即，解得， 由，则，解得， 综上所述：的取值范围为，故B项正确. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先根据三角函数的定义，求三角函数值，再结合诱导公式，即可判断选项. 【详解】由条件可知，，所以，， ，故A正确，B错误； 所以，，故C正确，D错误. 故选：AC 10. 若正实数a，b满足，则（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式可对A项判断求解；利用再结合A项即可对B项判断求解；利用单位“1”可对C项求解判断；D项通过化简可得，再结合单位“1”的应用可得，即可对D项判断求解. 【详解】A：由题意得，则，当且仅当时取等号，故A项错误； B：由，则，当且仅当时取等号，故B项正确； C：由，当且仅当，即时取等号，故C项正确； D：由，则， 则， 当且仅当时，即时取等号，此时，故D项正确. 故选：BCD. 11. 现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互对立 D. 丙与丁互斥 【答案】BD 【解析】 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合分式不等式的解法，即可求解． 【详解】，即， 解得：或， 故不等式的解集为：， 故答案为：． 13. 已知，，则_______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式求，再利用正切表示所求式子，即可求解. 【详解】， 则. 故答案为：0 14. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，且，则外接圆的面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和差的余弦公式，化简求，再根据正弦定理求三角形外接圆的半径，即可求圆的面积. 【详解】，则， 根据正弦定理，则， 所以外接圆的面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和对称轴； （2）已知函数，求函数的单调递增区间． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴； （2）的单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数周期公式和对称轴方程的求法求解即可； （2）先求出，再利用正弦型函数单调性的求法求解即可． 【小问1详解】 由已知，的最小正周期， 令，得， 所以的对称轴为． 【小问2详解】 由题意，， 令，解得， 所以的单调递增区间为． 16. 为响应国家“体重管理年”三年行动的号召，某单位开展健步走活动，现统计该单位400名员工5月4日至5月10日的步数信息.其中甲、乙两位员工这7天的步数折线图如图1所示： （1）求从这7天中随机选取一天，该天甲比乙的步数多的概率； （2）整理这400名员工7天的健步走数据，得到频率分布直方图如图2所示.现将该单位员工每天的步数从多到少进行排名，已知某天甲与乙的步数排名分别为第283名和第130名，试判断这是哪一天的数据，并说明理由. 【答案】（1） （2）这一天是5月6日的数据 【解析】 【分析】（1）根据折线图观察，甲比乙的步数多的天数，再根据古典概型概率公式，即可求解； （2）首先根据频率分布直方图计算每一组的人数，再根据名次判断甲和乙所在的组，根据折线图确定日期. 【小问1详解】 由折线图可知，只有第5日和第9日，甲比乙的步数多， 所以从这7天中随机选取一天，该天甲比乙的步数多的概率为； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知， 步数在的有人， 步数在的有人， 步数在的有人， 步数在的有人， 步数在的有人， 步数在的有人， 因为这一天甲的步数的排名是283名，乙的步数排名是130名， 所以甲的步数在区间，乙的步数在区间， 根据折线图可知， 5月6日的数据符合，所以这一天是5月6日. 17. 在中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若， （1）求角A； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合三角恒等变换，即可求解； （2）根据（1）的结果，结合三角形面积公式求，再根据余弦定理求，即可求周长. 【小问1详解】 由正弦定理边化角可知，， 即，因为， 得，且，则； 【小问2详解】 ，得， 由余弦定理可知，， 即，所以，则， 所以的周长为6. 18. 已知函数，. （1）若，证明：为偶函数； （2）（i）若时恒有意义，求函数的最小值； （ii）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）证明：时，，定义域为，且， 所以函数是偶函数； （2）（ⅰ）当时，的最小值是，时，的最小值是 （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，即可证明； （2）（ⅰ）首先求的取值范围，再讨论的取值，求函数的最小值；（ⅱ）不等式转化为，结合（ⅰ）的结论，求函数的最小值，即可求解不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）当时，， 当时，，得，在区间单调递减，最小值时取得，为2，所以， 的对称轴是， 当时，即时，函数单调递增，最小值是，所以函数的最小值是 当时，即，函数的最小值是，的最小值是， 综上可知，当时，的最小值是，时，的最小值是 （ⅱ）由题意可知，， ，，设，则， 函数的最小值是， 由（ⅰ）可知，当时，的最小值是，，成立， 当时，的最小值是，则 则，，则， 综上可知， 19. 已知平面向量，，、的夹角为. （1）若，求的值. （2）已知，. （i）求的解析式； （ii）若，证明：不等式恒成立. 【答案】（1）或 （2）（i） （ii）证明：因为， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，， 所以， 即， 所以不等式恒成立. 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示可得出，由正弦函数性质求； （2）（i）根据向量夹角的坐标表示及同角三角函数的关系、向量模的坐标运算及正弦函数的性质可得函数解析式；（ii）由二倍角的正余弦公式及指数函数的性质、作差即可证明. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以或， 解得或，. 【小问2详解】 （i） ， 因为，所以，， 所以. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市2024～2025学年度第二学期学业水平监测 高一数学 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的学校、姓名、班级、考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其他选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题，在规定区域以外的答题不给分，在试卷上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 样本数据2，7，9，13，18，24，30的分位数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 24 5. 被誉为中国现代数学之父的华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征.例如：函数图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 在矩形中，，点满足，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 9 8. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 若正实数a，b满足，则（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 的最小值是 D. 的最小值是 11. 现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互对立 D. 丙与丁互斥 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为_______． 13. 已知，，则_______. 14. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，且，则外接圆的面积为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和对称轴； （2）已知函数，求函数的单调递增区间． 16. 为响应国家“体重管理年”三年行动的号召，某单位开展健步走活动，现统计该单位400名员工5月4日至5月10日的步数信息.其中甲、乙两位员工这7天的步数折线图如图1所示： （1）求从这7天中随机选取一天，该天甲比乙的步数多的概率； （2）整理这400名员工7天的健步走数据，得到频率分布直方图如图2所示.现将该单位员工每天的步数从多到少进行排名，已知某天甲与乙的步数排名分别为第283名和第130名，试判断这是哪一天的数据，并说明理由. 17. 在中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若， （1）求角A； （2）若，，求的周长. 18. 已知函数，. （1）若，证明：为偶函数； （2）（i）若时恒有意义，求函数的最小值； （ii）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 19. 已知平面向量，，、的夹角为. （1）若，求的值. （2）已知，. （i）求的解析式； （ii）若，证明：不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $