精品解析：贵州省遵义市习水县第五中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

贵州省遵义市习水县第五中学2023-2024学年高一下学期期末考试 高一 数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量平行的结论求参数. 【详解】因为，所以. 故选：A 2. 在中，为的中点，为的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算结合图形特征，求出的值即可. 【详解】在中，为的中点，为的中点， 则，所以，. 故选：B 3. 已知点，，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】点、，且， 设点的坐标为，则， 所以，，，求得，，故点的坐标为， 故选：A． 4. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的四则运算，模的计算公式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 5. 已知复数，其中且，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数模的几何意义，问题转化为点到直线的距离. 【详解】复数，其中且， 复数在复平面内对应的点，在直线上， 的几何意义是点到点的距离， 其最小值为点到直线的距离，最小值为. 故选：D 6. 已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果. 【详解】对于A，，则与相交、平行或，故A错误； 对于B，，则与相交、平行或，故B错误； 对于C，，由线面垂直的性质知，故C正确； 对于D，，则与相交、平行或，故D错误. 故选：C. 7. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ） A. 的值为0.005 B. 估计这组数据的众数为75分 C. 估计成绩低于60分的有250人 D. 估计这组数据的中位数为分 【答案】D 【解析】 【分析】对A，根据频率和为1求解即可；对B，根据频率分布直方图的众数判断即可；对C，计算成绩低于60分的频率，进而可得人数；对D，根据成绩低于中位数的频率为0.5计算即可. 【详解】对A，由题意，，解得，故A正确； 对B，由直方图可得估计这组数据的众数为分，故B正确； 对C，由直方图可得成绩低于60分的频率为，故估计成绩低于60分的有人，故C正确； 对D，由A可得区间的频率分别为， 因为，，故中位数位于内. 设中位数为，则，解得，故D错误. 故选：D 8. 在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出甲获得冠军的概率，再利用条件概率公式即可求解. 【详解】若比赛进行了三局，甲获得冠军的概率为； 若比赛进行了四局，甲获得冠军的概率为； 若比赛进行了五局，甲第五场赢，甲获得冠军的概率为． 设甲获得冠军为事件，比赛进行了五局为事件， 所以甲获得冠军的概率为， 比赛进行了五局且甲获得冠军的概率为, 故甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为． 故选：A 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. 向量方向上的单位向量为 B. 当时，向量在向量上的投影向量为 C. 当与的夹角为锐角时， D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】向量方向上的单位向量为即可判断A；向量在向量上的投影向量为判断B；根据且与不同向判断C，根据求出，再由向量模的坐标表示判断D. 【详解】对于A：因为，则， 所以向量方向上的单位向量为，故A错误； 对于B：当时，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C：当与的夹角为锐角，则且与不同向， 故，解得，故C正确； 对于D：当，则，解得，所以， 所以，所以，故D错误. 故选：BC 10. 已知一组数据，的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据极差，平均数和方差的计算公式，通过计算，然后判断选项的正误. 【详解】假设最小，最大，则， 若,则另外一组数据最小，最大， 此时极差为，A错误. 易得所以，B，D正确，C错误. 故选：BD. 11. 关于事件与概率，下列说法中错误的是（ ） A. 两独立事件、，、均不发生的概率为，发生且不发生的概率等于发生且不发生的概率，则事件发生的概率为 B. 现有A、B、C、D四人，以抽签方式随机分为两组分别进行比赛，已知A胜率为60%，B胜率为40%，则最终A、B均获胜的概率为 C. 某一组数据编号，从中任一选择一个编号其三位数字之和为奇数的概率比为偶数的概率大 D. 甲乙二人约定某天上午到10点交易，假设二人均在这段时间到达且在这段时间内任意时刻到达的概率相等，约定先到者等后到者10分钟，过时交易取消，则交易成功的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式判断A，根据全概率公式判断B，根据古典概型的概率公式判断C，根据几何概型的概率公式判断D. 【详解】对于A：由题意， 即，解得,故A正确； 对于B：依题意分组一共有三种可能， 若、分在同一组，则、不可能都获胜，此时、均获胜的概率为； 若、分在同一组，则、为一组； 若、分在同一组，则、为一组； 所以、均获胜概率为，故B错误； 对于C：从一组数据编号中任一选择一个编号其三位数字之和为奇数的有： ，，，，，，，，，，，，，共个， 则三位数字之和为偶数的有个， 所以从中任一选择一个编号其三位数字之和为奇数的概率比为偶数的概率大，故C错误； 对于D：以记为，设甲到达的时间为，乙到达的时间为， 则， 满足条件的事件对应的集合是：， 如图所示：建立平面直角坐标系，区域即图中阴影部分， 所以， 因此两人能够交易成功概率，故D错误. 故选：BCD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并点Q的坐标. 【详解】因为点Q在直线OP上运动， 所以，则，则 则， 所以 当时，取最小值，此时 故答案为：. 13. 如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，证得平面，利用等体积法将三棱锥的体积最小值转化为求的面积最小值，结合图形可得此最小面积为的面积，进而求解. 【详解】在直四棱柱中，平面，平面， 则，在菱形中，，而平面， 则平面，又菱形边长为1，，则， 点在线段上，在线段上，则， 因此三棱锥的体积最小，当且仅当的面积最小，而是定值， 则当且仅点到直线的距离最小，又的延长线与延长线相交于点， 于是点与点重合时，点到直线距离取最小值，如图， 显然四边形为正方形，连接，令，由， 得，， 点到直线的距离，又， 则面积为，三棱锥的体积为， 所以三棱锥的体积最小值为. 故答案为： 14. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】设丢失的数据为，对的取值进行分类讨论，求出这七个数的平均数、众数和中位数，根据题意可得出关于的方程，解之即可. 【详解】设丢失的数据为，则这七个数的平均数为，众数为， 因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，分以下几种情况讨论： 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得. 综上可知，丢失数据所有可能取值构成的集合为. 故答案为：. 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题 15. 某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. （1）求m； （2）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 【答案】（1）. （2）37.5吨. （3）平均数为37吨，方差为81. 【解析】 【分析】(1)由频率直方图以及频率和为1列出方程即可求得 (2)结合频率分布直方图和中位数定义先确定中位数所在区间，再列式求出中位数. (3)应用均值和方差公式可求解. 【小问1详解】 由图可得，得. 【小问2详解】 设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为， 因为第一组和第二组数据的频率之和为（0.01+0.03）×10=0.4<0.5， 第一组、第二组和第三组数据的频率之和为（0.01+0.03+0.04）×10=0.8>0.5. 所以，由，得. 故这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数约为37.5吨. 【小问3详解】 估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数吨， 方差 16. 如图所示，在直三棱柱中，，且. （1）求证：平面平面； （2）若D是的中点，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直即可证面面垂直； （2）结合第一问用等体积法即可求解. 【小问1详解】 证明：因为三棱柱是直三棱柱， 所以平面ABC. 因为平面ABC， 所以. 因为，平面， 所以平面. 又因为平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面， 所以是三棱锥的底面上的高. 因为， 所以. 因为D是的中点， 所以. 因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 所以三棱锥体积. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若的角平分线交AC于点D，，，求BD； （3）若的外接圆的半径为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用余弦定理可得，即可得结果； （2）根据面积关系，结合面积公式运算求解即可； （3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再结合正弦函数的有界性分析求解. 【小问1详解】 因为， 可得， 由正弦定理得，则， 且，所以． 【小问2详解】 由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． 小问3详解】 由正弦定理可得， 则， 可得， 又因为，则， 可得，即， 所以的取值范围为. 18. 对于任意的复数，定义运算． （1）集合，，，均为整数，试用列举法写出集合； （2）若，为纯虚数，求的最小值； （3）直线上是否存在整点（坐标，均为整数的点），使复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，和 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再由，，可求出复数，从而可求得集合； （2）由为纯虚数，得，求出，然后化简可求出其最小值； （3）由题意得，再由，分和两种情况分析求解即可. 【小问1详解】 由题意得，且，， 所以，或，或，或，或， 所以，或，或，或，或， 所以，或， 或，或，或， 所以； 【小问2详解】 若，则 若为纯虚数，则，所以，得， 所以， 所以当或时，． 【小问3详解】 对应点坐标为， 由题意，得 所以，而， ①当，时，得不成立； ②当，时，得，所以成立， 此时或， 故满足条件的整点为和． 【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算和复数的新定义，解题的关键是对复数新定义的正确理解，考查计算能力、理解能力和分类讨论的思想，属于较难题. 19. 将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． （1）求； （2）当时，求的表达式； （3）令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，其中数字0有12个，即可得概率； （2）考虑，依次计算得结果； （3）考虑，，三种情况，得的解析式，进而有，再求概率的最值； 【小问1详解】 当时，有，即这个数字共有195个数字， 其中数字0的个数有12个，所以恰好取得0的概率； 【小问2详解】 当，这个数由n个1位数组成，； 当，这个数由9个一位数，个两位数组成，； 当，这个数由9个一位数，个两位数，个三位数组成，； 当，这个数由9个一位数，个两位数，个三位数，个四位数组成，； 综上，. 【小问3详解】 当时，； 当时，； 当时，， 所以， 同理， 所以，则， 当，则， 当，， 当，， 当，， 由关于单调递增， 当，最大值为， 又，所以时最大值为. 【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，（2）要考虑四种情况，依次计算；（3）考虑，，三种情况，得到的解析式，得到是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省遵义市习水县第五中学2023-2024学年高一下学期期末考试 高一 数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A B. 2 C. D. 2. 在中，为中点，为的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数，其中且，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. B. C. D. 7. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ） A. 的值为0.005 B. 估计这组数据的众数为75分 C. 估计成绩低于60分的有250人 D. 估计这组数据的中位数为分 8. 在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. 向量方向上单位向量为 B. 当时，向量在向量上的投影向量为 C. 当与的夹角为锐角时， D. 当时， 10. 已知一组数据，极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（ ） A. B. C. D. 11. 关于事件与概率，下列说法中错误的是（ ） A. 两独立事件、，、均不发生的概率为，发生且不发生的概率等于发生且不发生的概率，则事件发生的概率为 B. 现有A、B、C、D四人，以抽签方式随机分为两组分别进行比赛，已知A胜率为60%，B胜率为40%，则最终A、B均获胜的概率为 C. 某一组数据编号，从中任一选择一个编号其三位数字之和为奇数的概率比为偶数的概率大 D. 甲乙二人约定某天上午到10点交易，假设二人均在这段时间到达且在这段时间内任意时刻到达的概率相等，约定先到者等后到者10分钟，过时交易取消，则交易成功的概率为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是_____． 13. 如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为_____． 14. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为______. 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题 15. 某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. （1）求m； （2）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 16. 如图所示，在直三棱柱中，，且. （1）求证：平面平面； （2）若D是中点，求三棱锥的体积. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若的角平分线交AC于点D，，，求BD； （3）若的外接圆的半径为，求的取值范围． 18. 对于任意的复数，定义运算． （1）集合，，，均为整数，试用列举法写出集合； （2）若，为纯虚数，求的最小值； （3）直线上是否存在整点（坐标，均为整数的点），使复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． 19. 将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． （1）求； （2）当时，求的表达式； （3）令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$