精品解析： 浙江省杭州市萧山区文渊中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市萧山区文渊中学八年级（下）期中数学试卷 一.选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各式中，二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 八（2）班大部分学生的年龄都是14周岁，这里的14周岁指的是八（2）班全体学生年龄的（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 4. 下列图形不是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 线段 D. 正方形 5. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.3 0.3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 中，E、F是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 8. 若a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 9. 如图，在▱中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为、、、，已知、、，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 下列给出的四个命题： ①关于的方程有实数根，则满足且； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 其中是真命题是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①②④ 二.填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 化简的结果是_________． 12. 《义务教育劳动教育课程标准》（2022年版）首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有5名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，4，3，5，5．则这组数据的方差是____________． 13. 如果，则的取值范围是______________． 14. 已知是完全平方式，则常数的值是______． 15. 关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是___． 16. 已知，在平行四边形中，，分别是，的中点，，且，则___． 三.解答题（共8小题，第17，18题每题6分，第19，20题每题8分，第21，22题每题，10分，第23，24题每题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 为传承经典文化，某校开展了“诗词达人”竞赛活动．为了解七、八年级竞赛情况，从七、八年级各随机抽取10名学生成绩(单位：分)进行如下统计分析． 【收集数据】 七年级：90，95，95，80，90，80，85，90，85，100； 八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 【整理数据】 【分析数据】 统计量 平均数(分) 中位数(分) 众数(分) 方差 七年级 89 90 39 八年级 90 90 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中，，的值； （2）求八年级学生成绩的方差； （3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若方程有一根为3，求方程的另一根． 21. 观察下列各式：①，②；③，… （1）请观察规律，并写出第④个等式：______； （2）请用含的式子写出你猜想的规律：______； （3）请证明（2）中的结论． 22. 如图，在中，E，F是直线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，且，求的长． 23. 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示． 素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①②两种长方形纸板，其中． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 裁去角上个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 24. 如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点． （1）若为中点，求证：． （2）若，当点在线段上运动时，的长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由 （3）在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年浙江省杭州市萧山区文渊中学八年级（下）期中数学试卷 一.选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各式中，二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，概念：式子叫做二次根式，熟记定义是解题的关键．根据二次根式的定义分别判断即可． 【详解】解：A、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、是三次根式，故此选项不符合题意； C、的被开方数，是二次根式，故此选项符合题意； D、的被开方数有可能小于0，即当时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不能合并，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D．，符合题意． 故选：C． 3. 八（2）班大部分学生的年龄都是14周岁，这里的14周岁指的是八（2）班全体学生年龄的（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数据，解题的关键是熟练掌握众数的概念． 根据题意，“大部分学生的年龄都是14周岁”说明14周岁出现的次数最多，即为众数． 【详解】解：题目中提到八（2）班大部分学生的年龄是14周岁，这表明14周岁是该班学生年龄中出现次数最多的数值。根据众数的定义（一组数据中出现次数最多的数），这里的14周岁对应的是全体学生年龄的众数。 故选：C． 4. 下列图形不是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 线段 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.3 0.3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：由表格知，甲、丙、丁成绩的平均数大于乙，且其中丙成绩的方差最小， 所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择丙， 故选：C． 6. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据1月份的销售量（增长率）3月份的销售量，列出方程即可． 【详解】解：设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据题意得： ， 故选：B． 7. 中，E、F是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定方法． 根据平行线的性质和判定方法，结合全等三角形的性质和判定，逐一进行判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形．故A不符合题意； ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形．故B不符合题意； C选项中由，不能得出， ∴不能判断四边形是平行四边形，故C符合题意； 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形．故D不符合题意； 故选：C． 8. 若a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算，熟知若，是一元二次方程的两根，则，是解题的关键． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：B． 9. 如图，在▱中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为、、、，已知、、，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平行四边形的面积面积面积． 阴影部分是三角形与三角形的公共部分，而，，这三块是平行四边形中没有被三角形与三角形盖住的部分，故面积面积平行四边形的面积，而与的面积都是平行四边形面积的一半，据此求得的值． 【详解】解：设平行四边形的面积为，则， 由图形可知，面积面积平行四边形的面积， ， 即， 解得， 故选：A． 10. 下列给出的四个命题： ①关于的方程有实数根，则满足且； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 其中是真命题是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据解方程，根的判别式，二次根式的化简解答即可． 本题考查了解方程，根的判别式，二次根式的化简，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：①时，是一元一次方程，根为；关于的方程且时，有两个实数根，故，本题结论错误，不符合题意； ②根据，得。故，本结论正确，符合题意； ③，则方程一定无解，故本结论错误，不符合题意； ④根据方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 正确，符合题意． 故选：C． 二.填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 化简的结果是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，根据积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 12. 《义务教育劳动教育课程标准》（2022年版）首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有5名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，4，3，5，5．则这组数据的方差是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算，熟记方差公式是解本题的关键，先计算数据的平均数，再结合方差公式可得答案． 【详解】解：平均数为：， ∴方差为： ， 故答案为： 13. 如果，则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，根据二次根式的性质，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式、一元一次不等式组的知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 14. 已知是完全平方式，则常数的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式配方后，列方程，利用配方法求解即可得到答案． 【详解】解： ， ，即， ，则，即，解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用完全平方式求参数，利用配方法得到方程，再由配方法解方程是解决问题的关键． 15. 关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是___． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程换元法，利用关于的方程的解是，得到或，从而得到方程的解． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 或， ，， 方程的解为和． 故答案为：，． 16. 已知，在平行四边形中，，分别是，的中点，，且，则___． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理. 延长、交于点，过点作于点，根据平行四边形的性质利用证明，根据全等三角形的性质求出，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长、交于点，过点作于点， 四边形是平行四边形， ，， ，， 分别是的中点， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 是的中点， ， 设，则， ， ， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∵， ∴ ，， ， ， 故答案为：． 三.解答题（共8小题，第17，18题每题6分，第19，20题每题8分，第21，22题每题，10分，第23，24题每题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）结合完全平方公式、平方差公式去括号，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）移项后，利用因式分解法进行求解即可； （2）先根据乘法法则展开，再利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴； 【小问2详解】 原方程整理，得：， ， ， ， ∴． 19. 为传承经典文化，某校开展了“诗词达人”竞赛活动．为了解七、八年级竞赛情况，从七、八年级各随机抽取10名学生成绩(单位：分)进行如下统计分析． 【收集数据】 七年级：90，95，95，80，90，80，85，90，85，100； 八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 【整理数据】 【分析数据】 统计量 平均数(分) 中位数(分) 众数(分) 方差 七年级 89 90 39 八年级 90 90 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中，，的值； （2）求八年级学生成绩的方差； （3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由． 【答案】（1），，． （2）． （3）八年级的学生成绩比较好， 理由如下： 七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上所述，八年级的学生成绩比较好． 【解析】 【分析】本题考查数据的整理、中位数和众数的概念，方差的求解公式，利用统计量做决策等知识，掌握相关计算公式是解题的关键． （1）本小题考查数据的整理、中位数和众数的概念，理解概念即可解题．注意在找中位数时，要先将数据按顺序排列，且还需注意数据个数的奇偶性； （2）本小题考查方差的求解公式，灵活运用公式即可求解； （3）本小题从平均数、中位数、众数、方差分析即可． 【小问1详解】 解：由题知，七年级10个数据中有2个85， ， 由表格可知七年级出现次数最多的分数是90， ， 由题知，八年级有10个数据，将数据从小到大排列，第五位和第六位数据是90和90， ． 【小问2详解】 解：由题知：． 【小问3详解】 略 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若方程有一根为3，求方程的另一根． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，以及根的判别式： （1）根据一元二次方程有两个不等的实数根，得到根的判别式大于0，求出a的范围即可； （2）利用根与系数的关系求出两根之和，将一个根代入计算即可求出另一根． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不等的实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：设方程另一根为m， 由根与系数的关系可得：， 解得：， ∴方程的另一根为2． 21. 观察下列各式：①，②；③，… （1）请观察规律，并写出第④个等式：______； （2）请用含的式子写出你猜想的规律：______； （3）请证明（2）中的结论． 【答案】（1） （2） （3） 证明：∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查二次根式有关的规律题，根据题意列递推等式，最终找出规律是解题关键． （1）观察等式左右两边的式子结构，即可得出答案． （2）观察等式左右两边的式子结构，即可得出第的式子． （3）将化成，再进行完全平方公式因式分解，并开方即可． 【小问1详解】 解：根据规律，第④个等式为：． 【小问2详解】 解：根据规律，第的式子为：． 【小问3详解】 略 22. 如图，在中，E，F是直线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到． （1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，易证，得到，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理求出的长度，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， 连接交于， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 23. 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示． 素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①②两种长方形纸板，其中． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 裁去角上个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 【答案】目标1：； 目标2：（1）； （2）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为， 折叠后的储物箱如图： 则， 解得， 制作的收纳盒的高为，底面长和宽为、， ∵储物盒的高玩具机械狗的高， 玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 【解析】 【分析】目标1：根据图2中储物盒放置区域的长为即可求出长方形纸板①四角截去的小正方形的边长，由此再根据几何关系即可求出a； 目标2：（1）设角上截去的四个小正方形边长为，用x表示出储物盒的底面长和宽，根据底面的面积列出方程，解方程求出x即可求得储物盒的高，再根据长方体体积公式即可得到答案； （2）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为．表示出折叠后的储物和长宽高，根据几何关系列出方程组，求解方程组得到x和y的值，从而可求出储物盒的长宽高，与机械狗的长宽高进行比较即可进行判断． 本题考查了长方体的展开图，找准几何关系并列出方程是解题关键． 【详解】目标1： 解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则①中的四角裁去小正方形的边长为， 则收纳盒的宽小正方形的边长． 故答案为：40； 目标2： （1）已知，储物盒底面积为，设角上截去的4个小正方形边长为，， 则， 化为或（舍去）， ∴收纳盒的高为，体积为， 则储物盒的容积为； （2）略 24. 如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点． （1）若为中点，求证：． （2）若，当点在线段上运动时，的长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由 （3）在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示． 【答案】（1） 证明：如图1中， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ． （2）F的长度不变， （3）或 【解析】 【分析】（1）证明即可解决问题． （2）结论：的长度不变．．证明，再证明四边形是平行四边形，推出即可解决问题． （3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，作于．当点在的延长线上时，分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：结论：的长度不变．． 理由：如图中，取的中点，连接，． ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴ ∴． 【小问3详解】 解：如图中，当点在线段上时，作于． 在中，，， ， ， 当点在DA的延长线上时，同法可得 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $