【第三章 一次方程（组） 05讲 认识二元一次方程】暑假小升初衔接2025-2026学年七年级上册数学（版湘教版）

第三章 一次方程（组） 05讲 认识二元一次方程 目录 【知识点1. 二元一次方程及其解】……………………………………………… 1 【知识点2. 二元一次方程组及其解】…………………………………………… 2 【题型1. 二元一次方程及其解】………………………………………………… 4 【题型2. 二元一次方程组及其解】……………………………………………… 4 【题型3. 已知二元一次方程组的解求参数】…………………………………… 5 【课后作业】………………………………………………………………………… 7 知识清单 1、二元一次方程 像x+y=35,4x+2y=94这两个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程。 2、二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。 巩固基础 1．下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程中是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各组，的值是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 6．已知方程，当时，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．7 7．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 8．已知方程，下列选项中是此方程的解的是（   ） A． B． C． D． 知识清单 3、二元一次方程组 像这样，只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组。 4、二元一次方程组的解 一般地，对于未知数x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（c1，c2）叫作这个方程组的一个解。 习惯上记作 ，求方程组的解的过程叫作解方程组。 巩固基础 1．下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．如果方程与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组．这个方程可以是（　　） A． B． C． D． 3．方程组；；中，不属于二元一次方程组的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ）． A． B． C． D． 5．以为解的方程组是（   ）． A． B． C． D． 6．下列四对数值中，不是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 7．已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 8．已知二元一次方程组，下面说法正确的是（   ） A．同时满足方程①和方程②的x，y的值是方程组的解 B．满足方程①的x，y的值是方程组的解 C．满足方程②的x，y的值是方程组的解 D．满足方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解 直击考点 题型1. 二元一次方程及其解 例1．下列各式中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 例2．下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 例3．在下列二元一次方程中，有一组解为的是（   ） A． B． C． D． 变式1．下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式2．下列四组数值是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 变式3．下列每对，的值不是方程的解的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型2. 二元一次方程组及其解 例1．若方程组，是二元一次方程组，则“…”可以是（   ） A． B． C． D． 例2．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 变式1．下列不是二元一次方程组的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤ 变式3．若是二元一次方程组的解，则这个方程组是（   ） A． B． C． D． 变式4．下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 题型3. 已知二元一次方程组的解求参数 例1．若是二元一次方程组的解，则的值为（  ） A． B． C． D． 例2．小亮解方程组时，得到其正确的解为，但不小心滴上的两滴墨水刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（　　） A．8和 B．6和4 C．2和8 D．6和 例3．已知关于的二元一次方程组的解为． (1)求的值； (2)求的值． 变式1．若二元一次联立方程式的解为，则之值为何？（    ） A．33 B．9 C． D． 变式2．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（   ） A． B． C． D． 变式3．若是关于的二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 变式4．已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B．5 C． D．1 变式5．若关于的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，求的值． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级下·北京延庆·期中）如果是关于的方程的解，那么等于（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）方程组的解为，则被遮盖的两个数“□”、“△”分别为（   ） A．2，1 B．1，3 C．5，2 D．5，1 3．（24-25七年级下·北京延庆·期中）已知：是方程的三个解，是方程的三个解，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级下·上海·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知是二元一次方程的解，则的值是（    ） A．1 B． C． D．7 6．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 7．（24-25九年级上·山东·期末）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）关于、的二元一次方程的非负整数解有（    ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 9．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若是二元一次方程的一个解，则下列结论错误的是（   ） A．异号 B． C． D．满足条件的数对有无数对 二、填空题 11．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）把方程写成用含的式子表示的形式为 ． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）二元一次方程的正整数解有 组． 13．（2025·河南安阳·模拟预测）若方程组的解为则 ． 14．（24-25六年级下·上海·阶段练习）如果一个关于、的一次方程可化为形如：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程．如果关于、的方程是具有“2性质”的方程．且是该方程的一个解，那么，的值分别为 ． 15．（2025·湖南·模拟预测）某文具店购买笔记本和钢笔预算元．笔记本5元/本，钢笔元/支，至少买4支钢笔，个笔记本，则购买方式有 种． 16．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知二元一次方程，请写出该方程的一组非负整数解 ． 17．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知二元一次方程组的解是，则在①；②；③；④中，“*”表示的方程可以是 ．（填写符合题意方程的序号） 18．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则的值 ． 19．（24-25七年级下·全国·随堂练习）当时，二元一次方程和关于、的方程有相同的解，则的值为 ． 20．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为 （写出一对即可）      三、解答题 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出两个不同的二元一次方程，使得分别是它们的一个解，并与同伴交流各自的结果． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是方程的解，求a的值． 23．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知是二元一次方程的解． (1)求的值． (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答；如果不唯一，请再写出另一个满足条件的二元一次方程． 24．（24-25六年级下·上海·阶段练习）已知是方程组的解，则的值是多少？ 25．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）已知当时，关于的二元一次方程和有相同的解，求的值． 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）小颖求出方程组的解为由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？ 27．（24-25七年级下·福建福州·期中）关于x，y的二元一次方程（为常数），且，． (1)当时，求的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值． 28．（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程． (1)把方程写成用含x的代数式表示y的形式，即______； (2)填表，使x，y的值是方程的解； x 1 2 3 4 5 y (3)求方程的非负整数解． 30．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一次方程（组） 05讲 认识二元一次方程 目录 【知识点1. 二元一次方程及其解】……………………………………………… 1 【知识点2. 二元一次方程组及其解】…………………………………………… 5 【题型1. 二元一次方程及其解】………………………………………………… 10 【题型2. 二元一次方程组及其解】……………………………………………… 12 【题型3. 已知二元一次方程组的解求参数】…………………………………… 16 【课后作业】………………………………………………………………………… 21 知识清单 1、二元一次方程 像x+y=35,4x+2y=94这两个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程。 2、二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。 巩固基础 1．下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解决问题的关键是正确二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义进行判定即可． 【详解】A，，y的指数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意． B，是三元一次方程，故此选项不符合题意． C，是二元一次方程，故此选项符合题意． D，，指数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．下列式子中是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，故本选项不合题意； B、，是多项式，故本选项不合题意； C、，不是二元一次方程，故本选项不合题意； D、，是二元一次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 3．下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义，含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是二元一次方程．根据二元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、此方程未知数x的最高次数是2，因此不是二元一次方程，故此选项不符合题意； B、此方程符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故此选项符合题意； C、此方程是二元二次方程，故此选项不符合题意； D、不是等式，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．下列方程中是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解决问题的关键是正确二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义进行判定即可． 【详解】解：A. 不是整式方程，故此选项不符合题意．     B. ，x的指数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意．     C. ，是二元一次方程，故此选项符合题意．     D. ，是三元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．下列各组，的值是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟知方程的解满足方程是解答的关键．将选项中的，值代入方程中，等式成立的就是方程的解，反之，不是方程的解． 【详解】解：A、当时，，故不是方程的解，故本选项不符合题意； B、当时，，故不是方程的解，故本选项不符合题意； C、当时，是方程的解，故本选项符合题意； D、当时，，故不是方程的解，故本选项不符合题意， 故选：C． 6．已知方程，当时，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．7 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故选A． 7．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二元一次方程的解，将选项中的各组数值代入验证等式是否成立即可得到答案．理解二元一次方程的解是解决问题的关键． 【详解】解：A、将代入二元一次方程， 则，故该选项不符合题意； B、将代入二元一次方程， 则，故该选项符合题意； C、将代入二元一次方程， 则，故该选项不符合题意； D、将代入二元一次方程， 则，故该选项不符合题意； 故选：B． 8．已知方程，下列选项中是此方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二元一次方程的解，分别把个选项的值代入方程中计算即可判断求解，理解二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入方程得，， ∴不是方程的解，该选项不合题意； 、把代入方程得，， ∴是方程的解，该选项符合题意； 、把代入方程得，， ∴不是方程的解，该选项不合题意； 、把代入方程得，， ∴不是方程的解，该选项不合题意； 故选：． 知识清单 3、二元一次方程组 像这样，只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组。 4、二元一次方程组的解 一般地，对于未知数x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（c1，c2）叫作这个方程组的一个解。 习惯上记作 ，求方程组的解的过程叫作解方程组。 巩固基础 1．下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二元一次方程组的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、是二元一次方程组，符合题意； B、不是整式方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； C、是二次方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； D、是二次方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 2．如果方程与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组．这个方程可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组的定义的三要点：（1）共有两个未知数；（2）未知数的项最高次数都应是一次；（3）都是整式方程．据此判断即可． 【详解】解：A．方程与组成方程组，有三个未知数，不是二元一次方程组，选项A不符合题意； B．方程与组成方程组，未知数的项最高次数都应是两次，不是二元一次方程组，选项B不符合题意； C．方程与组成方程组，不是整式方程，不是二元一次方程组，选项C不符合题意； D．方程与组成方程组，是二元一次方程组，选项D符合题意； 故知：D． 3．方程组；；中，不属于二元一次方程组的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据由两个一次方程组成，共含有2个未知数的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：不是整式方程组，不是二元一次方程组， 是二元一次方程组， 是二元二次方程组，不是二元一次方程组， ∴不属于二元一次方程组的有2个； 故选：C． 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，二元一次方程的定义：组成二元一次方程组的两个方程共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．利用二元一次方程组的定义逐一分析各选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A．方程组中含未知数的项的最高次数为2，不是一次方程组，选项A不符合题意； B．方程组是二元一次方程组， 选项B符合题意； C．方程组中未知数的最高次数为2，不是一次方程组，选项C不符合题意； D．方程组含有三个未知数，选项D不符合题意． 故选∶ B ． 5．以为解的方程组是（   ）． A． B． C． D． 【分析】根据方程组的解的定义，将方程组的解代入各个选项中的方程组，判断其是否成立即可．本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的前提． 【详解】解：当，时， 则，，， 故是方程组的解． 故选：D． 6．下列四对数值中，不是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二元一次方程的解的概念，解题的关键是将各选项中的值代入方程，看等式是否成立． 依次把每个选项中的值代入方程，判断等式左右两边是否相等． 【详解】A、把代入方程的左边，可得，右边，左边=右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； B、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； C、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； D、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项不是方程的解，符合题意．故选：D． 7．已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入各选项的方程是解题的关键．将方程组的解代入各选项的方程，看是否成立即可得出答案． 【详解】解：A.把代入得：，，故该选项符合题意； B. 把代入得：，，故该选项不合题意； C. 把代入得：，故该选项不合题意； D. 把代入得：，故该选项不合题意． 故选：A． 8．已知二元一次方程组，下面说法正确的是（   ） A．同时满足方程①和方程②的x，y的值是方程组的解 B．满足方程①的x，y的值是方程组的解 C．满足方程②的x，y的值是方程组的解 D．满足方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解 【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，解题的关键是掌握方程组概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 根据二元一次方程组的解的概念对各选项进行判断，找出正确的一项，问题即可得解． 【详解】解：根据二元一次方程组的解的概念可知，同时适合方程①和方程②的x，y的值是方程组的解，故A正确，B、C、D错误． 故选：A． 直击考点 题型1. 二元一次方程及其解 例1．下列各式中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义进行判断即可 ． 【详解】A、，该方程中含有两个未知数，但是含有未知数的项的最高次数是2，不属于二元一次方程，故本选项错误； B、，该方程中符合二元一次方程的定义，故本选项正确； C、，该方程不是整式方程，不属于二元一次方程，故本选项错误； D、，不是方程，故本选项错误． 故选：B． 例2．下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二元一次方程的识别，解题关键是理解二元一次方程的概念． 根据二元一次方程的概念，对四个方程逐一分析作出判断． 【详解】解：中左边第二项是二次项，它不是二元一次方程，故A不符合； 中左边第一项是二次项，它不是二元一次方程，故B不符合； 中左边是分式，不是整式方程，它不是二元一次方程，故C不符合； 符合二元一次方程的定义，它是二元一次方程，故D符合， 故选：D 例3．在下列二元一次方程中，有一组解为的是（   ） A． B． C． D． 【分析】将分别代入，，求值，即可判断求解， 本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是：熟练掌握二元一次方程的解． 【详解】解：将分别代入，， 得：，， 故选：C． 变式1．下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键． 根据二元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、是二元一次方程，符合题意； D、是二元二次方程，符合题意． 故选：C 变式2．下列四组数值是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【分析】题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．将各项中x与y的值代入方程检验即可． 【详解】解：A、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不符合题意； B、把代入方程得：左边，右边，左边右边，符合题意； C、把代入方程得：左边，右边，左边右边，符合题意； D、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不符合题意； 故选：B． 变式3．下列每对，的值不是方程的解的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键，利用，的值不是方程的解，将，的值代入判断，即可得到答案． 【详解】解：A、当，时，，此项正确； B、当，时，，此项正确； C、当，时，，此项错误； D、当，时，，此项正确； 故选：C． 题型2. 二元一次方程组及其解 例1．若方程组，是二元一次方程组，则“…”可以是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，未知项的次数最高是1次的整式方程组成的方程组叫二元一次方程组，逐项判断即可． 【详解】解：A、与组成的方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意； B、是二元二次方程，与组成的方程组是二元二次方程组，故此选项不符合题意； C、是分式方程，与组成的方程组不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； D、是二元二次方程，与组成的方程组是二元二次方程组，故此选项不符合题意； 故选：A． 例2．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入每个方程组中的每一个方程，看看左右两边是否相等即可． 【详解】解：A.把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； B. 把代入方程组中的方程，左边，右边，左右两边不相等，故本选项不符合题意； C. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； D. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均相等，故本选项符合题意； 故选：D 变式1．下列不是二元一次方程组的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题的关键．方程组中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组是二元一次方程组，根据定义判断即可． 【详解】解：①、符合定义，故不符合题意； ②、含有三个未知数，不是二元一次方程组，故符合题意； ③、含有未知数的项的最高次数是2，不符合定义，故符合题意； ④、方程组中的方程不是整式方程，不符合定义，故符合题意； 故不是二元一次方程组的是②③④， 故选：C． 变式2．在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤ 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“①只有两个未知数；②未知数的项最高次数都应是一次；③都是整式方程”．据此即可判断． 【详解】解：由二元一次方程组的概念：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的整式方程；可判断①②⑤是二元一次方程组． 故选：C． 变式3．若是二元一次方程组的解，则这个方程组是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义． 在解题的时候只需要把分别代入每个方程组中看哪个方程组中两个方程都成立即可． 【详解】把代入选项A得 ，故错误； 把 代入选项B得，故错误； 把代入选项C得，故正确； 把代入选项D得， 故错误． 故选：C． 变式4．下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键．根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可． 【详解】解：A、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； B、把满足中的两个方程，故是方程组的解，故选项正确； C、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； D、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误． 故选B． 题型3. 已知二元一次方程组的解求参数 例1．若是二元一次方程组的解，则的值为（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 把代入，解关于的方程组，再求解的值． 【详解】解：∵是二元一次方程组中的解 ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 例2．小亮解方程组时，得到其正确的解为，但不小心滴上的两滴墨水刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（　　） A．8和 B．6和4 C．2和8 D．6和 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的定义，掌握二元一次方程组的解满足各个方程是解题的关键．直接根据方程组解的定义把代入方程求出y的值，进而求出的值，由此即可得到答案． 【详解】解：∵方程组 的解为， ∴， ∴， ∴， ∴和分别表示8和， 故选：A． 例3．已知关于的二元一次方程组的解为． (1)求的值； (2)求的值． 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解，求参数的值，代数式求值： （1）把代入方程组，进而解关于的方程组即可； （2）把的值代入，计算即可． 【详解】（1）解：把代入关于的二元一次方程组 ，得，解得． 把代入①，得，解得， ． （2）由（1），得， ． 的值为2028． 变式1．若二元一次联立方程式的解为，则之值为何？（    ） A．33 B．9 C． D． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，利用加减法解二元一次方程组，求得a、b的值，再代入计算可得答案． 【详解】解：把代入得： ， ①②得，， ∴， 把代入①得：， ∴， ∴． 故选：B． 变式2．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二元一次方程组的解．根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴， ∴， ∴二元一次方程组的解为：， ∴， ， ， ， 故*表示的方程可能是； 故选：B． 变式3．若是关于的二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【分析】本题考查了根据二元一次方程的解求参数，将代入中计算求解，即可解题． 【详解】解：若是关于的二元一次方程的解， ， 解得， 故选：C． 变式4．已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B．5 C． D．1 【分析】本题主要考查二元一次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键．根据题意得到关于的二元一次方程解出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得， ， 故选C． 变式5．若关于的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，求的值． 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据题意可得方程组，解方程组得到，再把代入方程中求出的值即可． 【详解】解：由题意得： 解得， 将代入，得：， ∴． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级下·北京延庆·期中）如果是关于的方程的解，那么等于（   ） A．2 B． C．3 D． 【分析】本题考查二元一次方程解的定义、解一元一次方程等知识，先由二元一次方程解的定义，将代入关于的方程，解一元一次方程即可得到答案．熟记二元一次方程解的定义、解一元一次方程等知识是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的方程的解， ，解得， 故选：A． 2．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）方程组的解为，则被遮盖的两个数“□”、“△”分别为（   ） A．2，1 B．1，3 C．5，2 D．5，1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中的每一个方程都成立的未知数的值． 把代入中即可求出的值，然后即可计算的值，从而求出被遮盖的两个数． 【详解】解：把代入中得，， 把，代入中得，， ∴□表示的数是5，△表示的数是1， 故选：D． 3．（24-25七年级下·北京延庆·期中）已知：是方程的三个解，是方程的三个解，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二元一次方程组解的定义，二元一次方程组的解一定是构成方程组中每一个方程的解，由题意求解即可得到答案，理解二元一次方程组解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：由题意得二元一次方程组， 结合二元一次方程组解的定义，二元一次方程组的解一定是构成方程组中每一个方程的解， 是方程的三个解；是方程的三个解， 元一次方程组的解是， 故选：C． 4．（24-25六年级下·上海·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二元一次方程组的判断，根据由两个一次方程，共含有2个未知数，组成的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程组，符合题意； B、含有2次项，不是二元一次方程组，不符合题意； C、含有2次项，不是二元一次方程组，不符合题意； D、含有3个未知量，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选A． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知是二元一次方程的解，则的值是（    ） A．1 B． C． D．7 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解方程的解，代入计算是关键． 根据题意，把方程的解代入得到，由此即可求解． 【详解】解：已知是二元一次方程的解， ∴， ∵， ∴原式， 故选：C ． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．根据题意得到方程的正整数解，即可得到答案． 【详解】解：方程在正整数范围内的解有或或， 故选C． 7．（24-25九年级上·山东·期末）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据题意，设购买了个篮球，购买了个足球，根据题意，列出方程，分类讨论即可． 【详解】解：根据题意，设购买了个篮球，购买了个足球， ， 整理得：且，为正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，该社团共有3种购买方案． 故选：C． 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）关于、的二元一次方程的非负整数解有（    ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟知概念、掌握求解的方法是关键．根据二元一次方程的解的定义，结合、均为非负整数解答即可． 【详解】解： ，其中、为非负整数， 那么时，， 时，， 时，， 时，， 共4组， 故选：B． 9．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键．先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得， 所以这个方程组的解为． A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 10．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若是二元一次方程的一个解，则下列结论错误的是（   ） A．异号 B． C． D．满足条件的数对有无数对 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：是二元一次方程的一个解， ， A．由于，当时，，当时，， 即a、b异号，结论正确，因此选项A不符合题意； B．， ， ，因此选项B不符合题意； C．，即，而， ，即，因此选项C符合题意； D．a和b满足，因此满足条件的数对有无数对，所以选项D不符合题意． 故选：C． 二、填空题 11．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）把方程写成用含的式子表示的形式为 ． 【分析】此题考查了解二元一次方程，将看作已知数求出即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）二元一次方程的正整数解有 组． 【分析】本题考查二元一次方程的解，求出二元一次方程的正整数解即可． 【详解】解：， ∴， ∵x，y均为正整数， ∴是3的正整数倍， ∴x取1，4， 当时，， 当时，， ∴二元一次方程的正整数解有2组． 故答案为：2 13．（2025·河南安阳·模拟预测）若方程组的解为则 ． 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，把代入原方程组中的两个方程中求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25六年级下·上海·阶段练习）如果一个关于、的一次方程可化为形如：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程．如果关于、的方程是具有“2性质”的方程．且是该方程的一个解，那么，的值分别为 ． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据“2性质”的方程的定义得到，根据方程解的定义得到，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程是具有“2性质”的方程，即关于，的方程是具有“2性质”的方程， ∴， ∵是方程的一个解， ∴， 联立①②，解得．故答案为：，． 15．（2025·湖南·模拟预测）某文具店购买笔记本和钢笔预算元．笔记本5元/本，钢笔元/支，至少买4支钢笔，个笔记本，则购买方式有 种． 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，解题关键是列出二元一次方程． 先设可再买笔记本本，钢笔支，再列出二元一次方程，然后求出它的非负整数解即可． 【详解】解：∵至少买4支钢笔，个笔记本， ∴设可再买笔记本本，钢笔支， 则， 解得：， 当时，； 当时，； 当时，； ∴购买方式有3种， 故答案为：3． 16．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知二元一次方程，请写出该方程的一组非负整数解 ． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，先得到，再根据x、y都是非负整数，讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是非负整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴原方程的非负整数解为或或或， 故答案为：（4个解或或或中任写一个即可）． 17．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知二元一次方程组的解是，则在①；②；③；④中，“*”表示的方程可以是 ．（填写符合题意方程的序号） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键．先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得， 所以这个方程组的解为． ①将代入得：，故①不符合题意 ②将代入得：，故②不符合题意； ③将代入得：，故③符合题意； ④将代入得：，故④符合题意； 故答案为：③④． 18．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则的值 ． 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义．根据方程的解的概念得出是方程②的解，是方程①的解，从而得到、满足，，解之求出、的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：将代入， 可得：，， 解得：， 将代入， 可得：， 解得：， 当，时，． 故答案为：． 19．（24-25七年级下·全国·随堂练习）当时，二元一次方程和关于、的方程有相同的解，则的值为 ． 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解求参数，熟练掌握该知识点是解题关键．把代入不含参数的方程求出的值，再将和的值代入含有参数的方程求解即可． 【详解】解：将代入，得 ， 解得， 将，代入， 得到， 解得， 故答案为：． 20．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为 （写出一对即可） 【分析】根据题意得，满足以及周长大于，高大于的一组正整数，即可作答． 【详解】解：如图可得， 解得：， ∵设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm， ∴当时，，底面周长为，高为：，符合题意， 故答案为：，．      三、解答题 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出两个不同的二元一次方程，使得分别是它们的一个解，并与同伴交流各自的结果． 【分析】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程解的定义是解决本题的关键． 利用方程解的定义写出满足条件的方程即可． 【详解】解：例如：． 将分别代入等式成立，符合题意． 22．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是方程的解，求a的值． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组解的定义，正确代入方程是解题关键． 把的值代入进而得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 23．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知是二元一次方程的解． (1)求的值． (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答；如果不唯一，请再写出另一个满足条件的二元一次方程． 【分析】本题考查二元一次方程的解得定义，读懂题意，掌握二元一次方程解的定义是解决问题的关键． （1）根据二元一次方程解的定义代入求解即可得到答案； （2）根据二元一次方程的解的定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是二元一次方程的解， 将代入，得； （2）解：以为解的二元一次方程不唯一； 比如的解也是． 24．（24-25六年级下·上海·阶段练习）已知是方程组的解，则的值是多少？ 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程组中求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ∴， ∴． 25．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）已知当时，关于的二元一次方程和有相同的解，求的值． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把代入中求出，再把代入即可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：把代入中得，， 解得：， ∴相同的解为， ∴ 代入方程得， ∴ ． 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）小颖求出方程组的解为由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？ 【分析】本题考查二元一次方程组的解的含义．先将变形得，再将代入中得，再将代入与中即可计算出▲，●的值． 【详解】解：∵， ∴整理为：， ∴将代入中得：， ∵， ∴，， ∴●为5，▲为1； 27．（24-25七年级下·福建福州·期中）关于x，y的二元一次方程（为常数），且，． (1)当时，求的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值． 【分析】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键． （1）将，，代入方程，得到关于的方程，求出，再代入求解即可； （2）由题意得，得到，求出． 【详解】（1）解：将代入得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， 均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ， 将代入得， ， ， 方程的正整数解是， 当时，方程有正整数解． 28．（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及已知一元一次方程的解求参数，求二次一次方程的整数解等知识． （1）将代入原方程，可得出关于“〇”的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）将“〇”替换成m，可得出关于x，m的二元一次方程，结合x，m均为正整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：将代入原方程得：， 即 解得：， ∴“〇”代表的正整数为5； （2）解：根据题意得， 解得： 又∵x，m均为正整数， ∴ ∴“〇”的值为2． 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程． (1)把方程写成用含x的代数式表示y的形式，即______； (2)填表，使x，y的值是方程的解； x 1 2 3 4 5 y (3)求方程的非负整数解． 【分析】本题考查了二元一次方程的解，以及方程的非负整数解，学会用含一个未知数的代数式表示另一个未知数是解题的关键． （1）要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项和常数项移到方程的右边，再把的系数化为1即可． （2）将分别代入，求出的值即可； （3）根据表格，直接写出方程的非负整数解即可； 【详解】（1）解：， 得， 所以， 故答案为：； （2）解：将的值分别代入中得到y的值分别为：； ∴填表如下： x 1 2 3 4 5 y 4 （3）解：当时，不符合题意， 当时，不符合题意， 结合上表可知：方程的非负整数解为：． 30．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． （1）根据方程的解的定义，直接把，的值代入方程，即可求出的值； （2）先把方程整理为，可知当，不论取任何一个不为0的值时，都有，从而求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入方程， 得， 解得． （2）解：原方程可化为， 根据题意，当，不论取任何一个不为0的值时，都有， 解得，， 即，． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$