4.3探索三角形全等的条件形　暑假巩固复习练习　　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第四章《三角形》 3.探索三角形全等是条件 知识点复习 探索三角形全等的条件 1. 三角形全等的判定方法： 三边分别相等的两个三角形全等 （ SSS） 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS） 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等（AAS） 2. 特别注意：SSA（两边及其中一边的对角）不能判定全等 3. 三角形的稳定性：三边长度确定则形状大小固定 4. 尺规作图：用无刻度直尺和圆规作三角形（SSS/SAS/ASA） 关键点：理解每种判定方法的条件和作图原理 知识点练习 一、选择题练习 1．已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，补充下面一个条件，不能说明△ABC≌△A′B′C′的是（　　） A．BC＝B′C′ B．AC＝A′C′ C．∠C＝∠C′ D．∠A＝∠A′ 【解答】解：A、添加后符合SAS判定； B、添加后不符合任何判定，因为它与已知的边不能构成一个角； C、添加后符合AAS判定； D、添加后符合AAS判定． 故选：B． 2．如图，AC＝AD，BC＝BD，这样可以证明△ABC≌△ABD．其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 【解答】证明：在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（SSS）， ∴证明△ABC≌△ABD，其依据是SSS． 故选：A． 3．如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，添加下列条件后能证明△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB∥DE B．∠A＝∠D C．AC∥DF D．∠ACB＝∠F 【解答】解：∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF， 另有AB＝DE， A、添加AB∥DE，则∠B＝∠DEF，利用SAS能判定△ABC≌△DEF，符合题意； B、添加∠A＝∠D，利用SSA不能判定△ABC≌△DEF，不符合题意； C、添加AC∥DF，可得∠ACB＝∠DFE，利用SSA不能判定△ABC≌△DEF，不符合题意； D、添加∠ACB＝∠F，利用SSA不能判定△ABC≌△DEF，不符合题意； 故选：A． 4．如图，学习尺规作角平分线后，学生作业中出现四种正确作法，没有用到SSS判定的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A，B，C选项可用SSS证明三角形全等，进而得到角平分线， D选项是利用平行线的性质结合等腰三角形的性质推出角平分线． 故选：D． 5．如图，尺规作∠HFG＝∠ABC，作图痕迹中弧MN是（　　） A．以点F为圆心，以BE长为半径的弧 B．以点F为圆心，以DE长为半径的弧 C．以点G为圆心，以BE长为半径的弧 D．以点G为圆心，以DE长为半径的弧 【解答】解：由作图可知，弧MN是以点G为圆心，以DE长为半径的弧． 故选：D． 6．如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交△ABC内部于点F．连结AF，CF，连结BF并延长交AC于点G，添加下列条件，不能使AG＝CG成立的是（　　） A．BA＝BC B．∠BAG+∠CBG＝90° C．BA＝BG D．∠BAF＝∠BCF 【解答】解：根据题中所给的作图步骤可知， BG是△ABC的角平分线， 即∠ABG＝∠CBG． 当BA＝BC时，又∠ABG＝∠CBG，且BG＝BG， 所以△ABG≌△CBG（SAS）， 所以AG＝CG， 故A选项不符合题意． 当∠BAG+∠CBG＝90°时， 因为∠ABG＝∠CBG． 所以∠BAG+∠ABG＝90°， ∴∠AGB＝90°， ∴∠AGB＝∠AGC＝90°， 又∠ABG＝∠CBG，且BG＝BG， 所以△ABG≌△CBG（ASA）， 所以AG＝CG， 故B选项不符合题意． 当BA＝BG时，不能使AG＝CG成立， 故C选项符合题意． 当∠BAF＝∠BCF时， 因为∠ABG＝∠CBG，BF＝BF， 所以△ABF≌△CBF（AAS）， 所以AB＝CB， 因为∠ABG＝∠CBG， 所以AG＝CG， 故D选项不符合题意． 故选：C． 7．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D均在网格格点上，则∠B+∠D＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【解答】解：如图，连接DF、AF、AC，DF交BC于点E，则∠ACB＝∠AFD＝90°， 在△ADF和△ABC中， ， ∴∠B＝∠ADF， ∵DE＝CE，∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝∠ECD＝45°， ∴∠B+∠ADC＝∠ADF+∠ADC＝∠EDC＝45°， 故选：B． 8．如图，网格中每个小正方形的边长相等，则∠1+∠2的度数是（　　） A．100° B．90° C．80° D．60° 【解答】解：设小正方形的边长为1， 依题得：BA＝AE＝1，AC＝BD＝2，∠CAE＝∠DBA＝90°， ∵在△CAE和△DBA中， ， ∴△CAE≌△DBA（SAS）， ∴∠1＝∠ACE， ∵∠ACE+∠2＝∠ACF＝90°， ∴∠1+∠2＝90°（等量代换）， 综上所述，只有选项B正确，符合题意． 故选：B． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别是边BC，AB，AC上的点，且BE＝CD，CF＝BD，若∠EDF＝44°，则∠A的度数为（　　） A．44° B．88° C．92° D．136° 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BDE与△CDF中， ， ∴△EBD≌△DCF（SAS）． ∴∠BDE＝∠CFD， ∵∠EDF＝44°， ∴∠BDE+∠CDF＝∠CDF+∠CFD＝136°， ∴∠C＝44°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝44°， ∴∠A＝180°﹣44°﹣44°＝92°， 故选：C． 10．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC， ∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝45°＝∠CAD， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC＝22.5°， ∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5° ∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°， ∴AF＝AE，故①正确；③错误， ∵M为EF的中点， ∴AM⊥EF，故②正确； ∵AM⊥EF， ∴∠AMF＝∠AME＝90°， ∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN， 在△FBD和△NAD中， ， ∴△FBD≌△NAD（ASA）， ∴DF＝DN，故④正确； ∵∠BAM＝∠BNM＝67.5°， ∴BA＝BN， ∵∠EBA＝∠EBN，BE＝BE， ∴△EBA≌△EBN（SAS）， ∴∠BNE＝∠BAE＝90°， ∴∠ENC＝∠ADC＝90°， ∴AD∥EN．故⑤正确， 故选：D． 二、填空题练习 11．如图，已知∠ACB＝∠BDA，只要再添加一个条件：　∠CAB＝∠DBA或∠CBA＝∠DAB　 ，就能使△ACB≌△BDA．（填一个即可） 【解答】解：所添加条件为：∠CAB＝∠DBA或∠CBA＝∠DAB； ①∵∠CAB＝∠DBA，∠ACB＝∠BDA，AB为公共边， ∴△ACB≌△BDA（AAS）； ②∵∠CBA＝∠DAB，∠ACB＝∠BDA，AB为公共边， ∴△ACB≌△BDA（AAS）； 故答案填：∠CAB＝∠DBA或∠CBA＝∠DAB（填一个即可）． 12．如图，AB＝DB，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DBE还需添加一个条件是 　∠A＝∠D（答案不唯一）　 ．（只需写出一种情况） 【解答】解：添加的条件是∠A＝∠D，理由如下： ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠ABE＝∠2+∠ABE， 即∠DBE＝∠ABC， 在△ABC和△DBE中， ， ∴△ABC≌△DBE（ASA）， 故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）． 13．如图，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，则△ABC≌△ABD，应用的判定方法是　SAS　 ． 【解答】解：在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（SAS）． 故答案为：SAS． 14．如图，∠1＝∠2，请添加一个条件使△ABC≌△ABD：　AD＝AC　 ． 【解答】解：∵∠1＝∠2，AB＝AB， ∴若添加条件AD＝AC，则△ABC≌△ABD（SAS）， 若添加条件∠D＝∠C，则△ABC≌△ABD（AAS）， 若添加条件∠ABD＝∠ABC，则△ABC≌△ABD（ASA）， 故答案为：AD＝AC． 15．如图，已知∠1＝∠2，若要使得△ABD≌△ACD，则可添加的条件是　AB＝AC（答案不唯一）　 （只需填写一个条件）． 【解答】解：可添加的条件是AB＝AC， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， 故答案为：AB＝AC（答案不唯一）． 16．如图，已知AC∥DF，CB∥FE，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，这个条件可以是 　AD＝BE　 （填写一个即可）． 【解答】解：∵AC∥DF， ∴∠A＝∠FDE， ∵CB∥FE， ∴∠CBA＝∠E， ∴当添加AB＝DE或AD＝BE时，△ABC≌△DEF（ASA）； 当添加AC＝DF或BC＝EF时，△ABC≌△DEF（AAS）； 故答案为：AB＝DE（或AD＝BE或AC＝DF或BC＝EF）． 17．如图，已知OA＝OB，小明想证明△OAD≌△OBC，但发现还缺少一个条件．现从下列条件中选择一个条件添加：①∠AEC＝∠BED，②∠A＝∠B，③∠ODA＝∠OCB，④OC＝OD，⑤AD＝BC；添加后能证明△OAD≌△OBC的条件有 　②③④　 （要求写出所有符合的条件的对应编号）． 【解答】解：①∠AEC和∠BED不是△OAD和△OBC的角，不能判定△OAD≌△OBC，故①不符合题意； ②由ASA判定△OAD≌△OBC，故②符合题意； ③由AAS判定△OAD≌△OBC，故③符合题意； ④由SAS判定△OAD≌△OBC，故④符合题意； ⑤∠AOD和∠BOC分别是AD和BC的对角，不能判定△OAD≌△OBC，故⑤不符合题意， ∴能证明△OAD≌△OBC的条件有②③④． 故答案为：②③④． 18．如图，已知AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△ADE，还需添加一个条件，这个条件可以是　AB＝AD（或∠B＝∠D或∠E＝∠C）　 （写出一个即可）． 【解答】解：由条件可知∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC即∠BAC＝∠DAE， 当AB＝AD时，△ABC≌△ADE（SAS）， 当∠B＝∠D时，△ABC≌△ADE（AAS）， 当∠E＝∠C时，△ABC≌△ADE（ASA）， 故答案为：AB＝AD或∠B＝∠D或∠E＝∠C． 19．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝15cm，AC＝6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB．若点E的运动时间为t（t＞0），则当以B、E、D为顶点的三角形与△ACB全等时，t＝　3或7或10　 s． 版权所有 【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED ∵AC＝6， ∴BE＝6， ∴AE＝AB﹣BE＝15﹣6＝9， ∴点 E 的运动时间为9÷3＝3 （秒）． ②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，如图所示： ∵AC＝6， ∴BE＝6， ∴AE＝AB+BE＝15+6＝21． ∴点 E 的运动时间为21÷3＝7 （秒）． ③如图所示：当E在BN上，AB＝BE时， 此时△ACB≌△BDE， ∴AE＝AB+BE＝15+15＝30， ∴点E的运动时间为30÷3＝10 （秒）； ④当E在线段AB上，AB＝BE时，△ACB≌△BDE这时E在A点未动，因此时间为0秒不符合题意． 故答案为：3或7或10． 20．如图，在下列条件中，能证明△ABD≌△ACD的是　①②③④　 ．（填序号） ①BD＝DC，AB＝AC； ②∠ADB＝∠ADC，BD＝DC； ③∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD； ④∠B＝∠C，BD＝DC． 【解答】解：①②③， 理由是：①∵在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（SSS）； ②∵在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（SAS）； ③∵在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（AAS）； ④连接BC， ∵BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（SAS）， 故答案为：①②③④． 三、解答题练习 21．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求说明：△ACB≌△BDA． 【解答】解：∵∠C＝∠D＝90°， ∴△ABC和△BAD都是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）． 22．如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB． 说明：△DEF≌△ABC． 版权所有 【解答】解：∵DA＝EB， ∴DE＝AB， 在△DEF和△ABC中， ， ∴△DEF≌△ABC（SSS）． 23．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，AD与BC交于点O．说明：△ABD≌△BAC． 【解答】解：∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴△BAC和△ABD是直角三角形， 在Rt△BAC和Rt△ABD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）． 24．如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，AC＝AE，请说明：△ABC≌△ADE． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． 25．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，∠ACD＝∠CEB．△ADC与△BCE全等吗？请说明理由． 【解答】解：△ADC与△BCE全等，理由如下： ∵AD∥EB， ∴∠A＝∠B， 在△ADC和△BCE中， ， ∴△ADC≌△BCE（ASA）． 26．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，连接BD，AE⊥AB交BD于点E，CF⊥CD交BD于点F，DE＝BF，说明：△ABE≌△CDF． 【解答】解：∵BF＝DE， ∴BF+EF＝DE+EF，即BE＝DF， ∵AE⊥AB，CF⊥CD， ∴∠BAE＝∠DCF＝90°， 又∵AB∥CD ∴∠ABD＝∠CDB 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（AAS）． 27．如图，∠A＝∠B，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝36°，求∠AEB的度数； （2）若∠1＝∠2，AE＝BE，说明：△AEC≌△BED． 【解答】解：（1）∴∠AOD＝∠BOE，∠A＝∠B， ∴∠AEB＝∠2＝36°； （2）∵∠ADE＝∠1+∠C， 即∠2+∠BDE＝∠1+∠C， 而∠2＝∠1， ∴∠C＝∠BDE， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（AAS）． 28．如图，点F、G为线段BC上两点，FE⊥BC于F，GD⊥BC于G，连接BD、CE，∠B＝∠C，BF＝CG． （1）如图1，试说明：△BDG≌△CEF． （2）如图2，设BD与CE相交于点O，连接BE、CD并延长相交于点A，请直接写出图中所有全等的三角形． （△BDG≌△CEF除外，均用图中给出的字母表示．） 【解答】解：（1）∵FE⊥BC，GD⊥BC， ∴∠BGD＝∠CFE＝90°， ∵BF＝CG， ∴BF+FG＝FG+CG， 即BG＝CF， 在△BDG和△CEF中， ， ∴△BDG≌△CEF（ASA）； （2）∵△BDG≌△CEF， ∴BD＝CE，DG＝EF， 在△BEF和△CDG中， ， ∴△BEF≌△CDG（SAS）； ∴BE＝CD， 在△BCE和△CBD中， ， ∴△BCE≌△CBD（SSS）； ∴∠EBC＝∠DCB， ∵∠OBC＝∠OCB ∴∠EBO＝∠DCO，OB＝OC ∴∠EBO＝∠DCO， 在△BOE和△COD中， ， ∴△BOE≌△COD（SAS）； 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（AAS）， 综上所述，图中全等的三角形为△BEF≌△CDG，△BCE≌△CBD，△BOE≌△COD，△BAD≌△CAE． 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C．80° D．60° 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别是边BC，AB，AC上的点，且BE＝CD，CF＝BD，若∠EDF＝44°，则∠A的度数为（　　） A．44° B．88° C．92° D．136° 10．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题练习 11．如图，已知∠ACB＝∠BDA，只要再添加一个条件：　 　 ，就能使△ACB≌△BDA．（填一个即可） 12．如图，AB＝DB，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DBE还需添加一个条件是 　 　 ．（只需写出一种情况） 13．如图，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，则△ABC≌△ABD，应用的判定方法是　 　 ． 14．如图，∠1＝∠2，请添加一个条件使△ABC≌△ABD：　 　 ． 15．如图，已知∠1＝∠2，若要使得△ABD≌△ACD，则可添加的条件是　 　 （只需填写一个条件）． 16．如图，已知AC∥DF，CB∥FE，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，这个条件可以是 　 　 （填写一个即可）． 17．如图，已知OA＝OB，小明想证明△OAD≌△OBC，但发现还缺少一个条件．现从下列条件中选择一个条件添加：①∠AEC＝∠BED，②∠A＝∠B，③∠ODA＝∠OCB，④OC＝OD，⑤AD＝BC；添加后能证明△OAD≌△OBC的条件有 　 　 （要求写出所有符合的条件的对应编号）． 18．如图，已知AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△ADE，还需添加一个条件，这个条件可以是　 　 （写出一个即可）． 19．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝15cm，AC＝6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB．若点E的运动时间为t（t＞0），则当以B、E、D为顶点的三角形与△ACB全等时，t＝　 　 s． 20．如图，在下列条件中，能证明△ABD≌△ACD的是　 　 ．（填序号） ①BD＝DC，AB＝AC； ②∠ADB＝∠ADC，BD＝DC； ③∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD； ④∠B＝∠C，BD＝DC． 三、解答题练习 21．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，说明：△ACB≌△BDA． 22．如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB． 说明：△DEF≌△ABC． 23．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，AD与BC交于点O．说明：△ABD≌△BAC． 24．如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，AC＝AE，请说明：△ABC≌△ADE． 25．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，∠ACD＝∠CEB．△ADC与△BCE全等吗？请说明理由． 26．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，连接BD，AE⊥AB交BD于点E，CF⊥CD交BD于点F，DE＝BF，说明：△ABE≌△CDF． 27．如图，∠A＝∠B，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝36°，求∠AEB的度数； （2）若∠1＝∠2，AE＝BE，说明：△AEC≌△BED． 28．如图，点F、G为线段BC上两点，FE⊥BC于F，GD⊥BC于G，连接BD、CE，∠B＝∠C，BF＝CG． （1）如图1，试说明：△BDG≌△CEF． （2）如图2，设BD与CE相交于点O，连接BE、CD并延长相交于点A，请直接写出图中所有全等的三角形． （△BDG≌△CEF除外，均用图中给出的字母表示．） 学科网（北京）股份有限公司 $$