北京市东城区2024-2025学年高二下学期期末统一检测数学试卷

乐城凶2024一2025学年度第二学期期末统一检测 高二数学 2025.7 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 (1)已知集合A={x|x≤2)，B=(-3,-2,-1,0,1),则A∩B= (A){-1,0} (B)(-2,-1,0}(C){-1,0,1) (D){-2,-1,0,1) (2)下列函数在区间[0，十∞)上单调递增的是 (A)f(x)=-x(B)f(x)=2 (C)f(x)=1gx (D)f(x)= (3)对某种动物的三项指标A,B,C进行调查研究，现有这种动物若干只，设每只动物的 这三项指标为(a:,b,c)(i∈N).若(a:,b)与(a,c)的散点图如图1和图2所示， 那么关于(b:,c)的散点图最合理的为 12 6 6 4321 4 3. 123456A 00123456A 图1 图2 6 5 43 3 21 2 (A) 0123456B (B)6123456B 6 6 5 5 3 2 32 (C)0123456龙 (D)0123456B 高二数学第1页（共6页） (4)甲、乙等5人排成一列，且甲、乙均不在第一个但直，则个问的排法种数共有 (A)36 (B)48 (C)60 (D)72 (5)为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.假定生男孩和生女孩 是等可能的，现考虑恰有3个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么这3 个小孩都是女孩的概率为 (A) (C) (D 1-2 (6)设函数f)=2-1,x≤a, 若y=f(x)恰有两个零点，则实数a的取值范围是 x2-x-6,x>a. (A)(-∞-2) (B)(-,-2)U[1,3) (C)(-2,3) (D)(-∞，一2)U(3,十) (7)投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分，投掷了3次，设总分为X,那 么X的数学期望为 A)是 (B)4 (D)5 8)已知函数f(x)一e,g(x)=(x一)十e,其中xo,k∈R,那么“对任意的实数x都 有f(x)≥g(x)”是“k=e”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)已知正整数a,b,c,d,e满足a<b<c<d<e,且a十b+c十d十e=50,那么b十d的最 大值是 (A)22 (B)23 (C)24 (①)5 (10)已知函数f(x)=ln(x-1),对于实数西，x2,已知1<<2，设M= f(x)-f(z),p-f(za+1)-f(z2,Q-K(m)+f(z 2一x1 x2一31+1 十x2 (A)>2时，有M>Q>P (B)尚>2时，有P>MQ (C)1<x1<2时，有PQ>M (D)1<1<2时，有MDP>Q 第二部分（非选择题 廿119) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)函数f(x)=1十lnx的定义域是 √x+1 (12)在(1一2√丘)6的展开式中，x的系数为，.（用数字作答） 高一数学第2页（共6页） (13)已知函数f(x)=2十g2x(其中p,q是正实数). ①能使函数f(x)为偶函数的一组，q可以为 ②若函数f(x)的最小值为4，则力十q的最小值为 (14)设函数f(可=ax3+bx2+cx十d(g≠0)，点A,B,C,D在平面直角坐标系中的位 置如图所示.已知曲线y=f(x)在点B,C处的切线分别为直线AB和CD,则此函 数的解析式f(x)= (15)一组单调不减的数据a1,a2,ag,…,an(n≥3)（即a1≤aaa3≤…2n,,满足a1卡an 记这组数据a1,a2,ag,…,an的方差为D;数据a2,a3,·2n的方差为D7数据a1, a2,a3,…,am-1的方差为D2;数据a2,ag,…,am-1的方差为D3.给出下列四个结论： ①存在单调不减的数据，使得D>D1; ②存在单调不减的数据，使得D1=D2; ③存在单调不减的数据，使得D=D2; ④对任意单调不减的数据，都有D>D3. 其中正确结论的序号是 三、解答题典6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 甲、乙、丙3台机，器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否相互独立，已知 甲、乙、丙这3台机器的产品合格率分别为，号，是 (I)从甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格的概率； (Ⅱ)从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率； (Ⅲ)若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，求这件产 品合格的概率 (17)(本小题14分) 已知函数八x)=32-x2-3x (1)求曲线y=∫(x)在点（一3，f0一3）)处的切线方程； (Ⅱ)求函数∫(x)的极值； (Ⅲ)若函数∫(x)在(a,十∞)上存在最小值，求a的取值范围 (18)(本小题13分) 在某校运动会射击项目中、只有甲、7，丙=名同学参加射击比赛，共比赛20轮，每 轮比赛3名同学各射击1次，规定每轮比赛射击环数最高者获胜.本次射击比赛中甲、 乙、丙的前10轮比赛成绩（单位：环）统计如下： 轮次 1 2 3 5 6 7 9 10 甲 10.2 10.7 10.0 10.2 9.9 8.8 10.1 10. 97 9.5 乙 8.6 10.4 9.4 9.7 9.8 8.8 10.0 9.4 10.6 10 丙 6.5 8.5 7.7 9.7 8.5 10.3 8.7 7.5 10.5 8.5 用频率估计概率，假设甲、乙、丙的比赛成绩相互独立， (I)如果命中10环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”.依据表中的数据，估计甲在 后10轮比赛中“命中靶心”的轮数； (Ⅱ)从前0轮比赛中随机选择3轮，设X表示乙获胜的轮数，求X的分布列和数学期 望E(X) (Ⅲ)记第5轮到第10轮比赛中甲、乙、丙的比赛成绩给别为a4,b,(=5,6,7,8,9,10) 定义统计量： d,=2lana+la丁+号lap+la万ay+la-as, d=号lbw-|+克lb,bs+是,|+lb,-bs+l6,-as, d,-2l6。-a+l-a+le-6,+-c+2l-cl: 请直接写出d。,d6,d。的大小关系， (19)(本小题15分) 已知精圆c景+ y2 =1(a>6>0)的腐心率为2，(0，W3)为椭圆C上一点，已知点 P1,》 (I)求椭圆C的方程： (Ⅱ)过点(1，O)的直线L与椭圆C交于两个不同的点M,N(均异于点P).若直线PM, PN的斜率互为相反数，求直线L的方程， (20)(本小题15分) 已知函数f(x)=1+x+ax,其中a>0. (I)讨论函数yf(x)的单调性； (Ⅱ)若a=1,<0,设曲线y=f(x)在点A(t,f(t))处的切线交x轴于点B. (|)求出点B的横坐标（用t表示）； (I)已知点H在x轴上，且AH⊥x轴，求证：存在唯一的点A(t,f(t)),使得 △AHB为等腰直角三角形. 高二数学第5面（共6面） (21)(本小题15分) 已知数列A:a,a2,,a,(n≥3)，定义：T(A)=写1a1一a小从A中选取第i 项、第2项、…、第im项(i<i<<im,2≤m≤一1).则称数列a,a,…,a.为A的 长度为m的子列.若A:a1,a2,…,an(n≥3)为1,2，…，n的一个排列，则称数列A具有 性质P. (I)已知A:1,3,4,2,5,6,若数列B是数列A的长度为4的子列，写出T(B)的最大值 和最小值； (Ⅱ)已知数列A:a1,a2,…,a6具有性质P,且存在唯一的长度为3的子列B,使得 T(B)=T(A),求T(A)的最小值； (Ⅲ)已知数列A:a1,a2,…,an具有性质P,且n为偶数，求T(A)的最大值，并直接写出 当T(A)取得最大值时数列A的个数. (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)东城区2024一2025学年度第二学期期末统一检测 高二数学参考答案及评分标准 2025.7 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)D (2)B (3)A (4)D (5)A (6)B (7)C (8)C (9)B (10)D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)(0,+∞) (12)60 (13)1,1(答案不唯一)4 (15)①②③ 三、解答题（共6小题，共85分） 16)(共13分) 解：(I)设事件A,=“第i次从甲中取到合格品”，故P(A)=P(A2)=三 则事件A1A2=“从甲中随机取2件产品，均为合格品”. 因为A,与A:相互独立， 放PAA:)=PA,)PA:)=×是=是， 4161 所以从甲机器生产的产品中随机取2件产品，均为合格品的概率为器 …………3分 (Ⅱ)设事件A=“从甲中取到合格品”，则P()=三，P(不)=子 设事件B=“从乙中取到合格品”，则P(B)=号P(E)= 设事件C=“从丙中取到合格品”，则P(C)=是，P(C)=号。 设事件D=“从甲、乙、丙中各取1件产品，恰有2件合格品”， 则D=ABC+ABC+ABC,其中ABC,AC,ABC两两互斥，A,B,C相互独立， 故PD)=PMBC)+PABC)+PBC)=是×号×号+号×写×号+×号×号-易： 故从甲，乙、丙中各取1件产品，恰有2件产品合格的概率为易 9分 (Ⅲ)设事件E,=“合格品米自甲机器”，事件E2=“合格品来自乙机器”，事件E,=“合格品来 自丙机器”，则E1,E2,E3两两互斥， 设事件F=“任取一件产品为合格品”， 则F=FE UFE2UFE,其中FE1,FE2,FEa两两互斥. 由题意得P(E)=P(E)=P(E)=了，PFIE,)=是，P(FIE)=号，P(FE,)=号 P(F)=P(FE)+P(FE2)+P(FEx) =P(E)P(F E)+P(E2)P(FE2)+P(Es)P(F E) =号×是+×告+×号 3 所以任取一件产品为合格品的概率为号 13分 (17)(共14分) 解：(1)函数/)=号-r-3x, 所以f(x)=x2-2x-3, 所以切线的斜率k=了（一3）=12. 又因为f(-3)=-9, 所以切线的方程为y一（一9)=12(x十3)，即y=12x十27.…4分 (Ⅱ)f(x)=x2-2.x-3=(x+1)(x-3), 令∫(x)=0,解得x=-1或x=3, 当x变化时，导数(x)和f(x)的变化如下： (-0o,-1) -1 (-1,3) 3 (3,十0o) f(r) + 0 0 × f(x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单测递增 所以函数x)的极大值为-1)=号，极小值为3)=-9. …10分 (Ⅲ)由(1)知(-3)=-9. ①当-3≤a<3时， f(x)在（一3，一1）上单调递增，在（一1,3）上单调递减，在(3，十∞)上单调递增， 且(-3)=-9，极小值f(3)=-9, 所以当x=3时，∫(x)取得最小值一9，符合题意； ②当a<-3时，由于f(x)在(-∞，-1)上单调递增， 所以f(a)<f(-3)=f(3), 此时f(x)在(a,十o∞)上无最小值，不符合题意，舍去： ③当a≥3时，f(x)在(a,+o∞)上单调递增， 故对任意xr>a,f(x)>f(a),不符合题意，舍去. 综上，的取值范围为[一3,3).… 14分 (18)(共13分) 解：(1)前10轮比赛中，甲“命中靶心”的轮次分别为1,2,3,4,7,8，共6轮， 所以估计甲在后10轮比赛中“命中靶心的轮数为品×10=6（轮.…3分 (Ⅱ)前10轮比赛中，乙获胜的轮次分别为9,10， 故X的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)= CC_7 C。15' P(X=1)= CC_7 Ci。 15 P(X=2)= 器-· 所以X的分布列为 X 0 2 7 7 1 X的数学期望E(X)=0×号+1×品+2X言- 3 10分 (m)d.<d<d. 13分 19)(共15分) a=2, 解：(1)山已知得 b=√3， 解得b=√3， a2=+c2, c=1, 所以椭圆C的方程为片+芳=1。 4分 (Ⅱ)由已知直线1的斜率存在。 设直线1：y=k(x-1),M(y),N(x),其中x≠1，≠1. 由3年120(46+3)产-8x+4-12=0 故△=64k-4(4k2-12)(4k2+3)=144(k2+1)>0, 8k2 4k2-12 由韦达定理得十=竿3=你号 由已知kr十km=0, 名+-入 即。 2 =0, （k--2)。-1)+(k-k-2)-1) =0 (x4-1)(x2-1) 即2kx-(2k+)(x+:)+2k+3=0, 即2·号-(2+2》·联器3+2+3=0，解得=安 所以直线1的方程为y=号（x-1).即x-2y-1=0.…15分 (20)(共15分) 解：(I)f(x)的定义域为R. 由fx)=1+x+ar,得了x)=2a-x-ar. c c 因为a>0, 所以令∫(x)=0,解得x=0或x=2a-1 ①当2a。1<0甲0<a<号时， -00,2a-1 2a,0） (0,十∞) f(r) + f(r) 单测递减 单调递增 单调递减 ②当20.1-0即a=2时，)=2活≤0对Vr∈k恒成立，当且仅当=0时等号成立， 所以f(x)在R上单调递减. ③当2a。1>0即a>2时， (-∞，0） (o.24-) (2a-+ a f(r) + f(x） 单调递减 单调递增 单调递诚 综上，当0<a<号时r)在(-∞，20。）.(0，+∞)上单调递诚，在(2a。.0）上单调递 增； 当a=2时，f(x)在R上单调递诚： 当a>2时f)在(-∞，0).（②2。，+∞）上单调递减，在(0,2a。）上单调递增。…7分 ()(1)当a=1时，f(x)=1+x+x, e 了()=1+2)c-1+x+r)c=-+z, e 所以了)=二+赳 又f)=1++, 所以切线方程为y-1++上=二+(x一). e 令y=0,得-1中+==z-0. e e' 由1<0，得-+1<0，e>0, 故xn= ++1=41 所以点B的横坐标为”牛士，其巾1<0， ……………………]1分 (i)存在唯一的点A(t,∫(t),使△AHB为等腰直角三角形， 等价于f(t)=一1和f()=1有且只有1个解. ①当了)=-1闻2。出=-1.即。-+1=0时， 设g(1)=c-2+t,l<0, 故g()=C-21+1>0对V1<0恒成立， 所以g(1)在（一∞，0）上单调递增. 又g(-1)=是-2<0，g(0)=1>0, 故由零点存在定理，存在唯一t1∈（一1,0）使得g(1)=0, 所以了(1)=一1在1<0时有且只有一个零点，符合题意. ②当了0)=1即二+4=1，即c+-1=0时. e 设h(t)=c+2-t,t<0, 所以h'(1)=e+21-1. 由<0得c-1<0,故'(1)<0对H1<0恒成立， 故(1)在（一c∞，0）上单调递减， 故h(1)>e°+0-0=1， 故f(1)=1在1<0时无解， 综上，存在唯一的点A(1,∫(t),其中1∈（一1,0），使△AHB为等腰直角三角形.…15分 21)(共15分) 解：(1)T(B)的最大值为9，最小值为3.… 4分 (Ⅱ)首先证明：满足已知条件的数列A不具有单调性。 不妨设A单调递增， 那么子列B:a1,a2,a6,B2:a1,a,a6这两个长度为3的子列， 满足T(B)=T(B,),矛盾. 由于T(A)=la2-a|+|a-az|+|a,-as|+|as-a|+|a6-a|≥5， 若|a2-al+|aa-a2|+|a,-aa|+|a-a|+|a6-a|=5, 则有la2-a,|=1,|aa-a:|=1,a4-a|=1,las-a4l=1,la6-a|=l, 此时必有A单调递增或单调递减，矛盾， 因此T(A)≥6， 又由于当A为1,2,3,4,6,5时， 此时存在唯一的长度为3的子列B:1,6,5,使得T(A)=T(B)=6. 所以T(A)的最小值为6.…………9分 (Ⅲ)不妨设a1<a2. 首先证明：对具有性质P的数列A:a1,a2,,an,当T(A)取到最大值时， 数列A满足：a1<a2,a2>a3,a3<a4a1>as,a3<a6,… 假设数列A存在连续3项单调递增， 即a,<a-1<a+2(i=1,2,…,n-2), 把a4,调换到第一项，得到数列A':a,+1,a1,a2,…,a:,a+2,a, 则T(A')-T(A)=|a1-a+1|>0,矛盾， 所以假设不成立. 因此当T(A)取到最大值时， 数列A满足：a1<a2,a2>a3,a3<a4,a,>a5,a3<a6,…. 由于”为偶数， 因此TA)=la41-a=a:-a,十a-a+a-a+a,-a+… =-a1+2a2-2a3+2a1-2a:+…+2am-2-2aw-1+an =2(a2十a+…+aw-2）+an-a1-2(a3十a3+…十aw-1) ≤2[+(m-1)+…+号+2]+登+1-登-2[1+2+…+（登-1门 当A为21,1一12，…受+2，受-1，受+1时，T4)取得最大值号-1. 此时数列A的个数为2(（登-1）)月： 15分