精品解析：江西省萍乡市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

萍乡市2024—2025学年度第二学期学业质量监测 八年级数学试卷 说明： 1.本卷共五大题，26小题，全卷满分100分，考试时间100分钟． 2.本卷所有题均在答题卡上作答，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中除字母外的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 4. 下列各式中，从左到右因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 7. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 8. 如图，已知：函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. 3 B. 0或3 C. 7 D. 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法：①AE=CF；②EC+CF=；③DE=DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填在答题卡上） 11. 因式分解：________． 12. 用边长相同的正六边形和正三角形进行平面图形的组合镶嵌（镶嵌是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片），则需要2个正三角形和____个正六边形才能在同一个顶点处进行镶嵌． 13. 将点向下平移1个单位，向左平移3个单位得到点Q，点Q恰好落在y轴上，则点Q的坐标是__________． 14. 为抢修一段长120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x米，则方程可列为_______________． 15. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是____． 16. 如图，小明从O点出发，前进6米后向右转，再前进6米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了_______米． 17. 不等式的负整数解的个数为_______个． 18. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C的位置，A1B1交直线CA于点D．若AC＝6，BC＝8，当线段CD的长为________时，△A1CD是等腰三角形． 三、解答题（本大题共3小题，第19题8分，第20题5分，21题6分，共19分） 19. （1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． （2）解方程：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC， DE=DA，D为AB中点，DEAC，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）在图1中，作∠BAC的平分线AM； （2）在图2中，作AC的中点F． 22. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 23. 在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的小度机器人以的总战绩，斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来． 某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元． （1）求该商家第一次购进机器人多少个？ （2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？ 五、（本大题共2小题，第24题5分，第25题5分，共10分） 24. 如图，点、是平行四边形对角线上两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求平行四边形的周长． 25. 阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：__________； （2）求的最小值； （3）若，求的最小值． 六、（本大题共1小题，共7分） 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点分别是的中点，的外角平分线与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）是否存在这样的值，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出此时四边形对角线的交点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萍乡市2024—2025学年度第二学期学业质量监测 八年级数学试卷 说明： 1.本卷共五大题，26小题，全卷满分100分，考试时间100分钟． 2.本卷所有题均在答题卡上作答，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中除字母外的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据不等式的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴，，，， 故选B； 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握若，则，，，，． 3. 如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的3倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 故选：C． 4. 下列各式中，从左到右因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案． 【详解】解：A、，故原式分解因式错误，不合题意； B、故原式分解因式错误，不合题意； C、，不是因式分解，不合题意； D．，正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键． 5. 如图中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握有关性质． 设，则．根据线段的垂直平分线的性质，得，再根据等边对等角得，然后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵的垂直平分线交于D，交于E， ∴， ∴． ∴，即， 解得：， ∴． 故选：A． 6. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理等知识，由旋转的性质得出的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得， ∴， 根据勾股定理得： ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 故选：A． 7. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，由平行四边形的性质得出，由，根据勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ∵， ， ， 故选：C． 8. 如图，已知：函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查两条直线的交点与不等式的解集的关系，根据根据两条直线的交点坐标，结合图象，函数图象位于函数图象上方的点的横坐标的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， 则根据图象可得不等式的解集是， 故选：B． 9. 关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A. 3 B. 0或3 C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根．先去分母，再将增根代入，求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， ∵关于x的方程有增根， ∴， 解得， 故选：D． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法：①AE=CF；②EC+CF=；③DE=DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【详解】如图，连接CD， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D为AB的中点，AB=8， ∴AD=DB=CD=4，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°，AC=BC=， ∵∠NDM=90°， ∴∠NDC=∠BDM， ∴△DEC≌△DFB， ∴CE=BF，DE=DF；故③正确， ∴AE=CF，故①正确 ∴EC+CF=AC=，故②正确， S△ECF=， ∵面积是个定值， ∴CF不变，则CE不变，由直角三角形勾股定理的EF不变，故④正确， 综上所述：正确的结论为①②③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案填在答题卡上） 11. 因式分解：________． 【答案】x（y-1）2 【解析】 【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：xy2-2xy+x =x（y2-2y+1） =x（y-1）2， 故答案为：x（y-1）2． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 12. 用边长相同的正六边形和正三角形进行平面图形的组合镶嵌（镶嵌是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片），则需要2个正三角形和____个正六边形才能在同一个顶点处进行镶嵌． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌，正多边形内角和，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据正三角形是等边三角形且结合2个正三角形，则，再求出正六边形的每个内角，结合平面镶嵌进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵正三角形是等边三角形， ∴， 则正六边形的每个内角是， ∴， 故需要2个正三角形和2个正六边形才能在同一个顶点处进行镶嵌， 故答案为：2． 13. 将点向下平移1个单位，向左平移3个单位得到点Q，点Q恰好落在y轴上，则点Q的坐标是__________． 【答案】（0，-2） 【解析】 【分析】先根据点坐标平移规律求出点Q的坐标，再根据在y轴上的点横坐标为0进行求解即可． 【详解】解：∵将点向下平移1个单位，向左平移3个单位得到点Q， ∴点Q的坐标为（m+2-3，2m-3-1）即（m-1，2m-4）， ∵点Q在y轴上， ∴m-1=0， ∴m=1， ∴2m-4=-2， ∴点Q的坐标为（0，-2）， 故答案为：（0，-2）． 【点睛】本题主要考查了点坐标的平移规律，在y轴上的点的坐标特征，熟知相关知识是解题的关键． 14. 为抢修一段长120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x米，则方程可列为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据工作时间等于工作总量除以工作效率，结合提前4天开通了列车，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 15. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是____． 【答案】25 【解析】 【分析】延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长． 【详解】解：延长线段BN交AC于E． ∵AN平分∠BAC， 在△ABN和△AEN中， ， ∴△ABN≌△AEN（ASA）， ∴AE=AB=6，BN=NE， 又∵M是△ABC的边BC的中点， ∴CE=2MN=2×1.5=3， ∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25， 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题． 16. 如图，小明从O点出发，前进6米后向右转，再前进6米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了_______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的外角问题．运行轨迹是正多边形，且该正多边形外角和为，设多边形的边数为n，则正多边形边数为，运行距离=正多边形的边数正多边形边长． 【详解】解：∵小明从O点开始，前进6米后向右转，再前进6米后又向右转，…， ∴运行轨迹是正多边形，且该正多边形外角和为， 设多边形的边数为n，则正多边形边数为， ∴行走距离=正多边形的边数正多边形边长（米）， 故答案为：． 17. 不等式的负整数解的个数为_______个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解个数，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其整数解即可得到答案． 【详解】解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴原不等式的负整数解有，共4个， 故答案为：4． 18. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C的位置，A1B1交直线CA于点D．若AC＝6，BC＝8，当线段CD的长为________时，△A1CD是等腰三角形． 【答案】6或5或 【解析】 【分析】根据题意,画出图形分三种情况讨论即可． 【详解】解：三角形是等腰三角形，有如下三种情况： ①当CD＝A1C＝AC＝6时，三角形是等腰三角形； ②当CD＝A1D时，如图所示， ∴ ∵， ∴∠B1＝∠B1CD， ∴B1D＝CD． ∵CD＝A1D， ∴CD＝A1B1 由题意可知， ∴CD＝5时，三角形是等腰三角形； ③当A1C＝A1D时，如图．过点C作CE⊥A1B1于E． ∵△A1B1C的面积＝×6×8＝×10CE， ∴CE＝． 在△A1CE中，∠A1EC＝90°，由勾股定理知A1E＝＝， ∴DE＝6﹣＝． 在△CDE中，∠CED＝90°，由勾股定理知CD＝＝． 故当线段CD的长为6或5或时，△A1CD是等腰三角形． 故答案为：6或5或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是根据题意分类讨论． 三、解答题（本大题共3小题，第19题8分，第20题5分，21题6分，共19分） 19. （1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． （2）解方程：． 【答案】（1），见详解（2） 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别算出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后再在数轴上表示出来，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：（1） 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴原不等式组的解集为； （2）， 原分式方程可化为：， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 检验：把代入， ∴原分式方程解为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC， DE=DA，D为AB中点，DEAC，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）在图1中，作∠BAC的平分线AM； （2）在图2中，作AC的中点F． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】． （1）由题意得，三角形ABC是等腰三角形，D为AB中点，DE∥AC，延长ED与BC交于点M，连接AM，即为∠BAC的平分线； （2）由（1）可知，BC，AB得中点，连接CD，即可得三角形ABC得重心，点B与重心所在直线交AC与点F，即点F就是AC得中点． 【小问1详解】 解：由题意得，三角形ABC是等腰三角形，D为AB中点，DE∥AC， 延长ED与BC交于点M，连接AM，即为∠BAC的平分线，如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示：由（1）可知，BC，AB得中点，连接CD，即可得三角形ABC得重心，点B与重心所在直线交AC与点F，即点F就是AC得中点． 【点睛】本题考查了尺规作图，三角形得角平分线，中点，解题的关键是掌握这些知识点． 22. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的小度机器人以的总战绩，斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来． 某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元． （1）求该商家第一次购进机器人多少个？ （2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？ 【答案】（1）该商家第一次购进机器人100个 （2）每个机器人的标价至少是140元 【解析】 【分析】（1）设该商家第一次购进机器人x个，根据“第一次用11000元购进某款拼装机器人，用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元”列出方程并解答； （2）设每个机器人的标价是a元．根据“全部销售完毕的利润率不低于”列出不等式并解答． 【小问1详解】 解：设该商家第一次购进机器人x个， 依题意得， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意． 答：该商家第一次购进机器人100个； 【小问2详解】 解：总成本：元， 总数量：个， 利润率不低于，则总销售额至少为元， 设每个机器人的标价是a元， 则依题意得， 解得． 答：每个机器人的标价至少是140元． 五、（本大题共2小题，第24题5分，第25题5分，共10分） 24. 如图，点、是平行四边形对角线上两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求平行四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）证明得到，再由即可证明； （2）过点作，交的延长线于，由角直角三角形性质求出，再由勾股定理求出，然后在中，由勾股定理求出，最后根据平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：平行四边形中，，， ， 又， ， 在和中，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于， 在中，，， ， ∴ 在中，， ∵平行四边形， ∴， ． 25. 阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：__________； （2）求的最小值； （3）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）仿照①因式分解即可； （）仿照②解答即可； （）由已知得，即得，再仿照②解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴代数式的最小值是； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 六、（本大题共1小题，共7分） 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点分别是的中点，的外角平分线与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）是否存在这样的值，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出此时四边形对角线的交点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）9 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得，再由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）由勾股定理得，再由三角形中位线定理得，然后证，即可得出结论； （3）由平行四边形的性质得，则，得，再由勾股定理得，则，设平行四边形对角线的交点为M，过M作于H，则，然后证是等边三角形，得，则，进而由勾股定理得，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵，D是的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点，，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵C，D分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 设平行四边形对角线的交点为M，过M作于H，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平行四边形对角线的交点坐标为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $