精品解析：山西省朔州市右玉县右玉教育集团初中部期末考试2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024—2025学年第二学期八年级期末教学质量监测试题 数 学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中能与2合并是（　　） A. B. C. D. 3. 共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分，某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据，并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a小时及以内，免费骑行；超过a小时后，每半小时收费1元，这样可保证不少于50%的骑行是免费的．制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的（　　） A 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 某班级举办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩（各项成绩均按百分计）如下表所示： 项目 书面测试 实际操作 宣传展示 成绩/分 95 97 95 若按书面测试占、实际操作占、宣传展示占计算参赛个人的综合成绩（百分制），则小明的综合成绩是（ ） A. 94分 B. 95分 C. 96分 D. 97分 5. 直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是（　　） A. B. C. D. 6. 在Rt△ABC中，以两直角边为边长的正方形面积如图所示，则AB的长为（　　） A. 49 B. C. 3 D. 7 7. 某市在创建文明城市工作中，围绕重点，精准发力，进一步净化了城市环境，美化了市容市貌，如图1，园林队正在迎春公园进行绿化，图2为绿化面积（单位：）与工作时间（单位：）之间的关系图象，工作期间有1小时休息，由图可知，休息后每小时绿化面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与相交于点P，若点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集是（ ） A B. C. D. 9. 如图所示，中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若，，则的度数是(　　) A. 115° B. 105° C. 75° D. 65° 10. 如图，在中，，，为上一点，，于点，为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若一个长方体长为，宽为，高为，则它的体积为__________． 12. 一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为_________ 13. 如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为__________． 14. 如图，在中，对角线交于点O，点E在线段上（不与点A，O重合），点F在线段O，C上（不与点O，C重合），当E，F的位置满足__________条件时，四边形是平行四边形． 15. 如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点，以为边在y轴右侧作等边，将点C向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点． （1）求的值； （2）设这条直线与轴相交于点，求的面积． 18. 八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据： ①测得的长度为8米：（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． （1）求风筝的高度． （2）若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 19. 为喜迎党的生日，某教育系统党委准备组织“青春永向党，建功新时代”主题演讲比赛．甲、乙两个党支部根据初赛成绩，各选出5名教师（编号分别为1，2，3，4，5）组成甲、乙两代表队参加决赛．两个队各选出的5名教师的决赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）根据统计图补全表格中的数据． 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲队 85 乙队 85 100 （2）结合两队决赛成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好． （3）已知乙队决赛成绩的方差为160，请计算甲队决赛成绩的方差，并判断哪个队的决赛成绩较为稳定． 20. 某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润． 21. 阅读材料，并完成下列问题． （中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明，参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整． 证明：，， ． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴，整理得，即 ． （1）请将材料中证明过程空缺部分补充完整． （2）根据材料的结论解决问题：如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 22. 综合与探究 【问题情境】小明将两个全等的和重叠在一起，其中．固定不动，将沿直线向左平移，当点与点重合时，停止移动． 猜想证明】 （1）如图，在平移过程中，当为的中点时，连接，请你猜想四边形的形状，并证明你的结论． （2）如图，在平移过程中，连接，四边形的形状在不断地变化，判断它的面积变化情况，并求出其面积． 【探索发现】 （3）在平移过程中，四边形有什么共同特征？（写出两个即可） 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，点为正方形的两个顶点，点和在第一象限． （1）求点的坐标； （2）求直线的函数表达式； （3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期八年级期末教学质量监测试题 数 学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、解一元一次不等式，二次根式中被开方数必须是非负数，所以可得，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得：． 故选：D． 2. 下列二次根式中能与2合并的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可． 【详解】A、＝2，不能与2合并，故该选项错误； B、能与2合并，故该选项正确； C、＝3不能与2合并，故该选项错误； D、＝3不能与2合并，错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 3. 共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分，某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据，并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a小时及以内，免费骑行；超过a小时后，每半小时收费1元，这样可保证不少于50%的骑行是免费的．制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据需要保证不少于50%的骑行是免费的，可得此次调查的参考统计量是此次调查所得数据的中位数. 【详解】因为需要保证不少于50%的骑行是免费的， 所以制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的中位数， 故选B． 【点睛】本题考查了中位数知识，中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性． 4. 某班级举办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩（各项成绩均按百分计）如下表所示： 项目 书面测试 实际操作 宣传展示 成绩/分 95 97 95 若按书面测试占、实际操作占、宣传展示占计算参赛个人的综合成绩（百分制），则小明的综合成绩是（ ） A. 94分 B. 95分 C. 96分 D. 97分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据加权平均数的计算方法，将各项目成绩分别乘以对应的权重比例，再求和即可得出综合成绩． 【详解】小明的综合成绩为：分， 故选：C． 5. 直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案． 【详解】解：直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是： 故选D． 【点睛】考核知识点：一次函数图象的平移.理解平移性质是关键． 6. 在Rt△ABC中，以两直角边为边长的正方形面积如图所示，则AB的长为（　　） A. 49 B. C. 3 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理可知：以斜边为边长的正方形的面积等于以两条直角边为边长的正方形的面积和，据此求解即可． 【详解】解：∵以直角边为边长的两个正方形的面积为35和14， ∴AB2＝AC2+BC2＝35+14＝49， ∴AB＝7（负值舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 7. 某市在创建文明城市工作中，围绕重点，精准发力，进一步净化了城市环境，美化了市容市貌，如图1，园林队正在迎春公园进行绿化，图2为绿化面积（单位：）与工作时间（单位：）之间的关系图象，工作期间有1小时休息，由图可知，休息后每小时绿化面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象可知休息1小时后，园林队工作了2个小时，绿化了，即可求出答案． 【详解】解：由图象可知， 园林队休息后继续工作了：， 绿化面积为， ∴休息后每小时绿化面积为： 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，从图象中找出与所求内容相关的信息是解此题的关键． 8. 如图，直线与相交于点P，若点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：观察函数图象可知：当时，的图像在图像的上方，据此即可解答． 【详解】解：由函数图像可知：当时，，即不等式的解集为：． 故选：B． 9. 如图所示，中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若，，则的度数是(　　) A. 115° B. 105° C. 75° D. 65° 【答案】A 【解析】 【分析】由AD∥BC，可得∠EAD=180°-∠AEC=75°，则∠BAD度数可求，依据平行四边形的对角相等可求∠C度数． 【详解】∵四边形AEFG是正方形， ∴∠AEF=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠C=∠BAD， ∴∠EAD=180°-∠AEC=180°-90°-15°=75°， ∴∠BAD=40°+75°=115°， ∴∠C=115°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、正方形的性质，解题的关键是运用平行四边形的对角相等及平行线的性质转化角． 10. 如图，在中，，，为上一点，，于点，为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线的判定与性质，首先根据，，可得：，因为，根据等腰三角形的三线合一定理可知点是的中点，又因为点为的中点，可得：是的中位线，根据中位线的性质可以求出． 【详解】解：，， ， 又， ， 点是的中点， 点为的中点， 是的中位线， ． 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式乘法运算，涉及长方体体积公式，由题意所给长方体棱长，结合长方体体积公式代值，再由二次根式乘法运算法则求解即可得到答案．熟记二次根式乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为， 故答案为：． 12. 一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为_________ 【答案】5 【解析】 【分析】先根据平均数的定义列方程求出 x 的值，再依据众数的定义得出答案． 【详解】解：∵数据4，5，x，7，9的平均数为6， ∴， 解得， 所以这组数据为数据4，5，5，7，9则这组数据的众数为5， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查众数和平均数，解题的关键是掌握众数和算术平均数的定义． 13. 如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求四边形面积，涉及勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式等知识，在中和中，由勾股定理的逆定理证得和均为直角三角形，数形结合得到四边形的面积为，代值求解即可得到答案．熟记勾股定理的逆定理判定和均为直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 四边形的面积为， 故答案为：． 14. 如图，在中，对角线交于点O，点E在线段上（不与点A，O重合），点F在线段O，C上（不与点O，C重合），当E，F的位置满足__________条件时，四边形是平行四边形． 【答案】如，答案不唯一 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形． 当时四边形是平行四边形；根据四边形是平行四边形，可得，，再由条件可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形． 【详解】解：当时，四边形是平行四边形，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：． 15. 如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点，以为边在y轴右侧作等边，将点C向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，先求出直线与轴交点的坐标为，再由在线段的垂直平分线上，得出点纵坐标为，则点纵坐标为1，，将代入，求得，即可得到的坐标． 【详解】解：在中，当时，得， ． 以为边在轴右侧作等边三角形， 在线段的垂直平分线上， ∴点纵坐标为1， ∵将点C向左平移，使其对应点恰好落在直线上， ∴点纵坐标为1， 将代入，得， 解得． ∴的坐标是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，整式的化简求值． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算平方差公式单项式乘以多项式，再计算加减，最后将代入即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 当时，原式． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点． （1）求的值； （2）设这条直线与轴相交于点，求的面积． 【答案】（1）7；（2）3 【解析】 【分析】（1）先根据待定系数法求出直线AB的解析式，再把点C的坐标代入求解即可； （2）由（1）题的结果可得点D的坐标，再根据三角形的面积计算． 【详解】解：（1）设直线的解析式为， 把，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 把代入中，得； （2）令，则， ∴直线与轴的交点的坐标为． 而点的坐标为， ∴． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握一次函数的基本知识是解答的关键． 18. 八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据： ①测得的长度为8米：（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． （1）求风筝的高度． （2）若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）7米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论∶ 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； 【小问2详解】 如图：由题意得，米，∴米， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴他应该往回收线7米． 19. 为喜迎党的生日，某教育系统党委准备组织“青春永向党，建功新时代”主题演讲比赛．甲、乙两个党支部根据初赛成绩，各选出5名教师（编号分别为1，2，3，4，5）组成甲、乙两代表队参加决赛．两个队各选出的5名教师的决赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）根据统计图补全表格中的数据． 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲队 85 乙队 85 100 （2）结合两队决赛成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好． （3）已知乙队决赛成绩的方差为160，请计算甲队决赛成绩的方差，并判断哪个队的决赛成绩较为稳定． 【答案】（1）补全表格见解析 （2）甲，分析见解析 （3）甲队方差为70；甲，判断见解析 【解析】 【分析】（1）由条形统计图得到甲队、乙队的具体分数，根据平均数、众数、中位数的求解公式代值求解即可得到答案； （2）由（1）中表格里的平均数和中位数，两个队的平均数都相同，甲队的中位数大，从而确定答案； （3）根据数据，计算，比较、的大小关系，即可判断两队的稳定性． 小问1详解】 解：由条形统计图可知，甲队分数为， 甲队平均数为分；甲队众数为； 由条形统计图可知，乙队分数为，按照从小到大排序为， 乙队中位数为分； 综上所述，填表如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲队 85 85 85 乙队 85 80 100 【小问2详解】解：如表所示： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲队 85 85 85 乙队 85 80 100 甲队的决赛成绩好些． ∵两个队的平均数都相同，甲队的中位数大， ∴在平均数相同的情况下，中位数大的甲队决赛成绩好些； 【小问3详解】 解：甲队， ∵，， ∴， ∴甲队的决赛成绩较为稳定． 【点睛】本题考查统计综合、涉及统计图表获取信息、平均数、中位数、众数的意义及求法、由平均数和中位数做决策、计算方差、由方差判定稳定性等知识．熟记相关统计量的意义及求法是解决问题的关键． 20. 某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润． 【答案】（1）；（2）工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润. 【解析】 【分析】（1）利润y（元）＝生产甲产品的利润+生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润＝生产1吨甲产品的利润0.3万元×甲产品的吨数x，即0.3x万元，生产乙产品的利润＝生产1吨乙产品的利润0.4万元×乙产品的吨数（2500﹣x），即0.4（2500﹣x）万元． （2）由（1）得y是x的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量x的取值范围再确定当x取何值时，利润y最大． 【详解】（1）. （2）由题意得：，解得. 又因为，所以. 由（1）可知，，所以的值随着的增加而减小. 所以当时，取最大值，此时生产乙种产品（吨）. 答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨，时，能获得最大利润. 【点睛】这是一道一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求利润y与甲产品生产的吨数x的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围，最后确定函数的最值．也是常考内容之一． 21. 阅读材料，并完成下列问题． （中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明，参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整． 证明：，， ． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴，整理得，即 ． （1）请将材料中证明过程空缺部分补充完整． （2）根据材料的结论解决问题：如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 【答案】（1）； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，掌握矩形的判定和性质是解题关键． （1）根据正方形的边长为，直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方，即可得到答案； （2）设，则，则，在Rt△ABE中，根据，即可解答． 小问1详解】 解：∵，，． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴， 整理得， 即． 故答案为：；． 【小问2详解】 设，则， 矩形中， 由折叠的性质可知，． 在Rt△ABE中，， 则， 解得， 即的长为3． 22. 综合与探究 【问题情境】小明将两个全等的和重叠在一起，其中．固定不动，将沿直线向左平移，当点与点重合时，停止移动． 【猜想证明】 （1）如图，在平移过程中，当为的中点时，连接，请你猜想四边形的形状，并证明你的结论． （2）如图，在平移过程中，连接，四边形的形状在不断地变化，判断它的面积变化情况，并求出其面积． 【探索发现】 （3）在平移过程中，四边形有什么共同特征？（写出两个即可） 【答案】（1）菱形，证明见解析； （2）四边形的形状在不断改变，但它的面积不变化，； （3）在平移过程中，四边形共同特征为 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，结合，由菱形的判定定理即可得证； （2）由含直角三角形性质、勾股定理及平移性质得到相关线段长度，进而确定，数形结合，由即可求出面积； （3）由平移性质及前面问题的求解过程中即可得证． 【详解】解：（1）四边形是菱形． 证明如下： ∵是直角三角形，为的中点， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形； （2）四边形的形状在不断改变，但它的面积不变化． 由平移的性质，得． 在中，， 则． 在中，由勾股定理可得． 由平移性质可得， ∴， ∴． （3）在平移过程中，四边形共同特征为①；②． 【点睛】本题考查几何综合，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、平移性质、含直角三角形性质、勾股定理等知识．熟记相关几何判定与性质，并灵活运用是解决问题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，点为正方形的两个顶点，点和在第一象限． （1）求点的坐标； （2）求直线函数表达式； （3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）过D作轴于点E，根据正方形的性质结合题意易证，即得出，，从而得出，即； （2）过点C作轴于点F，同理可证得，即得出，，从而得出，即．再利用待定系数法求解即可； （3）由正方形的性质可得出，即说明要使为等腰三角形，只存在．分类讨论：①当点P位于C点下方时，此时点P与点B重合，即；②当点P位于C点上方时，根据中点坐标公式即可求解． 【小问1详解】 解：过D作轴于点E，如图1， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点C作轴于点F，如图1， 同理可证得， ∴，， ∴， ∴． 设直线的函数表达式为（，k，b为常数）． 代入，，得， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形， ∴． ∵在直线上存在点P，使为等腰三角形， ∴只存在． 分类讨论：①当点P位于C点下方时， ∵，， ∴此时点P与点B重合， ∴； ②当点P位于C点上方时，如图2， ∵， ∴点C为中点． ∵，， ∴； 综上可知点P的坐标为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，利用待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$