精品解析：江苏省南京市金陵中学河西分校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期中调研 八年级数学 一、选择题：（每题2分，共12分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 B. 两个负数相乘，积是正数是不可能事件 C. 了解某品牌手机电池待机时间用全面调查 D. 了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查 3. 下列二次根式中，不能与合并的是（　 ） A. B. C. D. 4. 已知M表示一个整式，若是最简分式，则M可以是（ ） A. 7 B. 8x C. D. y2 5. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）． A. 逐渐增加 B. 逐渐减小 C. 保持不变且与EF的长度相等 D. 保持不变且与AB的长度相等 6. 如图，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接．若时，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每题2分，共20分） 7. 如果代数式有意义，那么实数的取值范围_____． 8. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 9. 《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定，某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生频数是______________． 10. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，点B的对应点D恰好落在边上，则的长为______． 11. 如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_____． 12. 如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，若，那么的大小为__________． 13. 如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是________． 14. 已知，则分式的值为______． 15. 如图，在边长为2的正方形中，点E、F分别是边的中点，连接，点G、H分别是的中点，连接，则的长度为________． 16. 如图，在矩形中，点E在上，且，，，点P是线段上的一个动点，将点B沿翻折得点F，当时，________． 三、解答题： 17. 计算与化简： （1） （2） （3） （4） 18. 先化简：，再取一个你喜欢的数代入求值． 19. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 20. 在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 93 b 295 480 601 摸到白球的频率 0.59 a 0.61 0.59 0.60 0.601 （1）表中的______，______； （2）“摸到白球”的概率的估计值是______；（精确到0.1） （3）如果箱子中一共有30个球，除了白球外，估计还有多少个其他颜色的球？ 21. 某学校为了解在校生的体能素质情况，从全校八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格）并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是　 　； （2）扇形统计图中∠α的度数是　 　，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，那么估计不及格的人数为　 　人； （4）测试老师从被测学生中随机抽取一名，所抽学生为B级的概率是多少？ 22. 按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图①，点A、B、C是平行四边形ABCD的三个顶点，求作平行四边形ABCD； （2）如图②，点O、P、Q分别是平行四边形EFGH三边EH、EF、FG的中点，求作平行四边形EFGH. 23. 已知，． （1）当时，比较A与B的大小，并说明理由： （2）设，若m为整数，则正整数y的值为______． 24. 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式）古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：（海伦公式），其中，请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为______； （2）如图，在中，已知，，． ①的面积为______； ②作于点D，求的长． （3）小明发现这两个公式本质上是一样的，请你说明理由． 25. 【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 26. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，． ，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______； （2）当时，的最小值为______； （3）当时，的最小值为______； （4）如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为8和18，求四边形的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中调研 八年级数学 一、选择题：（每题2分，共12分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形，故该选项符合题意； ．不是中心对称图形 ，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形 ，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 B. 两个负数相乘，积是正数是不可能事件 C. 了解某品牌手机电池待机时间用全面调查 D. 了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率事件的分类，抽样调查和普查的区别；理解“一定会发生的事件叫必然事件；一定不会发生的事件叫不可能事件；有可能发生，也有可能不发生的事件叫随机事件；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．”是解题的关键． 【详解】解：A. 射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，结论错误，故不符合题意； B. 两个负数相乘，积是正数是必然事件，结论错误，故不符合题意； C. 了解某品牌手机电池待机时间用抽样全面调查，结论错误，故不符合题意； D. 了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查，结论正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列二次根式中，不能与合并的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】各式化简为最简二次根式后，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】】解：A、=2，能与合并，故此选项不符合题意； B、，不能与合并，故此选项符合题意； C、=3，能与合并，故此选项不符合题意； D、=4，能与合并，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念和二次根式的化简是解本题的关键． 4. 已知M表示一个整式，若是最简分式，则M可以是（ ） A. 7 B. 8x C. D. y2 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用约分的法则，对选项依次判断． 【详解】解：A、当时，是整式，不符合题意，故A错误； B、当时，分子分母可以约分，不符合题意，故B错误； C、当时，分子分母可以约分，不符合题意，故C错误； D、当时，分子分母不可以约分，符合题意，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了约分的方法，解题的关键是：掌握约分的相关方法，分式的分子与分母同时除以它们的公因式；分式的分子、分母都是多项式时得先因式分解，再约分． 5. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）． A. 逐渐增加 B. 逐渐减小 C. 保持不变且与EF的长度相等 D. 保持不变且与AB的长度相等 【答案】D 【解析】 【分析】证明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF；结合图形可知：AE+CF＝AB，AB是一定值，从而完成求解． 【详解】连接BD ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD， ∵∠A＝60° ∴△ABD是等边三角形 ∴AB＝BD，∠ABD＝60° ∵DC∥AB ∴∠CDB＝∠ABD＝60° ∴∠A＝∠CDB ∵∠EBF＝60° ∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF ∴∠ABE＝∠DBF ∵ ∴△ABE≌△DBF（AAS） ∴AE＝DF ∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形、等边三角形、全等三角形的知识；求解的关键是熟练掌握菱形、等边三角形、全等三角形的性质，从而完成求解． 6. 如图，在正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接．若时，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，在上取一点G使得，连接，由正方形的性质得到，证明得到，进而推出点P在直线上运动；如图所示，作点D关于直线的对称点F，连接，则，，即，即可证明三点共线，进一步推出当三点共线时，的周长有最小值，最小值为，由勾股定理得，则的周长最小值为． 【详解】解：如图所示，在上取一点G使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P在直线上运动， 如图所示，作点D关于直线的对称点F，连接， ∴，，即， ∴，即三点共线， ∵的周长， ∴当三点共线时，的周长有最小值，最小值为， 在中，由勾股定理得， ∴的周长最小值为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键． 二、填空题：（每题2分，共20分） 7. 如果代数式有意义，那么实数的取值范围_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】解：根据题意知， 解得． 故答案为：． 8. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到的摸到红球的概率建立方程，求解即可得到白球个数． 【详解】解：设口袋中白球的个数为个， ∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 故估计口袋中白球有个． 9. 《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定，某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生频数是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频数的计算，解题的关键是掌握频数的计算公式：频数等于频率乘以数据总数．据此解答即可． 【详解】解：该班学会炒菜的学生频数为：． 故答案为：． 10. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，点B的对应点D恰好落在边上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的判定和性质，根据旋转变换的性质得到，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 11. 如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【详解】解：连接AB，AD，如图所示： ∵AD＝AB＝， ∴DE＝， ∴CD＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，由勾股定理求出AB、DE是解题的关键． 12. 如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，若，那么的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题关键． 由是线段的垂直平分线得到，继而证明，由菱形的性质结合等腰三角形的性质解得，最后由解答． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形还应满足的一个条件是等．答案不唯一． 【详解】解：条件是． ∵分别是的中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为： 【点睛】此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定，正确理解三角形的中位线的性质及菱形的判定定理是解题的关键． 14. 已知，则分式的值为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键． 由可得，再根据分式的基本性质将化为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：， ，， ． ． 故答案为：． 15. 如图，在边长为2的正方形中，点E、F分别是边的中点，连接，点G、H分别是的中点，连接，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=2，根据全等三角形的性质得到PD=CF=1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=2， ∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴AE=CF=×2=1， ∵AD//BC， ∴∠DPH=∠FCH， ∵H是DF的中点， ∴DH=FH， 在△PDH和△CFH中 ， ∴△PDH≌△CFH（AAS）， ∴PD=CF=1， ∴AP=AD-PD=1， ∴PE==， ∵点G，H分别是EC，FD的中点， ∴GH=EP=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的中位线等知识，正确的识别图形是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，点E在上，且，，，点P是线段上的一个动点，将点B沿翻折得点F，当时，________． 【答案】7或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，分两种情况：当翻折后，点在下方时，当翻折后，点在上方时，分别作出图形，构造直角三角形利用勾股定理建立方程是解题的关键． 【详解】解：当翻折后，点在下方时，过点作，并延长交于于， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，则， 则四边形也是矩形， ∴，，， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∴，则， 设，则， 由勾股定理可得：，即：，解得：， ∴； 当翻折后，点在上方时，过点作，交于于， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，则， 则四边形也是矩形， ∴，，， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∴，则， 设，则， 由勾股定理可得：，即：，解得：， ∴（此时点与点重合）； 综上，或． 故答案为：7或． 三、解答题： 17. 计算与化简： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）0 （2） （3）2 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算： （1）先根据二次根式的性质化简，再合并即可求解； （2）先根据二次根式的乘、除法公式计算，再合并即可求解； （3）根据同分母分式加减运算计算，即可求解； （4）先计算括号内的，再计算乘法，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 先化简：，再取一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分，并把除法转化为乘法，约分化简，再取一个使原始分式有意义的数代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式． 19. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 【答案】（1） 证明：∵矩形， ∴， ∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质； （1）先证明，结合，从而可得结论； （2）由勾股定理可求的长，由可证，可得，由，根据直角三角形直角边小于斜边（可取等）即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， 动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，， ∴的最大值为. 20. 在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 93 b 295 480 601 摸到白球的频率 0.59 a 0.61 0.59 0.60 0.601 （1）表中的______，______； （2）“摸到白球”的概率的估计值是______；（精确到0.1） （3）如果箱子中一共有30个球，除了白球外，估计还有多少个其他颜色的球？ 【答案】（1）； （2） （3）除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解题的关键是掌握利用频率估计概率的意义． （1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算出白球的个数，即可得到其它颜色的球的个数． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 “摸到白球”的概率的估计值是， 故答案为：； 【小问3详解】 （个）， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 21. 某学校为了解在校生的体能素质情况，从全校八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格）并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是　 　； （2）扇形统计图中∠α的度数是　 　，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，那么估计不及格的人数为　 　人； （4）测试老师从被测学生中随机抽取一名，所抽学生为B级的概率是多少？ 【答案】（1）40人； （2）54°； 条形统计图为： （3）300； （4）0.3 【解析】 【分析】（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得抽测的人数； （2）根据A级的人数除以抽测的人数，可得A级人数所占抽测人数的百分比，根据圆周角乘以A级人数所占抽测人数的百分比，可得A级的扇形的圆心角，根据有理数的减法，可得C及抽测的人数； （3）根据D级抽测的人数除以抽测的总人数，可得D及所占抽测人数的百分比，根据八年级的人数乘以D及所占抽测人数的百分比，可得答案； （4）根据B级抽测的人数除以抽测的人数，可得答案． 【详解】解：（1）本次抽样测试的学生人数是12÷30%＝40（人）， 故答案为：40； （2）扇形统计图中∠α的度数是×360°＝54°， C级的人数为：40-6-12-8=14 故答案为： 54°； （3）该校八年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，那么估计不及格的人数为1500×＝300（人）， 故答案为：300 （4）测试老师从被测学生中随机抽取一名，所抽学生为B级的概率是＝0.3， 【点睛】本题考查了条形统计图，利用样本估计总体观察统计图获得有效信息是解题关键． 22. 按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图①，点A、B、C是平行四边形ABCD的三个顶点，求作平行四边形ABCD； （2）如图②，点O、P、Q分别是平行四边形EFGH三边EH、EF、FG的中点，求作平行四边形EFGH. 【答案】 (1)如图①，四边形ABCD即为所求； (2)如图②，四边形EFGH即为所求． 【解析】 【详解】分析：（1）分别以A、C点为圆心，BC和AB为半径画弧相交于点D，则利用平行四边形的判定方法可判断四边形ABCD满足条件； （2）利用（1）中的方法先以O、P、Q三点画平行四边形OPQK，对角线相交于点O，然后再分别画平行四边形可得到满足条件的四边形EFGH． 详解：（1）略 （2）略 点睛：本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质． 23. 已知，． （1）当时，比较A与B的大小，并说明理由： （2）设，若m为整数，则正整数y的值为______． 【答案】（1） 解：，理由如下： ， ， ， 又， ， 即， （2）y的值为4或3或1 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，分式的加减计算： （1）利用作差法得到，由，可得出； （2）先求出，再由y为正整数，得到或或，解之即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， m为整数，y为正整数， 或或， 或或， y的值为4或3或1． 24. 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式）古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：（海伦公式），其中，请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为______； （2）如图，在中，已知，，． ①的面积为______； ②作于点D，求的长． （3）小明发现这两个公式本质上是一样的，请你说明理由． 【答案】（1） （2）①②5 （3） 证明：， ． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，勾股定理，熟练掌握相关公式是解题的关键： （1）利用秦九韶公式进行计算即可； （2）①利用海伦公式进行计算即可；②等积法求出的长，勾股定理求出的长； （3）因式分解求出即可． 【小问1详解】 解：∵三角形的三边长依次为，，， ∴ ． 【小问2详解】 ①由题意得，， 根据海伦公式得，； ②∵， ∴， ∴， 在中，； 【小问3详解】 略 25. 【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 【答案】（1）； （2），理由如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）9 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形和折叠，矩形的判定和性质． （1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得； （3）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2）略 （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， 作于P，连接， 则四边形是矩形， ∴， 由翻折知，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 在中，由勾股定理得（cm）， 故答案为：9． 26. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，． ，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______； （2）当时，的最小值为______； （3）当时，的最小值为______； （4）如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为8和18，求四边形的面积的最小值． 【答案】（1）2 （2）6 （3）2 （4）50 【解析】 【分析】（1）仿照阅读中的方法解答即可； （2）原式变形为，再仿照阅读中的方法解答即可； （3）原式变形为，再仿照阅读中的方法解答即可； （4）设的面积分别为x，y，根据等高三角形的性质，可得，从而得到，再由四边形的面积为，再仿照阅读中的方法解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 当且仅当，取等号， 即当时，的最小值为2； 故答案为：2 【小问2详解】 解：根据题意得：， 当且仅当，取等号， 即当时，的最小值为6； 故答案为：6 【小问3详解】 解：， 当且仅当，取等号， 即当时，的最小值为2； 故答案为：2 【小问4详解】 解： 设的面积分别为x，y， ∵的边的高相同， ∴， 同理， ∴， ∵的面积分别为8和18， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 当且仅当，取等号， ∴四边形的面积的最小值为50． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $